Grafika interaktywna (schemat)

Pomiary pośrednie - proste przypadki

W poniższym rozwijanym schemacie interaktywnym przedstawiono osiem najczęściej spotykanych zależności wielkości mierzonej pośrednio $w$ od jednej $(x)$ lub dwóch $(x\text{ i }y)$ wielkości mierzonych bezpośrednio. Dla każdego z wymienionych przypadków znajdziesz: gotowe wyrażenie umożliwiające wyznaczenie maksymalnego odchylenia $Δ w$ zmierzonej wartości $w$ od jej wartości rzeczywistej, a także przykład ilustrujący zastosowanie tego wyrażenia.

Polecenie 1

Zapoznaj się z poszczególnymi grafikami klikając na wzory, pod którymi są ukryte. Przeanalizuj każdy przykład. Nazwij analizowane w tych przykładach wielkości mierzone pośrednio i bezpośrednio.

R15hqiXuu5NvY

1. $w = A \cdot x + B$
Funkcja liniowa wielkości mierzonej bezpośrednio.
$Δ w = | A | \cdot Δ x$

2. $w = x^{2}$
Kwadrat wielkości mierzonej bezpośrednio.
$Δ w = 2 x \cdot Δ x$

3. $w = \frac{1}{x}$
Odwrotność wielkości mierzonej bezpośrednio.
$Δ w = \frac{1}{x^{2}} \cdot Δ x$

4. $w = x^{n}; n \neq 0$
Funkcja potęgowa wielkości mierzonej bezpośrednio.
$Δ w = | n | \cdot x^{n - 1} \cdot Δ x$

5. $w = x \cdot y$
Iloczyn wielkości mierzonych bezpośrednio. $Δ w = x \cdot Δ y + y \cdot Δ x$

6. $w = \frac{x}{y}$
Iloraz dwóch wielkości mierzonych bezpośrednio.
$Δ w = Δ x \cdot \frac{1}{y} + x \cdot \frac{Δ y}{y^{2}}$

7. $w = x + y$
Suma wielkości mierzonych bezpośrednio.
$Δ w = Δ x + Δ y$

8. $w = x - y$
Różnica dwóch wielkości mierzonych bezpośrednio.
$Δ w = Δ x + Δ y$

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Polecenie 2

Rv6u3u7yFdgnA

Wielkość

w

mierzona jest pośrednio na podstawie bezpośredniego pomiaru jednej (lub dwóch) wielkości

x

(ewentualnie

y

). Przyporządkuj opis słowny zależności pomiędzy

w

x

(ewentualnie także

y

) odpowiedniemu zapisowi matematycznemu:

1.

w = A \cdot x + B

w = x^{2}

w = \frac{1}{x}

w = x^{n}; n \neq 0

w = x \cdot y

w = \frac{x}{y}

w = x + y

w = x - y

Możliwe odpowiedzi:
a. iloczyn wielkości mierzonych bezpośrednio,
b. odwrotność wielkości mierzonej bezpośrednio,
c. funkcja potęgowa wielkości mierzonej bezpośrednio,
d. różnica dwóch wielkości mierzonych bezpośrednio,
e. funkcja liniowa wielkości mierzonej bezpośrednio,
f. suma wielkości mierzonych bezpośrednio,
g. iloraz dwóch wielkości mierzonych bezpośrednio,
h. kwadrat wielkości mierzonej bezpośrednio.

