Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RNLMVCuZ6TxTc1

Ćwiczenie 1

Rze7OApKDTXLy1

Ćwiczenie 2

R14HRDMhZ7YrK1

Ćwiczenie 3

RFegEZPmKNZ1l2

Ćwiczenie 4

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego A B C D S jest równa b. Krawędź boczna tworzy z wysokością kąt alfa, taki, że sinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka.
Połącz opisy liczb z ich wynikami. wysokość ostrosłupa Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa b pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, osiem, mianownik, pięć, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. początek ułamka, cztery b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, siedemdziesiąt pięć, koniec ułamka sinus kąta Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa b pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, osiem, mianownik, pięć, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. początek ułamka, cztery b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, siedemdziesiąt pięć, koniec ułamka objętość ostrosłupa Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa b pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, osiem, mianownik, pięć, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. początek ułamka, cztery b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, siedemdziesiąt pięć, koniec ułamka pole Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa b pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, osiem, mianownik, pięć, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. początek ułamka, cztery b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, siedemdziesiąt pięć, koniec ułamka

RJA2BW45BcyDn2

Ćwiczenie 5

RsoKWaKYXALmA2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Odległość spodka wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego od jego krawędzi bocznej jest równa $d$ , a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $α$ . Wyznacz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Wykonajmy rysunek pomocniczy. Wprowadźmy dodatkowe oznaczenie:
$H$ – wysokość ostrosłupa,
$a$ – długość krawędzi podstawy.

R1LFNMksJ61ME

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup czworokątny, o podstawie ABCD i wierzchołku S. Na krawędzi bocznej SC zaznaczono punkt E. Z wierzchołka S poprowadzono spodek wysokości, który leży w punkcie O. Odcinek OE oznaczono literą d. Zaznaczono trójkąt OCE, z kątem prostym przy wierzchołku E, oraz kątem alfa przy wierzchołku C.

Trójkąt $O E C$ jest prostokątny. Zatem:

$\frac{d}{|O C|} = \sin α$

$|O C| = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$\frac{d}{\sin α} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$a = \frac{d \sqrt{2}}{\sin α}$

Trójkąt $S O C$ także jest prostokątny, więc:

$\frac{H}{|O C|} = tg α$

$H = \frac{d}{\sin α} \cdot tg α = \frac{d}{\cos α}$

Do obliczenia pola powierzchni bocznej brakuje nam wysokości ściany bocznej. Oznaczmy ją jako $h$ .

R1GLDjvy592WJ

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup czworokątny, o podstawie ABCD i wierzchołku S. Długość krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast wysokość ściany bocznej literą h. Z wierzchołka S poprowadzono wysokość H ostrosłupa, której spodek leży w punkcie O. Na krawędzi DC zaznaczono punkt F, który stanowi spodek wysokości ściany bocznej ostrosłupa i leży w połowie długości krawędzi podstawy. Różowym kolorem zaznaczono trójkąt prostokątny SOF.

Trójkąt $S O F$ jest prostokątny, więc na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy:

$h^{2} = H^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2}$

$h^{2} = {(\frac{d}{\cos α})}^{2} + {(\frac{d \sqrt{2}}{2 \sin α})}^{2}$

$h^{2} = \frac{d^{2}}{\cos^{2} α} + \frac{2 d^{2}}{4 \sin^{2} α}$

$h^{2} = \frac{d^{2}}{\cos^{2} α} + \frac{d^{2}}{2 \sin^{2} α}$

$h^{2} = \frac{2 d^{2} \sin^{2} α + d^{2} \cos^{2} α}{2 \sin^{2} α \cdot \cos^{2} α}$

$h = \frac{d \sqrt{2 \sin^{2} α + \cos^{2} α}}{\sqrt{2} \sin α \cdot \cos α}$

$h = \frac{d \sqrt{2 \cdot (2 \sin^{2} α + 1 - \sin^{2} α)}}{2 \sin α \cdot \cos α}$

$h = \frac{d \sqrt{2 (\sin^{2} α + 1)}}{2 \sin α \cdot \cos α}$

Pole powierzchni bocznej wynosi więc:

$P_{b} = 2 a h = 2 \cdot \frac{d \sqrt{2}}{\sin α} \cdot \frac{d \sqrt{2 (\sin^{2} α + 1)}}{2 \sin α \cdot \cos α} = \frac{2 d^{2} \sqrt{\sin^{2} α + 1}}{\sin^{2} α \cdot \cos α}$ .

Ćwiczenie 8

Oblicz pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości $a$ i krawędzi bocznej długości $k$ .

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku długości $a$ , więc $P_{p} = a^{2}$ .

Ściany boczne to $4$ przystające trójkąty równoramienne. Ich pole można policzyć wykorzystując wzór Herona:

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ,

gdzie $a$ , $b$ , $c$ – długości boków trójkąta, $p$ – połowa jego obwodu.

Zatem:

$P_{b} = 4 \cdot \sqrt{\frac{a + 2 k}{2} \cdot (\frac{a + 2 k}{2} - a) \cdot (\frac{a + 2 k}{2} - k) \cdot (\frac{a + 2 k}{2} - k)}$

$P_{b} = 4 \cdot \sqrt{\frac{a + 2 k}{2} \cdot \frac{2 k - a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}}$

$P_{b} = 4 \cdot \sqrt{\frac{a^{2} \cdot (4 k^{2} - a^{2})}{16}} = a \sqrt{4 k^{2} - a^{2}}$

Mamy więc:

$P_{c} = a^{2} + a \sqrt{4 k^{2} - a^{2}}$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela