Włoski matematyk, Girolamo Cardano, w 1545 roku w swoim dziele Ars Magna (Wielka Sztuka) rozważa taki oto problem:

„Gdyby ktoś kazał tobie wziąć liczbę $10$ i podzielić ją na dwie części, tak by pomnożone jedna z drugą dały $40$ – odpowiesz niemożliwe. Jednak rozwiążemy zagadkę dla ciebie.”

Rozwiążemy ten problem według pomysłu Cardano. Zapisujemy odpowiedni układ równań: $a+b=10$ i $a·b=40$.

Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe $a^2-10a+40=0$, dla którego $\Delta =-60$.

Wydaje się, że równanie nie ma rozwiązania, ale nie przejmując się ujemnym wyróżnikiem, wyznaczymy pierwiastki równania: $5-\sqrt{-15}$ i $5+\sqrt{-15}$.

R1355PjnMpaWA1

Grafika przedstawia fraktal.

Sprawdzamy, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, że iloczyn uzyskanych liczb to $40$, a ich suma to $10$. Okazało się więc, że niemożliwe jest możliwe!

Pomysł Cardano doprowadził do wynalezienia liczb zespolonych, a zarazem istnienia pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych. Liczby zespolone wykorzystuje się współcześnie między innymi do tworzenia fraktali.

My jednak, w tym materiale będziemy rozważać tylko liczby rzeczywiste, a więc takie, w których zabrania się wyznaczania pierwiastków stopnia parzystego z liczb ujemnych. Pamiętaj o tym!