Przeczytaj

W tym materiale usystematyzujemy wiadomości na temat sposobów usuwania niewymierności z mianownika ułamka.

Jeśli w mianowniku ułamka znajduje się liczba niewymierna, staramy się tak przekształcić ułamek, aby w mianowniku znalazła się liczba wymierna, w miarę możliwości całkowita. Takie przekształcenie nazywamy usuwaniem niewymierności z mianownika ułamka.

Należy przy tym pamiętać, że w wyniku przekształcenia musimy otrzymać ułamek równy danemu.

Usuwanie liczby niewymiernej z mianownika ułamka

Przykład 1

Usuniemy niewymierność z mianownika ułamka $\frac{1 - \sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

W mianowniku ułamka znajduje się liczba niewymierna $\sqrt{6}$ . Zatem, aby pozbyć się niewymierności z mianownika, mnożymy licznik i mianownik przez tę właśnie liczbę, czyli $\sqrt{6}$ .

\frac{1 - \sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{1 - \sqrt{6}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{36}}{\sqrt{36}} = \frac{\sqrt{6} - 6}{6}

Przykład 2

Usuniemy niewymierność z mianownika ułamka $\frac{3}{2 \sqrt[3]{5}}$ .

W mianownika ułamka znajduje się iloczyn $2 \cdot \sqrt[3]{5}$ . Tylko liczba $\sqrt[3]{5}$ jest niewymierna. Zatem, chcąc się pozbyć niewymierności z mianownika, mnożymy licznik i mianownik ułamka przez $\sqrt[3]{25}$ .

\frac{3}{2 \sqrt[3]{5}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{25}}{2 \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25}} = \frac{3 \sqrt[3]{25}}{2 \sqrt[3]{125}} = \frac{3 \sqrt[3]{25}}{10}

Usuwanie niewymierności stopnia drugiego z mianownika ułamka

Będziemy teraz rozważać sytuacje, w których w mianowniku ułamka znajduje się suma bądź różnica dwóch wyrażeń.

Skorzystamy przy tym ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Przykład 3

Usuniemy niewymierność z mianownika każdego z ułamków.

\frac{4}{\sqrt{2} + 2} = \frac{4}{\sqrt{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2} = \frac{4 (\sqrt{2} - 2)}{\sqrt{4} - 4} = \frac{4 (\sqrt{2} - 2)}{2 - 4} = 4 - 2 \sqrt{2}

\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{{(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2}}{3 - 2} =

= 3 + 2 \sqrt{6} + 2 = 5 + 2 \sqrt{6}

Jeśli w mianowniku ułamka znajduje się suma więcej niż dwóch liczb niewymiernych, należy odpowiednio pogrupować wyrazy i ze wzoru skróconego mnożenia w niektórych przypadkach należy skorzystać dwa lub więcej razy.

Przykład 4

Chcemy usunąć niewymierność z mianownika ułamkausunąć niewymierność z mianownika ułamka $U = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}$ , w pierwszej kolejności grupujemy wyrazy w mianowniku.

U = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{1}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) - \sqrt{2}}

Mnożymy licznik i mianownik ułamka przez „sprzężenie” mianownika czyli $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \sqrt{2}$ i korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.

U = \frac{1}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) - \sqrt{2}} \cdot \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \sqrt{2}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \sqrt{2}}

U = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{5 + 2 \sqrt{15} + 3 - 2}

U = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{15} + 6}

Mnożymy ponownie licznik i mianownik przez „sprzężenie” – tym razem przez $2 \sqrt{15} - 6$ .

U = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}) (2 \sqrt{15} - 6)}{(2 \sqrt{15} + 6) (2 \sqrt{15} - 6)} = \frac{2 \sqrt{75} - 6 \sqrt{5} + 2 \sqrt{45} - 6 \sqrt{3} + 2 \sqrt{30} - 6 \sqrt{2}}{60 - 36}

U = \frac{4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{30} - 6 \sqrt{2}}{24} = \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{30} - 3 \sqrt{2}}{12}

Usuwanie niewymierności stopnia trzeciego z mianownika ułamka

W sytuacji, gdy w mianowniku ułamka występuje suma zawierająca pierwiastek stopnia trzeciego, sytuacja nieco się komplikuje. Gdyż wyrażenie, przez które mnożymy licznik i mianownik, jest już na ogół kikudziałaniowe. Dążymy bowiem do tego, aby skorzystać ze wzoru $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ lub ze wzoru $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ .

Przykład 5

Liczbę $\frac{1}{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}}$ zapiszemy w postaci ułamka o mianowniku wymiernym. Rozszerzymy tak ułamek, aby wykorzystać wzór na różnicę sześcianów.

\frac{1}{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{4 \cdot 2} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{4 \cdot 2} + \sqrt[3]{4}} = \frac{2 + 2 \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{4 - 2} = 1 + \sqrt[3]{2} + 0, 5 \sqrt[3]{4}

Przykład 6

Ułamek $\frac{4}{1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}$ sprowadzimy do mianownika, w którym występują tylko liczby wymierne.

Zauważmy najpierw, że $1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$ to niepełny kwadrat wyrażenia $1 - \sqrt[3]{3}$ . Zatem, aby skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów, należy pomnożyć licznik i mianownik rozważanego ułamka przez $1 + \sqrt[3]{3}$ .

\frac{4}{1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}} = \frac{4 (1 + \sqrt[3]{3})}{(1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}) (1 + \sqrt[3]{3})} = \frac{4 (1 + \sqrt[3]{3})}{1 + {(\sqrt[3]{3})}^{3}} = 1 + \sqrt[3]{3}

Słownik

usunąć niewymierność z mianownika ułamka

pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez taki czynnik, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną (różną od zera)

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Usuwanie liczby niewymiernej z mianownika ułamka

Usuwanie niewymierności stopnia drugiego z mianownika ułamka

Usuwanie niewymierności stopnia trzeciego z mianownika ułamka

Słownik