Ilustracja pierwsza. Komentarz. Będziemy teraz usuwać niewymierności z mianowników ułamków, czyli tak przekształcić ułamki, aby w mianownikach znalazły się liczby wymierne, w miarę możliwości całkowite. Przykład pierwszy. Usuniemy niewymierność z mianownika ułamka: $U=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Mnożymy licznik i mianownik ułamka przez $\sqrt{3}+1$.

Ilustracja druga, część dalsza przykładu pierwszego. Komentarz. Będziemy teraz usuwać niewymierność z mianowników ułamków, czyli tak przekształcić ułamki, aby w mianownikach znalazły się liczby wymierne, w miarę możliwości liczby całkowite. Nasz ułamek jest postaci: $U=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$. Krok pierwszy. Mnożymy wyrażenia w liczniku, w mianowniku stosujemy wzór na różnicę kwadratów. $U=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}·\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$ Krok drugi. Upraszczamy postać mianownika. $U=\frac{3+\sqrt{3}}{3-1}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$ Liczba w mianowniku ułamka to $2$, czyli liczba wymierna.

Ilustracja trzecia, przykład drugi. Usuniemy niewymierność z mianownika ułamka. $U=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{10}+\sqrt{15}}$ Zapisujemy liczby $\sqrt{10}$ i $\sqrt{15}$ w postaci iloczynów. $U=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{10}+\sqrt{15}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}·\sqrt{5}+\sqrt{3}·\sqrt{5}}$ Grupujemy składniki w mianowniku ułamka. $U=\frac{1}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}·\sqrt{5}\right)+\left(\sqrt{3}+\sqrt{3}·\sqrt{5}\right)}$. Upraszczamy mianownik, otrzymując następującą postać ułamka: $U=\frac{1}{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{5}\right)+\sqrt{3}\left(1+\sqrt{5}\right)}$.

Ilustracja czwarta, przykład drugi, część dalsza. Przekształcamy mianownik naszego ułamka do postaci iloczynowej, otrzymując $U=\frac{1}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}$. Mnożymy licznik i mianownik ułamka przez iloczyn „sprzężeń” wyrażeń z mianownika. $U=\frac{1}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}·\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{5}\right)}$ Grupujemy wyrazy w mianowniku ułamka. $U=\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{5}\right)}{\left[\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\right]\left[\left(1+\sqrt{5}\right)\left(1-\sqrt{5}\right)\right]}$ W każdym z nawiasów kwadratowych iloczyn zamieniamy na sumę, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. W liczniku wykonujemy mnożenie. $U=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{10}-\sqrt{3}+\sqrt{15}}{\left(2-3\right)\left(1-5\right)}$ Zapisujemy ułamek w najprostszej postaci. $U=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{10}-\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}$

Ilustracja piąta, przykład trzeci. Liczbę $A=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{2}}$ zapiszemy w postaci ułamka o mianowniku wymiernym.

Ilustracja szósta, przykład trzeci, część dalsza. Nasz ułamek jest postaci: $A=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{2}}$. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów. W tym celu mnożymy licznik i mianownik ułamka przez niepełny kwadrat sumy liczb znajdujących się w mianowniku liczby $A$. $A=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{2}}·\frac{\sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{6·2}+\sqrt[3]{4}}$ Mnożymy przez siebie oba ułamki, otrzymując ułamek następującej postaci: $A=\frac{\sqrt[3]{72}+\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{216}+\sqrt[3]{72}+\sqrt[3]{24}-\sqrt[3]{72}-\sqrt[3]{24}-\sqrt[3]{8}}$. Następnie zapisujemy każdą z sum w najprostszej postaci. $A=\frac{2\sqrt[3]{9}+2\sqrt[3]{3}+2}{\sqrt[3]{216}+\sqrt[3]{72}+\sqrt[3]{24}-\sqrt[3]{72}-\sqrt[3]{24}-\sqrt[3]{8}}=\frac{2\sqrt[3]{9}+2\sqrt[3]{3}+2}{4}$ Skracamy ułamek przez $2$, otrzymując ostatecznie $A=\frac{\sqrt[3]{9}+2\sqrt[3]{3}+1}{2}$.