Przeczytaj
W tym materiale usystematyzujemy wiadomości na temat sposobów usuwania niewymierności z mianownika ułamka.
Jeśli w mianowniku ułamka znajduje się liczba niewymierna, staramy się tak przekształcić ułamek, aby w mianowniku znalazła się liczba wymierna, w miarę możliwości całkowita. Takie przekształcenie nazywamy usuwaniem niewymierności z mianownika ułamka.
Należy przy tym pamiętać, że w wyniku przekształcenia musimy otrzymać ułamek równy danemu.
Usuwanie liczby niewymiernej z mianownika ułamka
Usuniemy niewymierność z mianownika ułamka .
W mianowniku ułamka znajduje się liczba niewymierna . Zatem, aby pozbyć się niewymierności z mianownika, mnożymy licznik i mianownik przez tę właśnie liczbę, czyli .
Usuniemy niewymierność z mianownika ułamka .
W mianownika ułamka znajduje się iloczyn . Tylko liczba jest niewymierna. Zatem, chcąc się pozbyć niewymierności z mianownika, mnożymy licznik i mianownik ułamka przez .
Usuwanie niewymierności stopnia drugiego z mianownika ułamka
Będziemy teraz rozważać sytuacje, w których w mianowniku ułamka znajduje się suma bądź różnica dwóch wyrażeń.
Skorzystamy przy tym ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
Usuniemy niewymierność z mianownika każdego z ułamków.
Jeśli w mianowniku ułamka znajduje się suma więcej niż dwóch liczb niewymiernych, należy odpowiednio pogrupować wyrazy i ze wzoru skróconego mnożenia w niektórych przypadkach należy skorzystać dwa lub więcej razy.
Chcemy usunąć niewymierność z mianownika ułamkausunąć niewymierność z mianownika ułamka , w pierwszej kolejności grupujemy wyrazy w mianowniku.
Mnożymy licznik i mianownik ułamka przez „sprzężenie” mianownika czyli i korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.
Mnożymy ponownie licznik i mianownik przez „sprzężenie” – tym razem przez .
Usuwanie niewymierności stopnia trzeciego z mianownika ułamka
W sytuacji, gdy w mianowniku ułamka występuje suma zawierająca pierwiastek stopnia trzeciego, sytuacja nieco się komplikuje. Gdyż wyrażenie, przez które mnożymy licznik i mianownik, jest już na ogół kikudziałaniowe. Dążymy bowiem do tego, aby skorzystać ze wzoru lub ze wzoru .
Liczbę zapiszemy w postaci ułamka o mianowniku wymiernym. Rozszerzymy tak ułamek, aby wykorzystać wzór na różnicę sześcianów.
Ułamek sprowadzimy do mianownika, w którym występują tylko liczby wymierne.
Zauważmy najpierw, że to niepełny kwadrat wyrażenia . Zatem, aby skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów, należy pomnożyć licznik i mianownik rozważanego ułamka przez .
Słownik
pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez taki czynnik, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną (różną od zera)