W tym materiale zawarte są wiadomości dotyczące budowy, pól i objętości figur przestrzennych. Po wykonaniu wszystkich zadań możesz rozwiązać test, który znajduje się na końcu materiału i zawiera zadania utrwalające i rozwijające uzyskane umiejętności.

Aby wyobrazić sobie figurę przestrzenną lub rozpoznać ją, często wystarczają jej widoki z trzech stron: z góry, z przodu i z boku.

Ćwiczenie 1

RrUgVsky3yEIO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCF91GJ5MgvRB

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

RXVg0Oi0hTvoT

Z sześcianów o objętości

3 {cm}^{3}

zbudowano trzy bryły.
Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Bryła zbudowana z

16

sześcianów ma objętość 1.

48 {cm}^{3}

, 2.

36 {cm}^{3}

, 3.

12 {cm}^{3}

, 4.

15 {cm}^{3}

, 5.

42 {cm}^{3}

, 6.

76 {cm}^{3}

, 7.

64 {cm}^{3}

, 8.

16 {cm}^{3}

, 9.

45 {cm}^{3}

.Bryła zbudowana z

15

sześcianów ma objętość 1.

48 {cm}^{3}

, 2.

36 {cm}^{3}

, 3.

12 {cm}^{3}

, 4.

15 {cm}^{3}

, 5.

42 {cm}^{3}

, 6.

76 {cm}^{3}

, 7.

64 {cm}^{3}

, 8.

16 {cm}^{3}

, 9.

45 {cm}^{3}

.Bryła zbudowana z

12

sześcianów ma objętość 1.

48 {cm}^{3}

, 2.

36 {cm}^{3}

, 3.

12 {cm}^{3}

, 4.

15 {cm}^{3}

, 5.

42 {cm}^{3}

, 6.

76 {cm}^{3}

, 7.

64 {cm}^{3}

, 8.

16 {cm}^{3}

, 9.

45 {cm}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R12j91uMyYcqq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

RSzjeKKYr0F5U

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RBJgVDZU8EZ6Y1

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCMRQy8rv1aQL2

Ćwiczenie 4

Suma liczby ścian, krawędzi i wierzchołków w ostrosłupie trójkątnym jest równa $14$ .
W ostrosłupie czworokątnym jest $2$ razy więcej krawędzi niż ścian.
Suma liczby krawędzi i wierzchołków w ostrosłupie pięciokątnym jest równa $16$ .
W ostrosłupie jedenastokątnym są o $4$ krawędzie więcej niż w ostrosłupie dziewięciokątnym.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

RrAocQVliUlo7

Połącz dwie informacje tak, aby tworzyły zdanie prawdziwe. Jeżeli

n

to liczba boków figury znajdującej się w podstawie, to graniastosłup będzie miał:

n + 2

Możliwe odpowiedzi: 1. wierzchołków, 2. ścian, 3. zakładek, 4. krawędzi

3 n

Możliwe odpowiedzi: 1. wierzchołków, 2. ścian, 3. zakładek, 4. krawędzi

2 n

Możliwe odpowiedzi: 1. wierzchołków, 2. ścian, 3. zakładek, 4. krawędzi

2 n - 1

Możliwe odpowiedzi: 1. wierzchołków, 2. ścian, 3. zakładek, 4. krawędzi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Sześcian o krawędzi długości $1 cm$ ma pole powierzchni równe $6 {cm}^{2}$ .

R1ZcY5eO8si9J

Sześcian o krawędzi długości 1cm. Zapis: P = 6 centymetrów kwadratowych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli połączymy kwadratowe ściany dwóch takich sześcianów, otrzymamy graniastosłup o polu powierzchni $10 {cm}^{2}$ .

RADTIIUHPGNvl1

Rysunek graniastosłupa zbudowanego z dwóch jednakowych sześcianów. Zapis: P = 10 centymetrów kwadratowych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Gdy połączymy trzy sześciany, przykładając do siebie ich ściany, będziemy mogli otrzymamy dwie różne bryły.

R8eOxQjhi5p7h1

Rysunek dwóch różnych graniastosłupów zbudowanych z trzech sześcianów. Pierwszy graniastosłup zbudowany z dwóch sześcianów, na których leży trzeci sześcian. W drugim graniastosłupie sześciany ułożone są jeden za drugim. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Iljy7wn2c7I

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Bryły przedstawione na rysunku zbudowane są z pięciu jednakowych sześcianów o krawędzi długości $1 cm$ . Wyznacz pola powierzchni tych brył.

R11Tzu8DuyUuR1

Rysunek pięciu różnych graniastosłupów zbudowanych z pięciu sześcianów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1HtHvPEbRoWD

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Podaj przykłady przedmiotów, które są w kształcie prostopadłościanów lub sześcianów.

Ćwiczenie 7

Bryła przedstawiona na rysunku zbudowana jest z sześciu jednakowych sześcianów o krawędzi długości $1 cm$ . Wyznacz pola powierzchni tych brył.

R1PLhUsqaaYhj1

Rysunek dwóch różnych brył zbudowanych z sześciu sześcianów. Bryła: a) składa się z 26 ścian będących kwadratami, b) składa się z 26 ścian będących kwadratami. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1A6u3ZO5Ae5Q

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Opisz etapy konstrukcji dowolnego modelu bryły złożonego z pięciu sześcianu o krawędzi długości $1 cm$ .

Na początku zastanawiamy się jak nasza bryła wygląda. Np. sześciany są ułożone pionowo, poprzez połączenie podstaw każdego z nich. W ten sposób z otrzymanych sześcianów powstanie nam graniastosłup prawidłowy czworokątny.
Aby narysować siatkę tej bryły, musimy znać jej wymiary. Z opisanej wcześniej sytuacji wnioskujemy, że graniastosłup ma wymiary $1 cm$ na $1 cm$ na $5 cm$ .
Gdy znamy wymiary graniastosłupa, rysujemy jego siatkę wraz z zakładkami.
Następnie wycinamy siatkę razem z zakładkami. Smarujemy zakładki klejem i sklejamy model bryły.

Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiono bryły oraz ich siatki.

R1V73qGUQIgdC

Rysunek trzech różnych graniastosłupów zbudowanych z sześcianów oraz czterech różnych siatek. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RXVJgqCcmj1eF

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RxjX8OqJuAC9P

Ćwiczenie 9

Połącz w pary dwie równoważne informacje. Siatka graniastosłupa prawidłowego trójkątnego Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

Siatka sześcianu Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

Siatka czworościanu foremnego Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

Bryła, która ma jeden wierzchołek Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

10

wierzchołków Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

Ostrosłup prawidłowy czworokątny Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

Jej powierzchnię nazywamy sferą Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

7

ścian i

7

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

Siatka walca Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

Prostopadłościan Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

10

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

7

ścian i

7

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

r

oraz prostokąta o bokach

r

2 π r

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Siatka stożka składa się z powierzchni bocznej, która jest częścią koła i podstawy.

R1EBzsfq1KLAU1

Rysunek siatki stożka. Zaznaczona powierzchnia boczna będąca wycinkiem koła i podstawa będąca kołem. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rysunki przedstawiają powierzchnie boczne stożków. Są to części kół, o równych promieniach. Uporządkuj je w kolejności od powierzchni bocznej stożka o najmniejszym promieniu podstawy do powierzchni bocznej stożka o największym promieniu podstawy.

RYAOWJ33j7i1b1

Rysunek czterech powierzchni bocznych stożków. Rysunek rzymskie jeden to wycinek koła o kącie środkowym 200 stopni. Rysunek rzymskie dwa to wycinek koła o kącie środkowym 180 stopni. Rysunek rzymskie trzy to wycinek koła o kącie środkowym 300 stopni. Rysunek rzymskie cztery to wycinek koła o kącie środkowym 270 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rt9K702abJggy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Rysunek przedstawia powierzchnie boczne dwóch stożków, przy czym promienie kół, z których wycięto obie figury mają równe promienie. Który ze stożków ma dłuższą wysokość?

Ro35cygKWQHDu1

Rysunek dwóch powierzchni bocznych stożków. Rysunek rzymskie jeden to wycinek koła o kącie środkowym 270 stopni. Rysunek rzymskie dwa to wycinek koła o kącie środkowym 310 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfnhLrUmYyS1b

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zadanie.

Wyobraź sobie ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt foremny, a jego wysokość jest dwa razy dłuższa niż krawędź podstawy.

R8EerzMg46d51

Polecenie 2

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zadanie.

Wyobraź sobie graniastosłup, którego podstawą jest trapez równoramienny, w którym dłuższa podstawa jest trzykrotnością krótszej. Wysokość tego graniastosłupa jest równa długości dłuższej podstawy trapezu.

R1WyNSly2PEFD

Polecenie 3

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zadanie.

Wyobraź sobie walec, w którym jego promień i wysokość mają tę samą długość.

Rm9AvE1JPIixd

Polecenie 4

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zadanie.

Wyobraź sobie stożek, w którym promień jest trzy razy krótszy niż jego wysokość.

R1QXrE29qbWmz

Polecenie 5

Zapoznaj się z poniższą infografiką, w której znajdziesz wszystkie najpotrzebniejsze wzory używane w geometrii przestrzennej.

RI9S4Z4c258N01

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Powtórz i utrwal sobie najpotrzebniejsze wzory, które są używane w geometrii przestrzennej.

Graniastosłupy
Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa: $P_{c} = 2 \cdot P_{p} + P_{b}$
$P_{p}$ - pole podstawy graniastosłupa
$P_{b}$ - pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych graniastosłupa)
Wzór na objętość graniastosłupa: $V = P_{p} \cdot H$
$P_{p}$ - pole podstawy graniastosłupa
$H$ - wysokość graniastosłupa
- Prostopadłościan to graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami, oraz wszystkie ściany boczne są prostopadłe do podstaw.
  Wzór na pole powierzchni całkowitej: $P_{c} = 2 a b + 2 a c + 2 b c = 2 (a b + a c + b c)$
  Wzór na objętość: $V = a b c$
  Wzór na przekątną bryły: $d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
  gdzie:
  $a$ , $b$ , $c$ – długości krawędzi prostopadłościanu
- Sześcian to prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równej długości.
  Wzór na pole powierzchni całkowitej: $P_{c} = 6 a^{2}$
  Wzór na objętość: $V = a^{3}$
  Wzór na przekątną bryły: $d = a \sqrt{3}$
  gdzie:
  $a$ – długość krawędzi sześcianu
Ostrosłupy
Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa: $P_{c} = P_{p} + P_{b}$
$P_{p}$ - pole podstawy ostrosłupa
$P_{b}$ - pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych ostrosłupa)
Wzór na objętość ostrosłupa: $V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H$
$P_{p}$ - pole podstawy ostrosłupa
$H$ - wysokość ostrosłupa
- Ostrosłup prawidłowy trójkątny, to ostrosłup, który ma w podstawie trójkąt równoboczny.
  Wzór na pole powierzchni całkowitej: $P_{c} = P_{p} + P_{b} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{1}{2} a h = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + \frac{3 a h}{2}$
  Wzór na objętość: $V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot H = \frac{a^{2} H \sqrt{3}}{12}$
  gdzie:
  $a$ – długość krawędzi podstawy ostrosłupa
  $h$ (małe) – wysokość scianu bocznej ostrosłupa
  $H$ (duże) – wysokość ostrosłupa
- Ostrosłup prawidłowy czworokątny, to ostrosłup, który ma w podstawie kwadrat.
  Wzór na pole powierzchni całkowitej: $P_{c} = P_{p} + P_{b} = a^{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} a h = a^{2} + 2 a h$
  Wzór na objętość: $V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} a^{2} H$
  gdzie:
  $a$ – długość krawędzi podstawy ostrosłupa
  $h$ (małe) – wysokość scianu bocznej ostrosłupa
  $H$ (duże) – wysokość ostrosłupa
- Czworościan foremny, to ostrosłup, który ma w podstawie oraz ścianach bocznych trójkąty równoboczne.
  Wzór na pole powierzchni całkowitej: $P_{c} = a^{2} \sqrt{3}$
  Wzór na objętość: $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$
  gdzie:
  $a$ – długość krawędzi ostrosłupa
Bryły obrotowe
- Kula jest bryłą obrotową powstałą przez obrót półkola wokół prostej zawartej w jego średnicy.
  Wzór na pole powierzchni : $P = 4 π r^{2}$
  Wzór na objętość: $V = \frac{4}{3} π r^{3}$
  gdzie:
  $r$ – promień kuli
- Stożek to bryła przestrzenna, która powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych.
  Wzór na pole podstawy : $P_{p} = π r^{2}$
  Wzór na pole boczne : $P_{b} = π r l$
  Wzór na pole powierzchni całkowitej : $P_{c} = π r^{2} + π r l = π r (r + l)$
  Wzór na objętość : $V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot h = \frac{1}{3} π r^{2} h$
  gdzie:
  $r$ – promień podstawy stożka
  $l$ – tworząca stożka
  $h$ – wysokość stożka
- Walec to bryła przestrzenna, która powstaje przez obrót prostokąta wokół jednego z boków.
  Wzór na pole podstawy : $P_{p} = π r^{2}$
  Wzór na pole boczne : $P_{b} = 2 π r h$
  Wzór na pole powierzchni całkowitej : $P_{c} = 2 \cdot P_{p} + P_{b} = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π r (r + h)$
  Wzór na objętość : $V = P_{p} \cdot h = π r^{2} h$
  gdzie:
  $r$ – promień podstawy walca
  $l$ – tworząca walca
  $h$ – wysokość walca

Geometria przestrzenna - powtórzenie103555

Test

Geometria przestrzenna - powtórzenie

Liczba pytań:

Limit czasu:

35 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Geometria przestrzenna - powtórzenie

Pytanie 1/10

Twój ostatni wynik -

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.