Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RdzETwl68ojbF1

Ćwiczenie 1

W powieści Kosmos Witolda Gombrowicza Ludwik zwraca się do Leona w następujący sposób
Jak ojciec tak myśli i myśli, to niech ojciec wyobrazi sobie dziesięciu żołnierzy, idących gęsiego jeden za drugim, jak ojciec myśli… ile czasu trzeba by na zużycie wszystkich kombinacji uszeregowania tych żołnierzy, przestawiając na przykład trzeciego na miejsce pierwszego i tak dalej… gdybyśmy przyjęli, że co dzień dokonujemy jednej zmiany?
Przyjmując, że średnio na rok przypada

365, 2422

doby oblicz, z dokładnością do pełnego roku, ile lat zajęłoby wyczerpanie wszystkich możliwości uszeregowania

10

żołnierzy w sposób zasugerowany przez Ludwika. Wynik swoich obliczeń wpisz w puste pole. Tu uzupełnij

W powieści "Kosmos" Witolda Gombrowicza Ludwik zwraca się do Leona w następujący sposób
"Jak ojciec tak myśli i myśli, to niech ojciec wyobrazi sobie dziesięciu żołnierzy, idących gęsiego jeden za drugim, jak ojciec myśli… ile czasu trzeba by na zużycie wszystkich kombinacji uszeregowania tych żołnierzy, przestawiając na przykład trzeciego na miejsce pierwszego i tak dalej… gdybyśmy przyjęli, że co dzień dokonujemy jednej zmiany?
Przyjmując, że średnio na rok przypada $365, 2422$ doby oblicz - z dokładnością do pełnego roku - ile lat zajęłoby wyczerpanie wszystkich możliwości uszeregowania $10$ żołnierzy w sposób zasugerowany przez Ludwika.

............

ROZ5IKLqc5iYw1

Ćwiczenie 2

Zbiór $A$ ma o jeden element więcej niż zbiór $B$ . Zatem liczba wszystkich permutacji zbioru $A$ może być większa od liczby wszystkich permutacji zbioru $B$ o:

$28530$
$35280$
$53820$
$82350$

Rv2Eips7TiP3D1

Ćwiczenie 3

Oznaczamy:
przez $a$ : liczbę wszystkich sześcioliterowych napisów otrzymanych z ustawiania w dowolnym porządku wszystkich liter wyrazu chemia,
przez $b$ : liczbę wszystkich liczb siedmiocyfrowych otrzymanych z ustawiania w dowolnym porządku wszystkich cyfr liczby $1357968$ ,
przez $c$ : liczbę wszystkich możliwych sposobów, na które grupa $8$ osób może zająć miejsca w ośmioosobowym przedziale,
przez $d$ : liczbę wszystkich możliwych sposobów rozmieszczenia $9$ różnych kul w $9$ różnych pudełkach tak, żeby żadne pudełko nie było puste.
Wynika stąd, że

$7 a d = 9 b c$
$a b = 9 (c + d)$
${(a b)}^{2} = 900 c d$
$a b d = 800 c^{2}$

R1cHY01GF0Wxb2

Ćwiczenie 4

Rozpatrujemy liczby dziewięciocyfrowe o różnych cyfrach, wśród których nie ma zera. Oznaczamy przez:

A

– zbiór takich liczb spośród nich, w zapisie których między cyframi

3

oraz

4

jest jeszcze siedem innych cyfr,

B

– zbiór takich liczb spośród nich, w których iloczyn pięciu ostatnich cyfr jest nieparzysty,

C

– zbiór tych liczb spośród nich , w których suma trzech pierwszych cyfr jest równa

7

D

– zbiór tych liczb spośród nich , w zapisie których między cyframi

1

oraz

9

jest jeszcze

5

innych cyfr.
Połącz w pary moce zbiorów z liczbami reprezentującymi ich liczebność.

|A|

Możliwe odpowiedzi: 1.

3! \cdot 6!

, 2.

5! \cdot 4!

, 3.

2! \cdot 7!

, 4.

3! \cdot 7!

|B|

Możliwe odpowiedzi: 1.

3! \cdot 6!

, 2.

5! \cdot 4!

, 3.

2! \cdot 7!

, 4.

3! \cdot 7!

|C|

Możliwe odpowiedzi: 1.

3! \cdot 6!

, 2.

5! \cdot 4!

, 3.

2! \cdot 7!

, 4.

3! \cdot 7!

|D|

Możliwe odpowiedzi: 1.

3! \cdot 6!

, 2.

5! \cdot 4!

, 3.

2! \cdot 7!

, 4.

3! \cdot 7!