Wielkość $w$ mierzona jest pośrednio na podstawie bezpośredniego pomiaru jednej (lub dwóch) wielkości $x$ (ewentualnie $y$ ). Przyporządkuj opis słowny zależności pomiędzy $w$ a $x$ (ewentualnie także $y$ ) odpowiedniemu zapisowi matematycznemu.

iloraz dwóch wielkości mierzonych bezpośrednio, iloczyn wielkości mierzonych bezpośrednio, funkcja potęgowa wielkości mierzonej bezpośrednio, funkcja liniowa wielkości mierzonej bezpośrednio, odwrotność wielkości mierzonej bezpośrednio, różnica dwóch wielkości mierzonych bezpośrednio, kwadrat wielkości mierzonej bezpośrednio, suma wielkości mierzonych bezpośrednio

$w = A \cdot x + B$
$w = x^{2}$
$w = \frac{1}{x}$
$w = x^{n}; n \neq 0$
$w = x \cdot y$
$w = \frac{x}{y}$
$w = x + y$
$w = x - y$

Polecenie 3

RNvG0G4SnJM08

Wielkość

w

mierzona jest pośrednio na podstawie bezpośredniego pomiaru jednej wielkości

x

. Przyporządkuj opis pomiaru zapisowi matematycznemu, z którego skorzystasz, by przeprowadzić pośredni pomiar i obliczyć

Δ w

- maksymalne odchylenie rzeczywistej wartości

w

od jej wartości zmierzonej:

1.

w = A \cdot x + B

w = x^{2}

w = \frac{1}{x}

w = x^{n}; n \neq 0

Możliwe odpowiedzi:
a. Na podstawie pomiaru długości fali wiązki światła mierzysz pęd fotonu w tej wiązce.
b. Na podstawie pomiaru średnicy koła mierzysz promień oraz obwód tego koła.
c. Na podstawie pomiaru napięcia na okładkach kondensatora mierzysz energię w nim zgromadzoną. Przyjmujesz, że pojemność kondensatora jest znana dokładnie.
d. Na podstawie pomiaru temperatury ciała mierzysz moc promieniowania elektromagnetycznego emitowanego przez to ciało. Przyjmujesz, że jest to ciało doskonale czarne oraz że powierzchnię tego ciała znasz dokładnie.

Wielkość $w$ mierzona jest pośrednio na podstawie bezpośredniego pomiaru jednej wielkości $x$ . Przyporządkuj opis pomiaru zapisowi matematycznemu, z którego skorzystasz, by przeprowadzić pośredni pomiar i obliczyć $Δ w$ - maksymalne odchylenie rzeczywistej wartości $w$ od jej wartości zmierzonej.

Na podstawie pomiaru napięcia na okładkach kondensatora mierzysz energię w nim zgromadzoną. Przyjmujesz, że pojemność kondensatora jest znana dokładnie., Na podstawie pomiaru długości fali wiązki światła mierzysz pęd fotonu w tej wiązce., Na podstawie pomiaru temperatury ciała mierzysz moc promieniowania elektromagnetycznego emitowanego przez to ciało. Przyjmujesz, że jest to ciało doskonale czarne oraz że powierzchnię tego ciała znasz dokładnie., Na podstawie pomiaru średnicy koła mierzysz promień oraz obwód tego koła

$w = A \cdot x + B$
$w = x^{2}$
$w = \frac{1}{x}$
$w = x^{n}; n \neq 0$

Wartość energii zgromadzonej wewnątrz kondensatora można wyrazić wzorem: $E=\frac{1}{2}CU^2$ , gdzie $C$ – pojemność elektryczna kondensatora, $U$ – napięcie na jego okładkach. Jeśli chcesz się dowiedzieć, skąd bierze się ten wzór, zajrzyj do materiału pt. Jaką pracę należy wykonać, aby naładować kondensator?.

Zgodnie z prawem Stefana‑Boltzmanna, całkowita moc wypromieniowywana przez ciało doskonale czarne w danej temperaturze jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury: $S=\sigma T^4$ , gdzie $\sigma$ – stała Stefana‑Boltzmanna. Jeśli chcesz się dowiedzieć więcej o tym prawie, zajrzyj do materiału pt. Promieniowanie ciała doskonale czarnego.

Pęd fotonu wyznacza się ze wzoru: $p_f=\frac{h}{\lambda}$ , gdzie $h$ – stała Plancka, zaś $\lambda$ – długość fali elektromagnetycznej. Jeśli chcesz się dowiedzieć więcej o fotonach, zajrzyj do materiału pt. Jak definiujemy foton i jego energię?

