Ilustracja pierwsza. Rozwiążemy nierówność $\cos x+\cos 5x<\cos 2x+\cos 4x$.
Rozwiązanie:
Stosujemy wzór $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$.
$2\cos \frac{x+5x}{2}·\cos \frac{x-5x}{2}<2\cos \frac{2x+4x}{2}·\frac{2x-4x}{2}$
$2\cos 3x·\cos \left(-2x\right)<2\cos 3x·\cos \left(-x\right)$
$\cos 3x·\cos 2x<\cos 3x·\cos x$
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.
$\cos 3x\left(\cos 2x-\cos x\right)<0$

Ilustracja druga. Zapisujemy alternatywę dwóch warunków. Warunki te to koniunkcje. Warunek pierwszy: $\cos 3x<0$ i $\cos 2x-\cos x>0$ lub warunek drugi: $\cos 3x>0$ i $\cos 2x-\cos x<0$.
Stosujemy wzór $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$.
Warunek pierwszy: $\cos 3x<0$ i $2{\cos }^{2}x-1-\cos x>0$ lub warunek drugi: $\cos 3x>0$ i $2{\cos }^{2}x-1-\cos x<0$.

Ilustracja trzecia. Przypadek pierwszy.
$2{\cos }^{2}x-1-\cos x>0$ i $\cos 3x<0$.
Rozwiążemy nierówność $2{\cos }^{2}x-1-\cos x>0$.
Stosujemy podstawienie $\cos x=t$ i otrzymujemy nierówność
$2t^2-t-1>0$
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.
$\Delta =1-4·\left(-1\right)·2=9$
Otrzymujemy więc
$t=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$ lub $t=\frac{1+3}{4}=1$.
Zatem t wpada do następującego przedziału $t\in \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$. Zatem $\cos x\in \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

Ilustracja czwarta . Przypadek pierwszy. Rozwiązujemy nierówność ze zmienną $x$.
$\cos x<-\frac{1}{2}$
Podajemy rozwiązanie nierówności $2{\cos }^{2}x-1-\cos x>0$.
$x\in \left(\frac{2\pi }{3}+2k\pi ;\frac{4\pi }{3}+2k\pi \right)$, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Rozwiążemy nierówność $\cos 3x<0$.
$3x\in \left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)$
, gdzie k jest liczbą całkowitą. Zatem
$x\in \left(\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3};\frac{\pi }{2}+\frac{2k\pi }{3}\right)$
Rozwiązanie Przypadku pierwszego jest następujące:
$x\in \left(\frac{5\pi }{6}+2k\pi ;\frac{7\pi }{6}+2k\pi \right)$, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Ilustracja piąta. Przypadek drugi.
$2{\cos }^{2}x-1-\cos x<0$ i $\cos 3x>0$.
Rozwiążemy nierówność $2{\cos }^{2}x-1-\cos x<0$.
Stosujemy podstawienie $\cos x=t$ i otrzymujemy nierówność
$2t^2-t-1<0$
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.
$\Delta =1-4·\left(-1\right)·2=9$
Otrzymujemy więc
$t=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$ lub $t=\frac{1+3}{4}=1$.
Zatem t wpada do następującego przedziału $t\in \left(-\frac{1}{2};1\right)$.
Więc $\cos x\in \left(-\frac{1}{2};1\right)$. Rozwiązujemy nierówność $-\frac{1}{2}<\cos x<1$. Otrzymujemy stąd, że $x\in \left(-\frac{2\pi }{3}+2k\pi ;2k\pi \right)\cup \left(2k\pi ;\frac{2\pi }{3}+2k\pi \right)$, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Ilustracja szósta. Rozwiążemy nierówność $\cos 3x>0$. $3x\in \left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$, gdzie k jest liczbą całkowitą. Zatem mamy
$x\in \left(-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3};\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}\right)$, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie Przypadku drugiego jest następujące:
$x\in \left(-\frac{2\pi }{3}+2k\pi ;-\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)\cup \left(-\frac{\pi }{6}+2k\pi ;2k\pi \right)\cup \left(2k\pi ;\frac{\pi }{6}+2k\pi \right)\cup \left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{2\pi }{3}+2k\pi \right)$, gdzie k to liczba całkowita.
Odpowiedź: Rozwiązanie nierówności z zadania jest następujące: $x\in \left(-\frac{2\pi }{3}+2k\pi ;-\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)\cup \left(-\frac{\pi }{6}+2k\pi ;2k\pi \right)\cup \left(2k\pi ;\frac{\pi }{6}+2k\pi \right)\cup \left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{2\pi }{3}+2k\pi \right)\cup \left(\frac{5\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3};\frac{7\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}\right)$, gdzie k jest liczbą całkowitą.