Graniastosłup - opis

W tym materiale przypomnisz sobie podstawowe informacje dotyczące graniastosłupów. Poznasz przykłady różnych rodzajów graniastosłupów i dowiesz się z jakich elementów składają się te bryły.

Rodzaje graniastosłupów

RlS5Agww86Rb91

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Prostopadłościan i sześcian są przykładami graniastosłupów prostych.

Graniastosłup prosty ma dwie podstawy w kształcie przystających wielokątów, leżące w równoległych płaszczyznach. Ściany boczne są prostokątami prostopadłymi do podstaw.

Nazwa graniastosłupa zależy od wielokąta, będącego jego podstawą.

Graniastosłup prosty

Definicja: Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to taka figura przestrzenna, która ma

dwie podstawy będące jednakowymi wielokątami,
ściany boczne będące prostokątami.

Nazwa graniastosłupa zależy od rodzaju wielokąta w podstawie.

RJTQFh5nNau7G1

Rysunek graniastosłupa prostego trójkątnego, graniastosłupa prostego czworokątnego i graniastosłupa prostego sześciokątnego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RoqsbpwWYdxko1

Jeśli podstawą graniastosłupa prostego jest wielokąt foremny (np. trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny), wówczas graniastosłup taki nazywamy prawidłowym.

Inny rodzaj graniastosłupów to graniastosłupy pochyłe. Ich ściany boczne są równoległobokami. Najczęściej leżą w płaszczyznach, które nie są prostopadłe do podstaw.

Elementy graniastosłupa

Ważne!

Graniastosłup ma dwie podstawy w kształcie wielokątów. Liczba ścian bocznych zależy od liczby boków podstawy. Ściany boczne są prostokątami (w przypadku graniastosłupów prostych) lub równoległobokami. Krawędzie boczne są równoległe i równe.

Obejrzyj dokładnie model graniastosłupa.

RH3OjRQZf3PmT1

Rysunek graniastosłupa pięciokątnego z zaznaczonymi: podstawą górną, podstawą dolną, wierzchołkiem, ścianą boczną, krawędzią podstawy i krawędzią boczną. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

R1NCfVDuDCBXT1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PGJVbUrTl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oto wybrane elementy graniastosłupa wraz z ich nazwami.

Podstawy dolna i górna graniastosłupa są figurami płaskimi równoległymi i przystającymi o bokach także równoległych.

Krawędziami podstaw graniastosłupa są boki podstaw graniastosłupa.

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest kątem pomiędzy krawędzią boczną, a przekątną podstawy.

Ścianą boczną graniastosłupa jest każda ze ścian graniastosłupa niebędąca podstawą. Ściany boczne graniastosłupa są równoległobokami.

Przykład 2

Rysunek przedstawia graniastosłup.

Ustalimy liczbę wierzchołków podstawy dolnej i liczbę wszystkich wierzchołków.
Wyznaczymy liczbę krawędzi bocznych tego graniastosłupa oraz liczbę wszystkich jego krawędzi.
Podamy liczbę ścian bocznych tego graniastosłupa oraz liczbę wszystkich jego ścian.
R1QnDW3tE8US51
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Podstawa dolna tego graniastosłupa jest sześciokątem, więc liczba wierzchołków podstawy dolnej to $6$ . Graniastosłup posiada dwie takie same podstawy, więc liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa to $12$ .
Liczba krawędzi bocznych tego graniastosłupa to $6$ . Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa to $18$ .
Ten graniastosłup posiada $6$ ścian bocznych. Liczba wszystkich ścian tego graniastosłupa to $8$ .

Przykład 3

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest trójkąt o polu $25 \sqrt{3} {c m}^{2}$ . Wysokość graniastosłupa jest równa $12 cm$ . Obliczmy, ile centymetrów listewek potrzeba na wykonanie szkieletowego modelu tego graniastosłupa.

RZRkLHFW1ZysT1

Rysunek graniastosłupa prostego trójkątnego. Wszystkie krawędzie podstawy są równe a, wysokość bryły H. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Graniastosłup jest prawidłowy trójkątny, zatem jego podstawą jest trójkąt równoboczny.

Obliczamy długość $a$ krawędzi podstawy – korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

P = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = 25 \sqrt{3} {cm}^{2}

a = \sqrt{100 {cm}^{2}} = 10 cm

Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość $12 cm$ .

Graniastosłup ma $6$ krawędzi podstaw i $3$ krawędzie boczne. Zatem potrzeba $6$ listewek długości $10 cm$ i trzech długości $12 cm$ .

6 \cdot 10 cm + 3 \cdot 12 cm = 60 cm + 36 cm = 96 cm

Odpowiedź:

Na wykonanie modelu graniastosłupa potrzeba $96 cm$ listewek.

Wysokością graniastosłupa nazywamy odległość między płaszczyznami zawierającymi jego podstawy. W przypadku graniastosłupów prostych, wysokość jest równa długości krawędzi bocznej.

RsgVkL4u3upGt1

Rysunek dwóch graniastosłupów z zaznaczonymi wysokościami równymi H. Pierwszy graniastosłup to graniastosłup pochyły. Jego wysokość jest opuszczona z wierzchołka górnej podstawy na płaszczyznę na której leży dolna podstawa pod kątem prostym. Drugi graniastosłup jest graniastosłupem prostym. Jego wysokość jest równa długości jego krawędzi bocznej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna graniastosłupa to odcinek łączący dwa wierzchołki leżące w różnych podstawach i różnych ścianach bocznych.

R1ecvbV1bzcL51

Rysunek graniastosłupa prostego czworokątnego z poprowadzonymi odcinkami d oraz e łączącymi dwa wierzchołki leżące w różnych podstawach i różnych ścianach bocznych. Te odcinki są przekątnymi graniastosłupa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rysowanie graniastosłupów

Rysowanie graniastosłupa najlepiej rozpocząć od narysowania jego podstawy dolnej. Następnie rysujemy krawędzie boczne i łączymy ich końce, tworząc wielokąt będący podstawą górną. Niewidoczne krawędzie warto zaznaczyć liniami przerywanymi.

Przykład 4

Narysuj graniastosłup prosty, który w podstawie ma pięciokąt.

R1JvgbMkvRaLK1

RaUqkPYpjHm3l1

Ćwiczenie 1

Podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt prostokątny.
Podstawy graniastosłupa są wzajemnie prostopadłe.
Graniastosłup ma tyle krawędzi bocznych, ile ma wierzchołków.
Każda z podstaw graniastosłupa pochyłego ma inną liczbę krawędzi.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Określ w każdym z graniastosłupów liczbę ścian bocznych, wierzchołków, krawędzi bocznych i podstaw.

Rxe3MKwtogtff1

Rysunek czterech graniastosłupów: A - graniastosłup o podstawie czworokąta, B - graniastosłup o podstawie trójkąta, C -graniastosłup o podstawie kwadratu, D - graniastosłup o podstawie prostokąta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RabIgfQgkay8z

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Wskaż figurę, która nie może być podstawą graniastosłupa.

R1cexP42IbqnT1

Rysunki czterech figur: siedmiokąta, trapezu, sześciokąta i elipsy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RiM00ycvM6Rv5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Rimsqo3B9ICGh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R17swlIsdQ0HG2

Ćwiczenie 4

$32$
$64$
$8$
$24$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FJQMyTdTJsn

Ćwiczenie 5

Uzupełnij luki w zdaniach podanymi wyrazami lub liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Graniastosłup, który nie ma przekątnej, ma 1.

10

, 2. 9, 3. pięciokąt foremny, 4. prostokąt, 5. czworokątny, 6.

