Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

W tym materiale zawarte są wiadomości dotyczące budowy, pól i objętości figur przestrzennych. Po wykonaniu wszystkich zadań możesz rozwiązać test, który znajduje się na końcu materiału i zawiera zadania utrwalające i rozwijające uzyskane umiejętności.

Aby wyobrazić sobie figurę przestrzenną lub rozpoznać ją, często wystarczają jej widoki z trzech stron: z góry, z przodu i z boku.

1
Ćwiczenie 1
RrUgVsky3yEIO
Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Siatka sześciokąta składa się z Tu uzupełnij kwadratów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RCF91GJ5MgvRB
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 2
RXVg0Oi0hTvoT
Z sześcianów o objętości 3 cm3 zbudowano trzy bryły.
Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Bryła zbudowana z 16 sześcianów ma objętość 1. 48 cm3, 2. 36 cm3, 3. 12 cm3, 4. 15 cm3, 5. 42 cm3, 6. 76 cm3, 7. 64 cm3, 8. 16 cm3, 9. 45 cm3.Bryła zbudowana z 15 sześcianów ma objętość 1. 48 cm3, 2. 36 cm3, 3. 12 cm3, 4. 15 cm3, 5. 42 cm3, 6. 76 cm3, 7. 64 cm3, 8. 16 cm3, 9. 45 cm3.Bryła zbudowana z 12 sześcianów ma objętość 1. 48 cm3, 2. 36 cm3, 3. 12 cm3, 4. 15 cm3, 5. 42 cm3, 6. 76 cm3, 7. 64 cm3, 8. 16 cm3, 9. 45 cm3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R12j91uMyYcqq
Z sześcianów o objętości 1 cm3 zbudowano trzy bryły przedstawione na rysunku poniżej.
Połącz w pary objętość z odpowiednią bryłą.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 3
RSzjeKKYr0F5U
Poniższe figury zbudowane są z jednakowych sześcianów. Jaką najmniejszą liczbą sześcianów należy uzupełnić figurę na rysunku, aby otrzymać prostopadłościan? Połącz w pary figurę z brakującą liczbą sześcianów,.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RBJgVDZU8EZ6Y1
Ćwiczenie 3
Wybierz, z których elementów można złożyć model sześcianu lub prostopadłościanu. Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. pięć kwadratów o boku długości 2 cm, 2. dwa kwadraty o krawędzi długości 4 cm oraz cztery prostokąty wymiarach 4 cm×3 cm, 3. sześć prostokątów o wymiarach 1 cm×4 cm, 4. dwa prostokąty o wymiarach 7 cm×9 cm, dwa prostokąty o wymiarach 7 cm×6 cm oraz dwa prostokąty o wymiarach 6 cm×9 cm, 5. dziewięć kwadratów o boku długości 6 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RCMRQy8rv1aQL2
Ćwiczenie 4
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Suma liczby ścian, krawędzi i wierzchołków w ostrosłupie trójkątnym jest równa 14 ., 2. W ostrosłupie czworokątnym jest 2 razy więcej krawędzi niż ścian., 3. Suma liczby krawędzi i wierzchołków w ostrosłupie pięciokątnym jest równa 16 ., 4. W ostrosłupie jedenastokątnym są o  4 krawędzie więcej niż w ostrosłupie dziewięciokątnym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 5
RrAocQVliUlo7
Połącz dwie informacje tak, aby tworzyły zdanie prawdziwe. Jeżeli n to liczba boków figury znajdującej się w podstawie, to graniastosłup będzie miał: n+2 Możliwe odpowiedzi: 1. wierzchołków, 2. ścian, 3. zakładek, 4. krawędzi 3n Możliwe odpowiedzi: 1. wierzchołków, 2. ścian, 3. zakładek, 4. krawędzi 2n Możliwe odpowiedzi: 1. wierzchołków, 2. ścian, 3. zakładek, 4. krawędzi 2n-1 Możliwe odpowiedzi: 1. wierzchołków, 2. ścian, 3. zakładek, 4. krawędzi
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Sześcian o krawędzi długości 1 cm ma pole powierzchni równe 6 cm2.

R1ZcY5eO8si9J
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli połączymy kwadratowe ściany dwóch takich sześcianów, otrzymamy graniastosłup o polu powierzchni 10 cm2.

RADTIIUHPGNvl1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Gdy połączymy trzy sześciany, przykładając do siebie ich ściany, będziemy mogli otrzymamy dwie różne bryły.

R8eOxQjhi5p7h1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Iljy7wn2c7I
Każda z brył będzie miał takie samo pole powierzchni, wynoszące 14 cm2.
Zaznacz bryły o polu powierzchni równej 18 cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 6

Bryły przedstawione na rysunku zbudowane są z pięciu jednakowych sześcianów o krawędzi długości 1 cm. Wyznacz pola powierzchni tych brył.