Polecenie 4

RbvQhzRcga8mT

Wielkość

w

mierzona jest pośrednio na podstawie dwóch lub większej liczby pomiarów bezpośrednich. Przyporządkuj opis pomiaru zapisowi matematycznemu, z którego skorzystasz, by przeprowadzić pośredni pomiar i obliczyć

Δ w

- maksymalne odchylenie od wielkości zmierzonej:

1.

w = x \cdot y

w = \frac{x}{y}

w = x + y

w = x - y

Możliwe odpowiedzi:
a. Na podstawie pomiaru drogi i pomiaru czasu mierzysz średnią prędkość rowerzysty.
b. Na podstawie wskazań amperomierza, woltomierza i stopera mierzysz ciepło wydzielone przez spiralę grzałki elektrycznej.
c. Ciężarówka ma masę własną

m_{0}

. W trzech kolejnych hurtowniach została załadowana paletami o masach

m_{1}

m_{2}

oraz

m_{3}

. Każda masa została zmierzona w hurtowni. Mierzysz masę

M

ciężarówki po załadowaniu.
d. Na podstawie dwóch pomiarów temperatury: w pomieszczeniu oraz na zewnątrz, mierzysz różnicę tych temperatur.

Wielkość $w$ mierzona jest pośrednio na podstawie dwóch lub większej liczby pomiarów bezpośrednich. Przyporządkuj opis pomiaru zapisowi matematycznemu, z którego skorzystasz, by przeprowadzić pośredni pomiar i obliczyć $Δ w$ - maksymalne odchylenie od wielkości zmierzonej.

Ciężarówka ma masę własną <math><msub><mi>m</mi><mo>0</mo></msub></math>. W trzech kolejnych hurtowniach została załadowana paletami o masach <math><msub><mi>m</mi><mo>1</mo></msub></math>, <math><msub><mi>m</mi><mo>2</mo></msub></math> oraz <math><msub><mi>m</mi><mo>3</mo></msub></math>. Każda masa została zmierzona w hurtowni. Mierzysz masę <math><mi>M</mi></math> ciężarówki po załadowaniu., Na podstawie dwóch pomiarów temperatury: w pomieszczeniu oraz na zewnątrz, mierzysz różnicę tych temperatur., Na podstawie pomiaru drogi i pomiaru czasu mierzysz średnią prędkość rowerzysty., Na podstawie wskazań amperomierza, woltomierza i stopera mierzysz ciepło wydzielone przez spiralę grzałki elektrycznej.

$w = x \cdot y$
$w = \frac{x}{y}$
$w = x + y$
$w = x - y$

Masa załadowanej ciężarówki jest równa $M=(m_0+m_1)+(m_2+m_3)$ (oczywiście nawiasy w tym wyrażeniu można opuścić, my oddaliśmy je tylko w celach dydaktycznych). Maksymalne odchylenie od tej masy można wzyznaczyć ze wzoru $\Delta M=\Delta(m_0+m_1)+\Delta(m_2+m_3)$ , który można przekształcić do postaci $\Delta M=(\Delta m_0+\Delta m_1)+(\Delta m_2+\Delta m_3)$ (oczywiście tutaj też można opuścić nawiasy).

Ciepło wydzielone przez spiralę grzałki elektrycznej można wyznaczyć ze wzoru $Q=U\cdot I\cdot t$ , gdzie $U$ – napięcie elektryczne, $I$ – natężenie prądu, $t$ – czas przepływu prądu przez spiralę. Jeśli chcesz się dowiedzieć więcej o tym, od czego zależy i jak wyznacza się ilość ciepła, które wydziela się podczas przepływu prądu elektrycznego przez przewodnik, zajrzyj do materiału pt. Prawo Joule`a – Lenza.

Przeczytaj

Film samouczek

Pomiary pośrednie - proste przypadki