Rozpatrujemy liczby dziewięciocyfrowe o różnych cyfrach, wśród których nie ma zera. Oznaczamy przez:
$A$ – zbiór takich liczb spośród nich, w zapisie których między cyframi $3$ oraz $4$ jest jeszcze siedem innych cyfr,
$B$ – zbiór takich liczb spośród nich, w których iloczyn pięciu ostatnich cyfr jest nieparzysty,
$C$ – zbiór tych liczb spośród nich , w których suma trzech pierwszych cyfr jest równa $7$ ,
$D$ – zbiór tych liczb spośród nich , w zapisie których między cyframi $1$ oraz $9$ jest jeszcze $5$ innych cyfr.
Dobierz w pary równe liczby.

$"\|"A"\|"$
$"\|"B"\|"$
$"\|"C"\|"$
$"\|"D"\|"$

R1mXeLK32DP3C2

Ćwiczenie 5

Rozpatrujemy wszystkie permutacje zbioru $"{"1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10"}"$ .
Oznaczmy przez $n$ liczbę wszystkich spośród tych permutacji, w których suma każdych dwóch kolejnych wyrazów jest nieparzysta.
Wówczas:

$n = \frac{10!}{2}$
$n = 10! - 2 \cdot 5!$
$n = 2 \cdot {(5!)}^{2}$
$n = 2 \cdot 5! +2\cdot 5!$

R1EbYbUDsUF8T3

Ćwiczenie 6

Rozpatrzmy wszystkie liczby siedmiocyfrowe o różnych cyfrach utworzone za pomocą cyfr $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ . Oznaczmy:
przez $A$ - zbiór wszystkich znajdujących się wśród nich liczb parzystych,
przez $B$ - zbiór wszystkich znajdujących się wśród nich liczb nieparzystych.
Odszukaj pary równych liczb.

$"\|"A"\|" + "\|"B"\|"$
$"\|"A"\|" - "\|"B"\|"$
$3 "\|"A"\|" - 4 "\|"B"\|"$
$2 "\|"B"\|" - "\|"A"\|"$

R1QSzjIHI4FyX3

Ćwiczenie 7

W pudełku jest

12

kul ponumerowanych od

1

12

, przy czym:
kule o numerach

1

2

3

są białe,
kule o numerach

4

5

6

są czerwone,
kule o numerach

7

8

9

są niebieskie,
a pozostałe kule są zielone.
Losujemy z tego pudełka dwanaście razy po jednej kuli, układając wylosowane kule jedna za drugą .
Na ile różnych sposobów możemy dostać takie ułożenie wylosowanych kul, w którym wśród dowolnych pięciu kolejnych kul pierwsza i ostatnia będą w tym samym kolorze? W poniższe pola wpisz kolejno cyfry: setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku: Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij

W pudełku jest $12$ kul ponumerowanych od $1$ do $12$ , przy czym:
kule o numerach $1$ , $2$ , $3$ są białe,
kule o numerach $4$ , $5$ , $6$ są czerwone,
kule o numerach $7$ , $8$ , $9$ są niebieskie,
a pozostałe kule są zielone.
Losujemy z tego pudełka dwanaście razy po jednej kuli, układając wylosowane kule jedna za drugą.
Na ile różnych sposobów możemy dostać takie ułożenie $12$ wylosowanych kul, w którym wśród dowolnych $5$ kolejnych kul pierwsza i ostatnia będą w tym samym kolorze?

W poniższe pola wpisz kolejno cyfry: setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku:
............ ............ ............

R1crLqknQC7XP3

Ćwiczenie 8

Przy użyciu cyfr $7$ , $8$ , $9$ zapisujemy trzycyfrowe liczby naturalne, w których każde dwie cyfry są różne. Sumę wszystkich takich liczb oznaczamy przez $S_{1}$ .
Przy użyciu cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ zapisujemy sześciocyfrowe liczby naturalne, w których każde dwie cyfry są różne. Sumę wszystkich takich liczb oznaczamy przez $S_{2}$ .
Rozpatrujemy wszystkie dodatnie liczby wymierne, których okresowe rozwinięcie dziesiętne jest postaci $0, (a b c d)$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ to kolejne różne cyfry tego rozwinięcia wybrane ze zbioru $"{"0, 4, 5, 9"}"$ . Sumę wszystkich takich liczb oznaczamy przez $S_{3}$ .
Wynika stąd, że

$\frac{S_{2} \cdot S_{3}}{1001 \cdot S_{1}} > 500$
$\frac{S_{2} \cdot S_{3}}{1001 \cdot S_{1}} > 600$
$\frac{S_{2} \cdot S_{3}}{1001 \cdot S_{1}} > 700$
$\frac{S_{2} \cdot S_{3}}{1001 \cdot S_{1}} > 800$

$"\|"A"\|"$
$"\|"B"\|"$
$"\|"C"\|"$
$"\|"D"\|"$

$"\|"A"\|" + "\|"B"\|"$
$"\|"A"\|" - "\|"B"\|"$
$3 "\|"A"\|" - 4 "\|"B"\|"$
$2 "\|"B"\|" - "\|"A"\|"$

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela