Ilustracja interaktywna Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodzeniu nierówności. Przykład pierwszy. Wykażemy, że jeśli a, plus, b, większy niż, zero, to a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, minus, a b, większy równy, zero. Rozwiązanie. 1. Zapiszemy nierówność wynikającą z tego, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a następnie przekształcimy zapisane wyrażenie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. nawias, a, minus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy równy, zero. Po przekształceniu mamy: a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a b, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy równy, zero, co możemy zapisać jako: a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a b, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy równy, a b.

Ilustracja interaktywna Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodzeniu nierówności. Przykład pierwszy. Wykażemy, że jeśli a, plus, b, większy niż, zero, to a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, minus, a b, większy równy, zero. Rozwiązanie - ciąg dalszy. 1. Mnożymy obie strony nierówności przez liczbę dodatnią a, plus, b. Mamy więc: nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a b, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, większy równy, a b nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu. Po wymnożeniu nawiasów po lewej stronie nierówności, otrzymujemy: a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, minus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, większy równy, a b nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu.

Ilustracja interaktywna Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodzeniu nierówności. Przykład pierwszy. Wykażemy, że jeśli a, plus, b, większy niż, zero, to a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, minus, a b, większy równy, zero. Rozwiązanie - ciąg dalszy. 1. Redukujemy wyrazy podobne. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, większy równy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, Ostatecznie otrzymujemy, że: a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, minus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy równy, zero, 2. Spróbuj udowodnić tę równość, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy.

Ilustracja interaktywna . Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodzeniu nierówności. Przykład drugi. Wykażemy, że jeśli a, plus, b, większy niż, zero, to początek ułamka, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa, koniec ułamka, większy równy, nawias, początek ułamka, a, plus, b, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego. 1. Przekształcamy prawą stronę nierówności, ze wzoru na sześcian sumy. początek ułamka, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa, koniec ułamka, większy równy, początek ułamka, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, trzy a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, osiem, koniec ułamka, 2. Mnożymy obie strony nierówności przez osiem (pozbywamy się mianownika). cztery a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, cztery b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, większy równy, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, trzy a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego.

Ilustracja interaktywna . Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodzeniu nierówności. Przykład drugi. Wykażemy, że jeśli a, plus, b, większy niż, zero, to początek ułamka, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa, koniec ułamka, większy równy, nawias, początek ułamka, a, plus, b, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego. Rozwiązanie ciąg dalszy. 1. Redukujemy wyrazy podobne. trzy a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, większy równy, trzy nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, 2. Dzielimy obie strony nierówności przez trzy. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, większy równy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Powyższa nierówność jes prawdziwa (na podstawie przykładu pierwszego), zatem i dowodzona nierówność jest prawdziwa.