Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Oglądając galerię zdjęć interaktywnych, spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać zamieszczone tam zadanie, a w kolejnym kroku porównać rozwiązania.

RvCPFcQ3gBqMu

RdrMt14lLtWNV

R1LatbQ4BY8VW

R1ZcjLkwq2jc8

Ilustracja 4. Oznaczymy jako funkcję

f (a)

wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem. Jeżeli funkcja

\sqrt{f (a)}

, która jest rosnąca dla

b > 0

, przyjmuje wartość największą, to

f (a)

również przyjmuje wartość największą. Zatem,

f (a) = \frac{1}{9} a^{4} b^{2} - \frac{1}{18} a^{6}

. Obliczymy pochodną funkcji f.

f' (a) = \frac{4}{9} a^{3} b^{2} - \frac{1}{3} a^{5}

. Obliczmy miejsca zerowe naszej pochodnej. Najpierw przyrównajmy pochodną do zera.

\frac{4}{9} a^{3} b^{2} - \frac{1}{3} a^{5} = 0

. Otrzymamy

a^{3} (\frac{4}{9} b^{2} - \frac{1}{3} a^{2}) = 0

. Wyznaczmy rozwiązania tych równań. Pamiętajmy nadal, że b jest stałą.

a^{3} = 0

lub

\frac{4}{9} b^{2} - \frac{1}{3} a^{2} = 0

R1MlwirmtTRe8

Ilustracja 5. Otrzymujemy

a = 0 \notin (0, b \sqrt{2})

oraz

a = \frac{2 b \sqrt{3}}{3}

lub

a = - \frac{2 b \sqrt{3}}{3} \notin (0, b \sqrt{2})

. Określmy więc ekstremum funkcji. Na ilustracji przedstawiono wykres, który pomoże nam w określeniu ekstremum lokalnego funkcji. Przedstawiono poziomą oś oznaczoną literą A. Wykres biegnie w następujący sposób. Nad osią X, od minus nieskończoności. W niezamalowanym punkcie

- \frac{2 b \sqrt{3}}{3}

przebija pod oś X. Biegnie pod osią X i w niezamalowanym punkcie 0 przebija nad oś X. Biegnie nad osią X, a następnie odbija w dół i w zamalowanym punkcie

\frac{2 b \sqrt{3}}{3}

przebija pod oś X i biegnie do plus nieskończoności. Z wykresu wiemy, że

\frac{2 b \sqrt{3}}{3}

jest maksimum lokalnym funkcji

f (a)

, zatem także funkcji

V (a)

. Oznacza to, że dla krawędzi podstawy długości

\frac{2 b \sqrt{3}}{3}

ostrosłup ma największą objętość.

RONoQ58BItsfD

Ilustracja 6. Obliczmy więc pole podstawy naszego ostrosłupa, w którego podstawie znajduje się kwadrat.

P_{p} = a^{2} = {(\frac{2 b \sqrt{3}}{3})}^{2} = \frac{4}{3} b^{2}

. Do obliczenia pola powierzchni bocznej brakuje nam wysokości ściany bocznej. Dorysujmy ją na naszym ostrosłupie i oznaczmy h. Na ilustracji przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie

A B C D

i wierzchołku S. Spodek wysokości ostrosłupa leży w punkcie O. Literą a oznaczono krawędź podstawy ostrosłupa, literą b krawędź boczną ostrosłupa, oraz literą H wysokość ostrosłupa. Dorysowano wysokość h ściany bocznej, której spodek leży w punkcie E. Różowym kolorem zaznaczono trójkąt prostokątny

S O E

, którego przyprostokątna

O E

ma długość

\frac{1}{2} a

R1QGAIoqbls0h

ROAJGXBopbeuE

Ilustracja 8. Obliczmy więc pole powierzchni bocznej naszego ostrosłupa. Pole powierzchni bocznej to suma pól czterech ścian bocznych ostrosłupa. Stąd

P_{b} = 2 \times a \times h = 2 \times \frac{2 b \sqrt{3}}{3} \times \frac{b \sqrt{6}}{3} = \frac{4 b^{2} \sqrt{2}}{3}

. Zatem pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi b o największej objętości wynosi

P_{c} = \frac{4}{3} b^{2} + \frac{4 b^{2} \sqrt{2}}{3} = \frac{4 b^{2} (1 + \sqrt{2})}{3}

. Formułujemy odpowiedź. Największa objętość ostrosłupa jest dla krawędzi podstawy długości

\frac{2 b \sqrt{3}}{3}

Polecenie 2

Oblicz największe możliwe pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi bocznej, której długość wynosi $10$ .

Niech $a$ – krawędź podstawy, $h$ – wysokość ściany bocznej ostrosłupa.

RnSbd4Fo0eSYN

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup czworokątny, o podstawie ABCD i wierzchołku S. Długość krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast wysokość ściany bocznej literą h. Z wierzchołka S poprowadzono wysokość H ostrosłupa, której spodek leży w punkcie O. Na krawędzi DC zaznaczono punkt E, który stanowi spodek wysokości ściany bocznej ostrosłupa i leży w połowie długości krawędzi podstawy. Różowym kolorem zaznaczono trójkąt prostokątny SOE.

Trójkąt $S E C$ jest prostokątny, więc na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy:

$h^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2} = 10^{2}$

Wyznaczmy wysokość ściany bocznej:

$h^{2} = 100 - \frac{1}{4} a^{2}$

$h = \sqrt{\frac{400 - a^{2}}{4}}$ .

Oczywiście $a \in (0, 20)$ .

Zajmijmy się polem powierzchni bocznej tego ostrosłupa:

$P_{b} = 2 a h$

$P_{b} = 2 a \sqrt{\frac{400 - a^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{4 a^{2} (400 - a^{2})}{4}} = \sqrt{400 a^{2} - a^{4}}$

Dla $a \in (0, 20)$ funkcja $P_{b} (a) = \sqrt{400 a^{2} - a^{4}}$ jest rosnąca.

Oznaczmy jako funkcję $f (a)$ wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem. Jeżeli funkcja $\sqrt{f (a)}$ , która jest rosnąca, przyjmuje wartość największą, to $f (a)$ również przyjmuje wartość największą.

$f (a) = 400 a^{2} - a^{4}$

Obliczmy pochodną funkcji $f$ .

$f' (a) = 800 a - 4 a^{3}$

Obliczmy miejsca zerowe naszej pochodnej:

$800 a - 4 a^{3} = 0$

$4 a (200 - a^{2}) = 0$

$a = 0 \notin (0, 20) \lor a = 10 \sqrt{2} \lor a = - 10 \sqrt{2} \notin (0, 20)$

R1K1m79zNrOwb

Na ilustracji przedstawiono poziomą oś oznaczoną A. Wykres funkcji biegnie w następujący sposób. Nad osią X, od minus nieskończoności. W niezamalowanym punkcie -102 przebija pod oś X. Biegnie pod osią X i w niezamalowanym punkcie 0 przebija nad oś X. Biegnie nad osią X, a następnie odbija w dół i w zamalowanym punkcie 102 przebija pod oś X i biegnie do plus nieskończoności.

$10 \sqrt{2}$ jest więc maksimum lokalnym funkcji, co oznacza, że pole powierzchni bocznej dla krawędzi podstawy długości $10 \sqrt{2}$ jest największe.

Obliczmy to pole:

$P_{b} = 2 a \sqrt{\frac{400 - a^{2}}{4}} = 2 \cdot 10 \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{400 - 200}{4}} = 20 \sqrt{2} \cdot \sqrt{50} = 200$ .

Przeczytaj

Sprawdź się