5

, 7. kwadrat, 8. prostokątny, 9. czworokąt foremny, 10. trójkąt, 11. sześciokąt foremny, 12. trójkątny, 13.

8

krawędzi. Jego podstawą jest 1.

10

, 2. 9, 3. pięciokąt foremny, 4. prostokąt, 5. czworokątny, 6.

5

, 7. kwadrat, 8. prostokątny, 9. czworokąt foremny, 10. trójkąt, 11. sześciokąt foremny, 12. trójkątny, 13.

8

.Sześcian to graniastosłup prawidłowy 1.

10

, 2. 9, 3. pięciokąt foremny, 4. prostokąt, 5. czworokątny, 6.

5

, 7. kwadrat, 8. prostokątny, 9. czworokąt foremny, 10. trójkąt, 11. sześciokąt foremny, 12. trójkątny, 13.

8

.Podstawą graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest 1.

10

, 2. 9, 3. pięciokąt foremny, 4. prostokąt, 5. czworokątny, 6.

5

, 7. kwadrat, 8. prostokątny, 9. czworokąt foremny, 10. trójkąt, 11. sześciokąt foremny, 12. trójkątny, 13.

8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RF0qd0jxdp9Fq2

Ćwiczenie 6

$7$ wierzchołków
$7$ krawędzi bocznych
$7$ krawędzi jednej z podstaw
wysokość równą $7$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rm9tfXExNRB6z2

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfGeuche0o25M2

Ćwiczenie 8

Każdy prostopadłościan jest graniastosłupem prostym.
Każdy graniastosłup prawidłowy czworokątny jest sześcianem.
Każdy sześcian jest graniastosłupem prawidłowym czworokątnym.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1PFnNtNKB36n2

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZ1BsXkqhkDoC2

Ćwiczenie 10

W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami.
W graniastosłupie krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw.
Graniastosłup prawidłowy jest graniastosłupem prostym.
W graniastosłupie prawidłowym podstawy są wielokątami foremnymi.
W graniastosłupie prawidłowym ściany boczne są przystającymi prostokątami

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

RfMgDlS48Wrmz1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PGJVbUrTl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Poznaj nazwy niektórych odcinków umieszczonych w graniastosłupie.

Przekątna graniastosłupa to odcinek łączący dwa wierzchołki leżące w różnych podstawach i różnych ścianach bocznych.

Przekątna podstawy graniastosłupa to odcinek łączący dwa wierzchołki wielokąta będącego w podstawie graniastosłupa nieleżące na jednym boku tego wielokąta.

Wysokością graniastosłupa nazywamy odległość między płaszczyznami zawierającymi jego podstawy.

Przekątna ściany bocznej to odcinek łączący dwa wierzchołki równoległoboku będącego ścianą boczna w graniastosłupie nieleżące na jednym boku tego równoległoboku.

Ćwiczenie 11

R1e7v3g6utaGL1

Rysunek graniastosłupa o podstawie pięciokąta wklęsłego. Zaznaczono odcinek, który łączy dwa wierzchołki należące do różnych podstaw i różnych ścian bocznych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKsKPxYwXJPY5

przekątna ściany bocznej
wysokość
przekątna podstawy
przekątna graniastosłupa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Ygthzg0RknL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQrITYJ15pRVj2

Ćwiczenie 12

Dany jest graniastosłup

n

-kątny.
Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. liczba podstaw: 1.

2

, 2.

n

, 3.

4 n

, 4.

3 n

, 5.

n

, 6.

2 n

, 7.

2 n

, 8.

1

, 9.

n + 2

liczba krawędzi podstaw: 1.

2

, 2.

n

, 3.

4 n

, 4.

3 n

, 5.

n

, 6.

2 n

, 7.

2 n

, 8.

1

, 9.

n + 2

liczba ścian bocznych: 1.

2

, 2.

n

, 3.

4 n

, 4.

3 n

, 5.

n

, 6.

2 n

, 7.

