Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RNLMVCuZ6TxTc1

Ćwiczenie 1

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o wszystkich krawędziach tej samej długości stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy ostrosłupa wynosi

$\sqrt{2}$
$\sqrt{3}$
$1$

Rze7OApKDTXLy1

Ćwiczenie 2

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego są trójkątami równobocznymi o polu $S$ . Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Krawędzie ostrosłupa są tej samej długości.
Długość krawędzi podstawy wynosi $\frac{4 S}{\sqrt{3}}$ .
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi $\frac{4 S (\sqrt{3} + 3)}{3}$ .
Wysokość ostrosłupa ma długość $\sqrt{\frac{2 S}{\sqrt{3}}}$ .

R14HRDMhZ7YrK1

Ćwiczenie 3

Dostępne opcje do wyboru:

16

8

256 + 128 \sqrt{5}

64 + 32 \sqrt{5}

\frac{512}{3}

\frac{1024}{3}

. Polecenie: Rozważmy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa i wysokości tego ostrosłupa jest równa

12

.
Uzupełnij zdania przeciągając prawidłową odpowiedź. Promień okręgu wpisanego w podstawę tego z ostrosłupów, który ma największą objętość ma długość luka do uzupełnienia .
Objętość tego ostrosłupa wynosi luka do uzupełnienia .
Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi luka do uzupełnienia .

Rozważmy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa i wysokości tego ostrosłupa jest równa $12$ .
Uzupełnij zdania, przeciągając prawidłową odpowiedź w puste miejsca.

$16$ , $8$ , $64 + 32 \sqrt{5}$ , $\frac{1024}{3}$ , $\frac{512}{3}$ , $256 + 128 \sqrt{5}$

Promień okręgu wpisanego w podstawę tego z ostrosłupów, który ma największą objętość ma długość .
Objętość tego ostrosłupa wynosi .
Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi .

RFegEZPmKNZ1l2

Ćwiczenie 4

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

A B C D S

jest równa

b

. Krawędź boczna tworzy z wysokością kąt

α

, taki, że

\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}

.
Połącz opisy liczb z ich wynikami. wysokość ostrosłupa Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{2 b \sqrt{5}}{5}

, 2.

\frac{3 \sqrt{10}}{10}

, 3.

\frac{8}{5} b^{2}

, 4.

\frac{4 b^{3} \sqrt{5}}{75}

sinus kąta Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{2 b \sqrt{5}}{5}

, 2.

\frac{3 \sqrt{10}}{10}

, 3.

\frac{8}{5} b^{2}

, 4.

\frac{4 b^{3} \sqrt{5}}{75}

objętość ostrosłupa Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{2 b \sqrt{5}}{5}

, 2.

\frac{3 \sqrt{10}}{10}

, 3.

\frac{8}{5} b^{2}

, 4.

\frac{4 b^{3} \sqrt{5}}{75}

pole Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{2 b \sqrt{5}}{5}

, 2.

\frac{3 \sqrt{10}}{10}

, 3.

\frac{8}{5} b^{2}

, 4.

\frac{4 b^{3} \sqrt{5}}{75}

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego $A B C D S$ jest równa $b$ . Krawędź boczna tworzy z wysokością kąt $α$ , taki, że $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .
Połącz wielkości z ich wartościami.

wysokość ostrosłupa
sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy
pole powierzchni bocznej ostrosłupa
pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

RJA2BW45BcyDn2

Ćwiczenie 5

Kąt pomiędzy wysokościami przeciwległych ścian bocznych ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi $120 °$ . Znając pole podstawy tego ostrosłupa (w zależności od parametru $S$ ) połącz pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego z odpowiadającą mu długością krawędzi bocznej $x$ .

$P_{p} = 16 S^{2}$
$P_{p} = S^{2}$
$P_{p} = S$

RsoKWaKYXALmA2

Ćwiczenie 6

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi $P$ , a pole powierzchni bocznej $3 P$ . Objętość ostrosłupa wynosi:

$\frac{P \sqrt{2 P}}{3}$
$\frac{P \sqrt{P}}{2}$
$\frac{1}{3} P$

Ćwiczenie 7

Odległość spodka wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego od jego krawędzi bocznej jest równa $d$ , a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $α$ . Wyznacz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Wykonajmy rysunek pomocniczy. Wprowadźmy dodatkowe oznaczenie:
$H$ – wysokość ostrosłupa,
$a$ – długość krawędzi podstawy.

