Ilustracja 1. Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędzi bocznej b. Wyznacz długość wysokości tego z rozważanych ostrosłupów, który ma największa objętość. Oblicz jego pole powierzchni całkowitej. Grafika: Na ilustracji przedstawiony jest ostrosłup prawidłowy czworokątny A B C D S. Opuszczono z wierzchołka S wysokość H tego ostrosłupa na spodek wysokości oznaczony przez punkt O. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość a, a krawędź boczna długość b. Na różowo zaznaczono odcinki S O oraz O C tak, że z krawędzią S C tworzą trójkąt prostokątny. Oznaczenia. 1. a  krawędź podstawy ostrosłupa, 2. b  krawędź boczna ostrosłupa, 3. H wysokość ostrosłupa

Ilustracja 2. Trójkąt SOC jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa mamy H indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Zauważmy, że b jest naszą stałą. Następnie H indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Następnie H, równa się, pierwiastek kwadratowy z b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka. Następnie wyznaczymy dziedzinę naszego wyrażenia, pamiętając że wyrażenie podpierwiastkowe musi być dodatnie. b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, zero. Następnie a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mniejszy niż, dwa b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Otrzymujemy a, należy do, nawias, zero, średnik, b pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu.

Ilustracja 3. Wyznaczymy wzór na objętość ostrosłupa. V, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, H. Następnie V, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka. Powstała więc funkcja objętości zmiennej a. V nawias, a, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka. Aby znaleźć wymiary ostrosłupa o największej objętości, musimy wyznaczyć ekstremum funkcji V.

Ilustracja 4. Oznaczymy jako funkcję f nawias, a, zamknięcie nawiasu wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem. Jeżeli funkcja pierwiastek kwadratowy z f nawias, a, zamknięcie nawiasu koniec pierwiastka, która jest rosnąca dla b, większy niż, zero, przyjmuje wartość największą, to f nawias, a, zamknięcie nawiasu również przyjmuje wartość największą. Zatem, f nawias, a, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego. Obliczymy pochodną funkcji f. f prim nawias, a, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego. Obliczmy miejsca zerowe naszej pochodnej. Najpierw przyrównajmy pochodną do zera. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, równa się, zero. Otrzymamy a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, równa się, zero. Wyznaczmy rozwiązania tych równań. Pamiętajmy nadal, że b jest stałą. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, zero lub początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero.

Ilustracja 5. Otrzymujemy a, równa się, zero, nie należy do, nawias, zero, przecinek, b pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu oraz a, równa się, początek ułamka, dwa b pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka lub a, równa się, minus, początek ułamka, dwa b pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, nie należy do, nawias, zero, przecinek, b pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu. Określmy więc ekstremum funkcji. Na ilustracji przedstawiono wykres, który pomoże nam w określeniu ekstremum lokalnego funkcji. Przedstawiono poziomą oś oznaczoną literą A. Wykres biegnie w następujący sposób. Nad osią X, od minus nieskończoności. W niezamalowanym punkcie minus, początek ułamka, dwa b pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka przebija pod oś X. Biegnie pod osią X i w niezamalowanym punkcie 0 przebija nad oś X. Biegnie nad osią X, a następnie odbija w dół i w zamalowanym punkcie początek ułamka, dwa b pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka przebija pod oś X i biegnie do plus nieskończoności. Z wykresu wiemy, że początek ułamka, dwa b pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka jest maksimum lokalnym funkcji f nawias, a, zamknięcie nawiasu, zatem także funkcji V nawias, a, zamknięcie nawiasu. Oznacza to, że dla krawędzi podstawy długości początek ułamka, dwa b pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka ostrosłup ma największą objętość.

Ilustracja 6. Obliczmy więc pole podstawy naszego ostrosłupa, w którego podstawie znajduje się kwadrat. P indeks dolny, p, koniec indeksu dolnego, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, dwa b pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Do obliczenia pola powierzchni bocznej brakuje nam wysokości ściany bocznej. Dorysujmy ją na naszym ostrosłupie i oznaczmy h. Na ilustracji przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie A B C D i wierzchołku S. Spodek wysokości ostrosłupa leży w punkcie O. Literą a oznaczono krawędź podstawy ostrosłupa, literą b krawędź boczną ostrosłupa, oraz literą H wysokość ostrosłupa. Dorysowano wysokość h ściany bocznej, której spodek leży w punkcie E. Różowym kolorem zaznaczono trójkąt prostokątny S O E, którego przyprostokątna O E ma długość początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a.

Ilustracja 7. Obliczmy wysokość ostrosłupa ze wzoru, który wyznaczyliśmy wcześniej, czyli wyznaczyliśmy wcześniej H, równa się, pierwiastek kwadratowy z b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego., 2. dwa, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a, równa się, początek ułamka, b pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka. Podstawiamy. H, równa się, pierwiastek kwadratowy z b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × nawias, początek ułamka, dwa b pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, równa się, pierwiastek kwadratowy z b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, równa się, pierwiastek kwadratowy z b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka. Zatem, H, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, równa się, początek ułamka, b pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka. Trójkąt S O E jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa mamy H indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, h indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Następnie nawias, początek ułamka, b pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, b pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, h indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Stąd otrzymujemy początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, h indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Otrzymujemy h indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Wyznaczamy h, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, równa się, b pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka koniec pierwiastka, równa się, b początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, b pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka.

Ilustracja 8. Obliczmy więc pole powierzchni bocznej naszego ostrosłupa. Pole powierzchni bocznej to suma pól czterech ścian bocznych ostrosłupa. Stąd P indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa × a × h, równa się, dwa × początek ułamka, dwa b pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, × początek ułamka, b pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka. Zatem pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi b o największej objętości wynosi P indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, mianownik, trzy, koniec ułamka. Formułujemy odpowiedź. Największa objętość ostrosłupa jest dla krawędzi podstawy długości początek ułamka, dwa b pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka.