Graniastosłup prosty

W tym materiale poznasz podstawowe własności graniastosłupów prostych. Nauczysz się je rozpoznawać i nazywać. Swoją wiedzę utrwalisz rozwiązując ćwiczenia.

Zapoznaj się z poniższą animacją, która przedstawia graniastosłupy proste.

Rf8IS7i4yozAE1
Animacja pokazuje przykłady trzech różnych graniastosłupów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/Rf8IS7i4yozAE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja pokazuje przykłady trzech różnych graniastosłupów.

Graniastosłup prosty
Definicja: Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to figura przestrzenna, która ma

  • dwie podstawy będące jednakowymi wielokątami,

  • ściany boczne będące prostokątami.

Nazwa graniastosłupa zależy od rodzaju wielokąta w podstawie.

Rixa4HA2GJmGn1
Rysunek przedstawia trzy rysunki graniastosłupów prostych. Każdy z nich podpisany jest swoją nazwą. Pierwszy od lewej przedstawia graniastosłup prosty trójkątny, którego postawy to trójkąty, a ściany są prostokątami. Drugi z nich to graniastosłup prosty czworokątny, który ma w podstawie prostokąt, a trzeci to graniastosłup prosty sześciokątny, który ma w podstawie sześciokąt.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!

Elementy graniastosłupa prostego.

RaKAr6Z0lkBcc1
Rysunek graniastosłupa z zaznaczonymi: podstawą górną i dolną, wierzchołkiem, ścianą boczną, krawędzią podstawy i krawędzią boczną.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 1

Zapoznaj się z poniższymi rysunkami i wykonaj ćwiczenia do każdego z nich.

  1. Graniastosłup prosty trójkątny

R1RyVVjphuSyt
Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty, który ma w podstawie trójkąt.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RWyH6e3yQXsjb
Połącz w pary elementy tak, aby powstały zdania prawdziwe. Liczba krawędzi bocznych graniastosłupa wynosi Możliwe odpowiedzi: 1. 9., 2. 3., 3. 6., 4. 5. Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa wynosi Możliwe odpowiedzi: 1. 9., 2. 3., 3. 6., 4. 5. Liczba ścian graniastosłupa wynosi Możliwe odpowiedzi: 1. 9., 2. 3., 3. 6., 4. 5. Liczba wierzchołków graniastosłupa wynosi Możliwe odpowiedzi: 1. 9., 2. 3., 3. 6., 4. 5.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  1. Graniastosłup prosty pięciokątny

Rg6YyhsViK01K
Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty, który ma w podstawie pięciokąt.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Yo1EN1kcIdE
Połącz w pary elementy tak, aby powstały zdania prawdziwe. Liczba krawędzi bocznych graniastosłupa wynosi Możliwe odpowiedzi: 1. 5., 2. 15., 3. 7., 4. 10. Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa wynosi Możliwe odpowiedzi: 1. 5., 2. 15., 3. 7., 4. 10. Liczba ścian graniastosłupa wynosi Możliwe odpowiedzi: 1. 5., 2. 15., 3. 7., 4. 10. Liczba wierzchołków graniastosłupa wynosi Możliwe odpowiedzi: 1. 5., 2. 15., 3. 7., 4. 10.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  1. Graniastosłup prosty sześciokątny

RIiYosRcDZ7OB
Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty, który ma w podstawie sześciokąt.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1dns1Qt1Andx
Połącz w pary elementy tak, aby powstały zdania prawdziwe. Liczba krawędzi bocznych graniastosłupa wynosi Możliwe odpowiedzi: 1. 6., 2. 18., 3. 8., 4. 12. Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa wynosi Możliwe odpowiedzi: 1. 6., 2. 18., 3. 8., 4. 12. Liczba ścian graniastosłupa wynosi Możliwe odpowiedzi: 1. 6., 2. 18., 3. 8., 4. 12. Liczba wierzchołków graniastosłupa wynosi Możliwe odpowiedzi: 1. 6., 2. 18., 3. 8., 4. 12.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1AOqxb0tZBAD1
Ćwiczenie 2
Czym charakteryzują się graniastosłupy? Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Graniastosłup prosty to figura 1. kwadratami, 2. prostokątami, 3. równoległe, 4. podstaw graniastosłupa, 5. ścian, 6. płaska, 7. prostopadłe, 8. krawędzi podstawy, 9. przestrzenna, 10. równoległobokami, 11. trzy, 12. dwie , która ma 1. kwadratami, 2. prostokątami, 3. równoległe, 4. podstaw graniastosłupa, 5. ścian, 6. płaska, 7. prostopadłe, 8. krawędzi podstawy, 9. przestrzenna, 10. równoległobokami, 11. trzy, 12. dwie jednakowe podstawy będące wielokątami i tyle krawędzi bocznych, ile 1. kwadratami, 2. prostokątami, 3. równoległe, 4. podstaw graniastosłupa, 5. ścian, 6. płaska, 7. prostopadłe, 8. krawędzi podstawy, 9. przestrzenna, 10. równoległobokami, 11. trzy, 12. dwie.Ściany boczne graniastosłupa prostego są 1. kwadratami, 2. prostokątami, 3. równoległe, 4. podstaw graniastosłupa, 5. ścian, 6. płaska, 7. prostopadłe, 8. krawędzi podstawy, 9. przestrzenna, 10. równoległobokami, 11. trzy, 12. dwie.Podstawy graniastosłupa prostego są do siebie 1. kwadratami, 2. prostokątami, 3. równoległe, 4. podstaw graniastosłupa, 5. ścian, 6. płaska, 7. prostopadłe, 8. krawędzi podstawy, 9. przestrzenna, 10. równoległobokami, 11. trzy, 12. dwie , a krawędzie boczne są 1. kwadratami, 2. prostokątami, 3. równoległe, 4. podstaw graniastosłupa, 5. ścian, 6. płaska, 7. prostopadłe, 8. krawędzi podstawy, 9. przestrzenna, 10. równoległobokami, 11. trzy, 12. dwie do krawędzi podstawy. Podobnie, ściany boczne są prostopadłe do 1. kwadratami, 2. prostokątami, 3. równoległe, 4. podstaw graniastosłupa, 5. ścian, 6. płaska, 7. prostopadłe, 8. krawędzi podstawy, 9. przestrzenna, 10. równoległobokami, 11. trzy, 12. dwie.

Przeciągnij i upuść.

prostokątami, ścian, trzy, równoległe, podstaw graniastosłupa, prostopadłe, dwie, kwadratami, krawędzi podstawy, równoległobakami, płaska, przestrzenna

Graniastosłup prosty to figura .............................................. , która ma .............................................. jednakowe podstawy będące wielokątami i tyle krawędzi bocznych, ile ...............................................
Ściany boczne graniastosłupa prostego są ...............................................
Podstawy graniastosłupa prostego są do siebie .............................................. , a krawędzie boczne są .............................................. do krawędzi podstawy.
Podobnie, ściany boczne są prostopadłe do ...............................................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Możemy spotkać się również z przestrzennymi figurami, które są pochyłe.

Zapoznaj się z poniższą animacją, która pokazuje proste i pochyłe figury przestrzenne.

RAIKhCIixlJ9x1
Animacja 3D pokazuje prostopadłościan i ostrosłup trójkątny, które obracają się.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RAIKhCIixlJ9x

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja 3D pokazuje prostopadłościan i ostrosłup trójkątny, które obracają się.

Zapamiętaj!

Rodzaje graniastosłupów

R1Ni9Of9Eq9D11
Rysunek przedstawia dwie bryły. Pierwsza z lewej to graniastosłup pochyły, który ma w podstawie trójkąt. Ściany bryły są równoległobokami. Druga bryła to graniastosłup prosty, który ma w podstawie trójkąt, a jego ściany są prostokątami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 3

Która figura przedstawia graniastosłup prosty?