R11Tzu8DuyUuR1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1HtHvPEbRoWD
Wpisz w wyznaczone miejsca odpowiedni wynik.. Pole powierzchni graniastosłupa a) wynosi Tu uzupełnij cm2. Pole powierzchni graniastosłupa b) wynosi Tu uzupełnij cm2. Pole powierzchni graniastosłupa c) wynosi Tu uzupełnij cm2. Pole powierzchni graniastosłupa d) wynosi Tu uzupełnij cm2. Pole powierzchni graniastosłupa e) wynosi Tu uzupełnij cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 6

Podaj przykłady przedmiotów, które są w kształcie prostopadłościanów lub sześcianów.

2
Ćwiczenie 7

Bryła przedstawiona na rysunku zbudowana jest z sześciu jednakowych sześcianów o krawędzi długości 1 cm. Wyznacz pola powierzchni tych brył.

R1PLhUsqaaYhj1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1A6u3ZO5Ae5Q
Wpisz w wyznaczone miejsca odpowiedni wynik. Pole powierzchni graniastosłupa a) wynosi Tu uzupełnij cm2. Pole powierzchni graniastosłupa b) wynosi Tu uzupełnij cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 8

Opisz etapy konstrukcji dowolnego modelu bryły złożonego z pięciu sześcianu o krawędzi długości 1 cm.

2
Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiono bryły oraz ich siatki.

R1V73qGUQIgdC
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RXVJgqCcmj1eF
Połącz w pary bryły z ich siatkami. Bryła I Możliwe odpowiedzi: 1. Siatka a), 2. Siatka b), 3. Siatka c) Bryła II Możliwe odpowiedzi: 1. Siatka a), 2. Siatka b), 3. Siatka c) Bryła III Możliwe odpowiedzi: 1. Siatka a), 2. Siatka b), 3. Siatka c)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RxjX8OqJuAC9P
Ćwiczenie 9
Połącz w pary dwie równoważne informacje. Siatka graniastosłupa prawidłowego trójkątnego Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu r oraz prostokąta o bokach r2πr Siatka sześcianu Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu r oraz prostokąta o bokach r2πr Siatka czworościanu foremnego Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu r oraz prostokąta o bokach r2πr Bryła, która ma jeden wierzchołek Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu r oraz prostokąta o bokach r2πr Ma 10 wierzchołków Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu r oraz prostokąta o bokach r2πr Ostrosłup prawidłowy czworokątny Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu r oraz prostokąta o bokach r2πr Jej powierzchnię nazywamy sferą Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu r oraz prostokąta o bokach r2πr Ma 7 ścian i 7 wierzchołków Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu r oraz prostokąta o bokach r2πr Siatka walca Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu r oraz prostokąta o bokach r2πr Prostopadłościan Możliwe odpowiedzi: 1. Graniastosłup pięciokątny, 2. Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznych, 3. Ostrosłup sześciokątny, 4. Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątów, 5. Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznych, 6. Kula, 7. Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, 8. Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratów, 9. Stożek, 10. Siatka składająca się z dwóch okręgów o promieniu r oraz prostokąta o bokach r2πr
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 10

Siatka stożka składa się z powierzchni bocznej, która jest częścią koła i podstawy.

R1EBzsfq1KLAU1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rysunki przedstawiają powierzchnie boczne stożków. Są to części kół, o równych promieniach. Uporządkuj je w kolejności od powierzchni bocznej stożka o najmniejszym promieniu podstawy do powierzchni bocznej stożka o największym promieniu podstawy.

RYAOWJ33j7i1b1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rt9K702abJggy
Wskaż prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. II, I, III, IV, 2. II, III, IV, I, 3. III, IV, I, II, 4. II, I, IV, III
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 11

Rysunek przedstawia powierzchnie boczne dwóch stożków, przy czym promienie kół, z których wycięto obie figury mają równe promienie. Który ze stożków ma dłuższą wysokość?

Ro35cygKWQHDu1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RfnhLrUmYyS1b
Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Stożek I, 2. Stożek II
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zadanie.

Wyobraź sobie ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt foremny, a jego wysokość jest dwa razy dłuższa niż krawędź podstawy.

R8EerzMg46d51
Animacja pokazuje ostrosłup o podstawie trójkąta A B C o wierzchołku w punkcie W. Zmieniając położenie jednego z wierzchołków podstawy należy skonstruować ostrosłup o podstawie trójkąta równobocznego o boku długości równej 6 cm i wysokości H = 4 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 2

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zadanie.

Wyobraź sobie graniastosłup, którego podstawą jest trapez równoramienny, w którym dłuższa podstawa jest trzykrotnością krótszej. Wysokość tego graniastosłupa jest równa długości dłuższej podstawy trapezu.

R1WyNSly2PEFD
Animacja pokazuje graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E. Zmieniając położenie jednego z wierzchołków podstawy należy skonstruować graniastosłup o podstawie pięciokąta foremnego o boku długości równej 4 cm i wysokości H = 4 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 3

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zadanie.