R1LFNMksJ61ME

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup czworokątny, o podstawie ABCD i wierzchołku S. Na krawędzi bocznej SC zaznaczono punkt E. Z wierzchołka S poprowadzono spodek wysokości, który leży w punkcie O. Odcinek OE oznaczono literą d. Zaznaczono trójkąt OCE, z kątem prostym przy wierzchołku E, oraz kątem alfa przy wierzchołku C.

Trójkąt $O E C$ jest prostokątny. Zatem:

$\frac{d}{|O C|} = \sin α$

$|O C| = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$\frac{d}{\sin α} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$a = \frac{d \sqrt{2}}{\sin α}$

Trójkąt $S O C$ także jest prostokątny, więc:

$\frac{H}{|O C|} = tg α$

$H = \frac{d}{\sin α} \cdot tg α = \frac{d}{\cos α}$

Do obliczenia pola powierzchni bocznej brakuje nam wysokości ściany bocznej. Oznaczmy ją jako $h$ .

R1GLDjvy592WJ

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup czworokątny, o podstawie ABCD i wierzchołku S. Długość krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast wysokość ściany bocznej literą h. Z wierzchołka S poprowadzono wysokość H ostrosłupa, której spodek leży w punkcie O. Na krawędzi DC zaznaczono punkt F, który stanowi spodek wysokości ściany bocznej ostrosłupa i leży w połowie długości krawędzi podstawy. Różowym kolorem zaznaczono trójkąt prostokątny SOF.

Trójkąt $S O F$ jest prostokątny, więc na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy:

$h^{2} = H^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2}$

$h^{2} = {(\frac{d}{\cos α})}^{2} + {(\frac{d \sqrt{2}}{2 \sin α})}^{2}$

$h^{2} = \frac{d^{2}}{\cos^{2} α} + \frac{2 d^{2}}{4 \sin^{2} α}$

$h^{2} = \frac{d^{2}}{\cos^{2} α} + \frac{d^{2}}{2 \sin^{2} α}$

$h^{2} = \frac{2 d^{2} \sin^{2} α + d^{2} \cos^{2} α}{2 \sin^{2} α \cdot \cos^{2} α}$

$h = \frac{d \sqrt{2 \sin^{2} α + \cos^{2} α}}{\sqrt{2} \sin α \cdot \cos α}$

$h = \frac{d \sqrt{2 \cdot (2 \sin^{2} α + 1 - \sin^{2} α)}}{2 \sin α \cdot \cos α}$

$h = \frac{d \sqrt{2 (\sin^{2} α + 1)}}{2 \sin α \cdot \cos α}$

Pole powierzchni bocznej wynosi więc:

$P_{b} = 2 a h = 2 \cdot \frac{d \sqrt{2}}{\sin α} \cdot \frac{d \sqrt{2 (\sin^{2} α + 1)}}{2 \sin α \cdot \cos α} = \frac{2 d^{2} \sqrt{\sin^{2} α + 1}}{\sin^{2} α \cdot \cos α}$ .

Ćwiczenie 8

Oblicz pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości $a$ i krawędzi bocznej długości $k$ .

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku długości $a$ , więc $P_{p} = a^{2}$ .

Ściany boczne to $4$ przystające trójkąty równoramienne. Ich pole można policzyć wykorzystując wzór Herona:

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ,

gdzie $a$ , $b$ , $c$ – długości boków trójkąta, $p$ – połowa jego obwodu.

Zatem:

$P_{b} = 4 \cdot \sqrt{\frac{a + 2 k}{2} \cdot (\frac{a + 2 k}{2} - a) \cdot (\frac{a + 2 k}{2} - k) \cdot (\frac{a + 2 k}{2} - k)}$

$P_{b} = 4 \cdot \sqrt{\frac{a + 2 k}{2} \cdot \frac{2 k - a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}}$

$P_{b} = 4 \cdot \sqrt{\frac{a^{2} \cdot (4 k^{2} - a^{2})}{16}} = a \sqrt{4 k^{2} - a^{2}}$

Mamy więc:

$P_{c} = a^{2} + a \sqrt{4 k^{2} - a^{2}}$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela