Ilustracja pierwsza. Komentarz. Będziemy teraz usuwać niewymierności z mianowników ułamków, czyli tak przekształcić ułamki, aby w mianownikach znalazły się liczby wymierne, w miarę możliwości całkowite. Przykład pierwszy. Usuniemy niewymierność z mianownika ułamka: U, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, jeden, koniec ułamka. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Mnożymy licznik i mianownik ułamka przez pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, jeden.

Ilustracja druga, część dalsza przykładu pierwszego. Komentarz. Będziemy teraz usuwać niewymierność z mianowników ułamków, czyli tak przekształcić ułamki, aby w mianownikach znalazły się liczby wymierne, w miarę możliwości liczby całkowite. Nasz ułamek jest postaci: U, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, jeden, koniec ułamka. Krok pierwszy. Mnożymy wyrażenia w liczniku, w mianowniku stosujemy wzór na różnicę kwadratów. U, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, jeden, koniec ułamka Krok drugi. Upraszczamy postać mianownika. U, równa się, początek ułamka, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka Liczba w mianowniku ułamka to dwa, czyli liczba wymierna.

Ilustracja trzecia, przykład drugi. Usuniemy niewymierność z mianownika ułamka. U, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka Zapisujemy liczby pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka i pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka w postaci iloczynów. U, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, razy, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, razy, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka Grupujemy składniki w mianowniku ułamka. U, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, razy, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, razy, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka. Upraszczamy mianownik, otrzymując następującą postać ułamka: U, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.

Ilustracja czwarta, przykład drugi, część dalsza. Przekształcamy mianownik naszego ułamka do postaci iloczynowej, otrzymując U, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka. Mnożymy licznik i mianownik ułamka przez iloczyn „sprzężeń” wyrażeń z mianownika. U, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, razy, początek ułamka, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka Grupujemy wyrazy w mianowniku ułamka. U, równa się, początek ułamka, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias kwadratowy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu kwadratowego, nawias kwadratowy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu kwadratowego, koniec ułamka W każdym z nawiasów kwadratowych iloczyn zamieniamy na sumę, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. W liczniku wykonujemy mnożenie. U, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, mianownik, nawias, dwa, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka Zapisujemy ułamek w najprostszej postaci. U, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka

Ilustracja piąta, przykład trzeci. Liczbę A, równa się, początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka zapiszemy w postaci ułamka o mianowniku wymiernym.

Ilustracja szósta, przykład trzeci, część dalsza. Nasz ułamek jest postaci: A, równa się, początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów. W tym celu mnożymy licznik i mianownik ułamka przez niepełny kwadrat sumy liczb znajdujących się w mianowniku liczby A. A, równa się, początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, razy, początek ułamka, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z sześć, razy, dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka Mnożymy przez siebie oba ułamki, otrzymując ułamek następującej postaci: A, równa się, początek ułamka, pierwiastek sześcienny z siedemdziesiąt dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia cztery koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z osiem koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwieście szesnaście koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z siedemdziesiąt dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia cztery koniec pierwiastka, minus, pierwiastek sześcienny z siedemdziesiąt dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia cztery koniec pierwiastka, minus, pierwiastek sześcienny z osiem koniec pierwiastka, koniec ułamka. Następnie zapisujemy każdą z sum w najprostszej postaci. A, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, plus, dwa, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwieście szesnaście koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z siedemdziesiąt dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia cztery koniec pierwiastka, minus, pierwiastek sześcienny z siedemdziesiąt dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia cztery koniec pierwiastka, minus, pierwiastek sześcienny z osiem koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, plus, dwa, mianownik, cztery, koniec ułamka Skracamy ułamek przez dwa, otrzymując ostatecznie A, równa się, początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, plus, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka.