Ilustracja interaktywna Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodzeniu nierówności. Przykład pierwszy. Wykażemy, że jeśli $a+b>0$, to $a^3+b^3-a^{2}b-ab\ge 0$. Rozwiązanie. 1. Zapiszemy nierówność wynikającą z tego, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a następnie przekształcimy zapisane wyrażenie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. ${\left(a-b\right)}^2\ge 0$. Po przekształceniu mamy: $a^2-2ab+b^2\ge 0$, co możemy zapisać jako: $a^2-ab+b^2\ge ab$.

Ilustracja interaktywna Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodzeniu nierówności. Przykład pierwszy. Wykażemy, że jeśli $a+b>0$, to $a^3+b^3-a^{2}b-ab\ge 0$. Rozwiązanie - ciąg dalszy. 1. Mnożymy obie strony nierówności przez liczbę dodatnią $a+b$. Mamy więc: $\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)$. Po wymnożeniu nawiasów po lewej stronie nierówności, otrzymujemy: $a^3-a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b-a{b}^2+b^3\ge ab\left(a+b\right)$.

Ilustracja interaktywna Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodzeniu nierówności. Przykład pierwszy. Wykażemy, że jeśli $a+b>0$, to $a^3+b^3-a^{2}b-ab\ge 0$. Rozwiązanie - ciąg dalszy. 1. Redukujemy wyrazy podobne. $a^3+b^3\ge a^{2}b+a{b}^2$, Ostatecznie otrzymujemy, że: $a^3+b^3-a^{2}b-a{b}^2\ge 0$, 2. Spróbuj udowodnić tę równość, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy.

Ilustracja interaktywna . Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodzeniu nierówności. Przykład drugi. Wykażemy, że jeśli $a+b>0$, to $\frac{a^3+b^3}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^3$. 1. Przekształcamy prawą stronę nierówności, ze wzoru na sześcian sumy. $\frac{a^3+b^3}{2}\ge \frac{a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3}{8}$, 2. Mnożymy obie strony nierówności przez $8$ (pozbywamy się mianownika). $4a^3+4b^3\ge a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$.

Ilustracja interaktywna . Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodzeniu nierówności. Przykład drugi. Wykażemy, że jeśli $a+b>0$, to $\frac{a^3+b^3}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^3$. Rozwiązanie ciąg dalszy. 1. Redukujemy wyrazy podobne. $3a^3+3b^3\ge 3\left(a^{2}b+a{b}^2\right)$, 2. Dzielimy obie strony nierówności przez $3$. $a^3+b^3\ge a^{2}b+a{b}^2$. Powyższa nierówność jes prawdziwa (na podstawie przykładu pierwszego), zatem i dowodzona nierówność jest prawdziwa.