2 n

, 8.

1

, 9.

n + 2

liczba krawędzi bocznych: 1.

2

, 2.

n

, 3.

4 n

, 4.

3 n

, 5.

n

, 6.

2 n

, 7.

2 n

, 8.

1

, 9.

n + 2

liczba wszystkich ścian: 1.

2

, 2.

n

, 3.

4 n

, 4.

3 n

, 5.

n

, 6.

2 n

, 7.

2 n

, 8.

1

, 9.

n + 2

liczba wszystkich krawędzi: 1.

2

, 2.

n

, 3.

4 n

, 4.

3 n

, 5.

n

, 6.

2 n

, 7.

2 n

, 8.

1

, 9.

n + 2

liczba wierzchołków: 1.

2

, 2.

n

, 3.

4 n

, 4.

3 n

, 5.

n

, 6.

2 n

, 7.

2 n

, 8.

1

, 9.

n + 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RLXtHw5mQp8mo2

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RzQsZbjXY8vbM2

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

R1dAAUUehMOzH1

Uzupełnij.

a) Graniastosłup o podstawie czworokątnej posiada ............ przekątne.
b) Graniastosłup o podstawie pięciokątnej posiada ............ przekątnych.
c) Graniastosłup o podstawie sześciokątnej posiada ............ przekątnych.
d) Graniastosłup o podstawie siedmiokątnej posiada ............ przekątnych.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

RfYYnV2qXcrEd

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RBQ2htPG4jqnH

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ry9RJAh2vPs7Y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Rt7LR133ks4LQ

$\sqrt 113 cm$
$10 cm$
$\sqrt 9 cm$
$\sqrt 13 cm$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do podstawy pod kątem $60 °$ . Krawędź podstawy ma długość $2 cm$ . Oblicz długość tej przekątnej i wysokość graniastosłupa. Dokończ zdania, wybierając poprawną odpowiedź.

R1ILRlMoZlCJu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R13PqTpmXOvnc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że wysokość prostopadłościanu, przekątna ściany bocznej oraz krawędź podstawy tworzą trójkąt o kątach $30 °, 60 °, 90 °$ .

Ćwiczenie 19

R1OKLNUhT61So

W graniastosłupie prawidłowym, którego wysokość jest równa

10 cm

, podstawą jest sześciokąt o krawędzi długości

2 cm

. Oblicz długości przekątnych tego graniastosłupa.
Uzupełnij luki w odpowiedzi. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę. Odpowiedź: Krótsza przekątna

d_{1}

jest równa 1.

\sqrt{258}

, 2.

15, 5

, 3.

14, 2

, 4.

12

, 5.

\sqrt{112}

, 6.

\sqrt{116}

, 7.

\sqrt{140}

, 8.

16

cm

, a dłuższa przekątna

d_{2}

wynosi 1.

\sqrt{258}

, 2.

15, 5

, 3.

14, 2

, 4.

12

, 5.

\sqrt{112}

, 6.

\sqrt{116}

, 7.

\sqrt{140}

, 8.

16

cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że dłuższa przekątna podstawy ma długość $4 cm$ , a krótsza przekątna podstawy ma długość $2 \sqrt{3} cm$ .

RJ1KBHgBEsxj33

Ćwiczenie 20

Oblicz sumę długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego o podanych podstawach, którego wysokość jest równa

4 dm

.
Uzupełnij lukę w odpowiedzi, wpisując odpowiednią liczbę. Podstawą jest trójkąt o boku długości

9 cm

.
Odpowiedź: Suma długości krawędzi wynosi Tu uzupełnij

cm

.Podstawą jest kwadrat o boku długości

5 cm

.
Odpowiedź: Suma długości krawędzi jest równa Tu uzupełnij

cm

.Podstawą jest pięciokąt o boku długości

1 dm

.
Odpowiedź: Suma długości krawędzi jest równa Tu uzupełnij

cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.