Wyobraź sobie walec, w którym jego promień i wysokość mają tę samą długość.

Rm9AvE1JPIixd
Animacja pokazuje walec. Zmieniając długość promienia podstawy należy skonstruować walec o promieniu r =3 cm i wysokości H =4 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 4

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zadanie.

Wyobraź sobie stożek, w którym promień jest trzy razy krótszy niż jego wysokość.

R1QXrE29qbWmz
Animacja pokazuje stożek. Zmieniając długość promienia podstawy należy skonstruować stożek o promieniu r =4 cm i wysokości H =6 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 5

Zapoznaj się z poniższą infografiką, w której znajdziesz wszystkie najpotrzebniejsze wzory używane w geometrii przestrzennej.

RI9S4Z4c258N01
Ilustracja interaktywna.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Powtórz i utrwal sobie najpotrzebniejsze wzory, które są używane w geometrii przestrzennej.

  1. Graniastosłupy
    Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa: Pc=2·Pp+Pb
    Pp - pole podstawy graniastosłupa
    Pb - pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych graniastosłupa)
    Wzór na objętość graniastosłupa: V=Pp·H
    Pp - pole podstawy graniastosłupa
    H - wysokość graniastosłupa

    • Prostopadłościan to graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami, oraz wszystkie ściany boczne są prostopadłe do podstaw.
      Wzór na pole powierzchni całkowitej: Pc=2ab+2ac+2bc=2ab+ac+bc
      Wzór na objętość: V=abc
      Wzór na przekątną bryły: d=a2+b2+c2
      gdzie:
      a, b, c – długości krawędzi prostopadłościanu

    • Sześcian to prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równej długości.
      Wzór na pole powierzchni całkowitej: Pc=6a2
      Wzór na objętość: V=a3
      Wzór na przekątną bryły: d=a3
      gdzie:
      a – długość krawędzi sześcianu

  2. Ostrosłupy
    Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa: Pc=Pp+Pb
    Pp - pole podstawy ostrosłupa
    Pb - pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych ostrosłupa)
    Wzór na objętość ostrosłupa: V=13·Pp·H
    Pp - pole podstawy ostrosłupa
    H - wysokość ostrosłupa

    • Ostrosłup prawidłowy trójkątny, to ostrosłup, który ma w podstawie trójkąt równoboczny.
      Wzór na pole powierzchni całkowitej: Pc=Pp+Pb=a234+3·12ah=a234+3ah2
      Wzór na objętość: V=13·Pp·H=13·a234·H=a2H312
      gdzie:
      a – długość krawędzi podstawy ostrosłupa
      h (małe) – wysokość scianu bocznej ostrosłupa
      H (duże) – wysokość ostrosłupa

    • Ostrosłup prawidłowy czworokątny, to ostrosłup, który ma w podstawie kwadrat.
      Wzór na pole powierzchni całkowitej: Pc=Pp+Pb=a2+4·12ah=a2+2ah
      Wzór na objętość: V=13·Pp·H=13a2H
      gdzie:
      a – długość krawędzi podstawy ostrosłupa
      h (małe) – wysokość scianu bocznej ostrosłupa
      H (duże) – wysokość ostrosłupa

    • Czworościan foremny, to ostrosłup, który ma w podstawie oraz ścianach bocznych trójkąty równoboczne.
      Wzór na pole powierzchni całkowitej: Pc=a23
      Wzór na objętość: V=a3212
      gdzie:
      a – długość krawędzi ostrosłupa

  3. Bryły obrotowe

    • Kula jest bryłą obrotową powstałą przez obrót półkola wokół prostej zawartej w jego średnicy.
      Wzór na pole powierzchni : P=4πr2
      Wzór na objętość: V=43πr3
      gdzie:
      r – promień kuli

    • Stożek to bryła przestrzenna, która powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych.
      Wzór na pole podstawy : Pp=πr2
      Wzór na pole boczne : Pb=πrl
      Wzór na pole powierzchni całkowitej : Pc=πr2+πrl=πrr+l
      Wzór na objętość : V=13·Pp·h=13πr2h
      gdzie:
      r – promień podstawy stożka
      l – tworząca stożka
      h – wysokość stożka

    • Walec to bryła przestrzenna, która powstaje przez obrót prostokąta wokół jednego z boków.
      Wzór na pole podstawy : Pp=πr2
      Wzór na pole boczne : Pb=2πrh
      Wzór na pole powierzchni całkowitej : Pc=2·Pp+Pb=2πr2+2πrh=2πrr+h
      Wzór na objętość : V=Pp·h=πr2h
      gdzie:
      r – promień podstawy walca
      l – tworząca walca
      h – wysokość walca

Geometria przestrzenna - powtórzenie103555
Test

Geometria przestrzenna - powtórzenie

Liczba pytań:
10
Limit czasu:
35 min
Twój ostatni wynik:
-