R1HngUrKHAe1m1
Ilustracja przedstawia trzy bryły. Pierwsza składa się z dwóch równoległych podstaw i trzech ścian będących równoległobokami. Druga bryła składa się z dwóch równoległych podstaw będących trójkątami i trzech ścian będących prostokątami. Trzecia bryła składa się z dwóch trójkątnych podstaw oraz z trzech ścian: jednej prostokątnej i dwóch będących trapezami prostokątnymi.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RLRO2nuE0iz1A
Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Figura I, 2. Figura II , 3. Figura III

  • Figura I
  • Figura II
  • Figura III
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1QhbTM7mB3eE2
Ćwiczenie 4
Uzupełnij tabelkę, wpisując w wyznaczone pola odpowiednie liczby.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 5
RIqoQOBPhxsjF
Dopasuj nazwy do graniastosłupów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R5TOk8pVe3sPz
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.
Graniastosłup pochyły sześciokątny ma w podstawie 1. trójkąt, 2. równoległoboki, 3. sześciokąt, 4. równoległoboki, 5. równoległoboki, 6. czworokąt, 7. prostokąty, 8. trójkąt, 9. prostokąty, 10. prostokąty, 11. czworokąt, 12. sześciokąt, a jego ściany to 1. trójkąt, 2. równoległoboki, 3. sześciokąt, 4. równoległoboki, 5. równoległoboki, 6. czworokąt, 7. prostokąty, 8. trójkąt, 9. prostokąty, 10. prostokąty, 11. czworokąt, 12. sześciokąt.
Graniastosłup prosty trójkątny ma w podstawie 1. trójkąt, 2. równoległoboki, 3. sześciokąt, 4. równoległoboki, 5. równoległoboki, 6. czworokąt, 7. prostokąty, 8. trójkąt, 9. prostokąty, 10. prostokąty, 11. czworokąt, 12. sześciokąt, a jego ściany to 1. trójkąt, 2. równoległoboki, 3. sześciokąt, 4. równoległoboki, 5. równoległoboki, 6. czworokąt, 7. prostokąty, 8. trójkąt, 9. prostokąty, 10. prostokąty, 11. czworokąt, 12. sześciokąt.
Graniastosłup prosty czworokątny ma w podstawie 1. trójkąt, 2. równoległoboki, 3. sześciokąt, 4. równoległoboki, 5. równoległoboki, 6. czworokąt, 7. prostokąty, 8. trójkąt, 9. prostokąty, 10. prostokąty, 11. czworokąt, 12. sześciokąt, a jego ściany to 1. trójkąt, 2. równoległoboki, 3. sześciokąt, 4. równoległoboki, 5. równoległoboki, 6. czworokąt, 7. prostokąty, 8. trójkąt, 9. prostokąty, 10. prostokąty, 11. czworokąt, 12. sześciokąt.
Graniastosłup pochyły trójkątny ma w podstawie 1. trójkąt, 2. równoległoboki, 3. sześciokąt, 4. równoległoboki, 5. równoległoboki, 6. czworokąt, 7. prostokąty, 8. trójkąt, 9. prostokąty, 10. prostokąty, 11. czworokąt, 12. sześciokąt, a jego ściany to 1. trójkąt, 2. równoległoboki, 3. sześciokąt, 4. równoległoboki, 5. równoległoboki, 6. czworokąt, 7. prostokąty, 8. trójkąt, 9. prostokąty, 10. prostokąty, 11. czworokąt, 12. sześciokąt.
Graniastosłup prosty sześciokątny ma w podstawie 1. trójkąt, 2. równoległoboki, 3. sześciokąt, 4. równoległoboki, 5. równoległoboki, 6. czworokąt, 7. prostokąty, 8. trójkąt, 9. prostokąty, 10. prostokąty, 11. czworokąt, 12. sześciokąt, a jego ściany to 1. trójkąt, 2. równoległoboki, 3. sześciokąt, 4. równoległoboki, 5. równoległoboki, 6. czworokąt, 7. prostokąty, 8. trójkąt, 9. prostokąty, 10. prostokąty, 11. czworokąt, 12. sześciokąt.
Graniastosłup pochyły czworokątny ma w podstawie 1. trójkąt, 2. równoległoboki, 3. sześciokąt, 4. równoległoboki, 5. równoległoboki, 6. czworokąt, 7. prostokąty, 8. trójkąt, 9. prostokąty, 10. prostokąty, 11. czworokąt, 12. sześciokąt, a jego ściany to 1. trójkąt, 2. równoległoboki, 3. sześciokąt, 4. równoległoboki, 5. równoległoboki, 6. czworokąt, 7. prostokąty, 8. trójkąt, 9. prostokąty, 10. prostokąty, 11. czworokąt, 12. sześciokąt.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 6

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem przedstawiającym pewien graniastosłup prosty sześciokątny.

RwWUhuhZ0y4rI1
Rysunek graniastosłupa sześciokątnego. Jedna podstawa to sześciokąt A F S G E L i druga podstawa to sześciokąt W O Y P M Z.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1M2KSVYOEL9G
Do której grupy należą poszczególne krawędzie? Przeciągnij i upuść krawędzie do odpowiednich grup. Krawędzie podstawy: Możliwe odpowiedzi: 1. SY, 2. SF, 3. AW, 4. WO, 5. MZ, 6. GS, 7. AL, 8. LZ, 9. EG, 10. PM, 11. YP, 12. FO, 13. EM, 14. OY, 15. GP, 16. WZ, 17. AF, 18. LE Krawędzie boczne: Możliwe odpowiedzi: 1. SY, 2. SF, 3. AW, 4. WO, 5. MZ, 6. GS, 7. AL, 8. LZ, 9. EG, 10. PM, 11. YP, 12. FO, 13. EM, 14. OY, 15. GP, 16. WZ, 17. AF, 18. LE
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 7

Zapoznaj się z rysunkiem poniżej.

R1bpuwb9rBAVW
Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty z kwadratem w podstawie. Ściany bryły to prostokąty. Wierzchołki bryły wyróżniono zamalowanymi punktami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1F9HsR0AWDXe
Zaznacz wszystkie poprawne stwierdzenia. Możliwe odpowiedzi: 1. Liczba wierzchołków podstawy graniastosłupa to 4., 2. Liczba wierzchołków graniastosłupa to 8., 3. Liczba krawędzi graniastosłupa to 12., 4. Liczba ścian graniastosłupa to 6., 5. Liczba wierzchołków podstawy graniastosłupa to 9., 6. Liczba wierzchołków graniastosłupa to 14., 7. Liczba krawędzi graniastosłupa to 5., 8. Liczba ścian graniastosłupa to 7.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 8

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem przedstawiającym pewien graniastosłup prosty trójkątny.

R1V4zkYHvd4Jm1
Rysunek graniastosłupa trójkątnego o podstawie górnej A K T i podstawie dolnej P R W.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1V7L5wGI0Fve
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie nazwy obiektów lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Nazwy umieszczaj w kolejności alfabetycznej. Krawędź RW jest równoległa do krawędzi 1. TW, 2. ATK, 3. ATK, 4. PRW, 5. KR, 6. KT.Ściana PRW jest równoległa do ściany 1. TW, 2. ATK, 3. ATK, 4. PRW, 5. KR, 6. KT.Krawędź AP nie jest prostopadła do krawędzi 1. TW, 2. ATK, 3. ATK, 4. PRW, 5. KR, 6. KT i 1. TW, 2. ATK, 3. ATK, 4. PRW, 5. KR, 6. KT.Ściana PAKR jest prostopadła do ścian 1. TW, 2. ATK, 3. ATK, 4. PRW, 5. KR, 6. KT i 1. TW, 2. ATK, 3. ATK, 4. PRW, 5. KR, 6. KT.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 9

Oblicz sumę długości krawędzi bocznych oraz sumę długości krawędzi obu podstaw graniastosłupa przedstawionego na rysunku.

RkiwVg4CuusoZ1
Rysunek graniastosłupa prostego czworokątnego o krawędziach podstawy równych 4 cm i 6 cm. Krawędź boczna równa 8 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RVRZKgZpR19Ep
Uzupełnij zdanie, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Suma długości krawędzi bocznych wynosi 1. 40, 2. 33, 3. 43, 4. 42, 5. 32, 6. 31 cm, a suma długości krawędzi obu podstaw wynosi 1. 40, 2. 33, 3. 43, 4. 42, 5. 32, 6. 31 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1d5jcz5uF6j83
Ćwiczenie 10
Odpowiedz na poniższe pytania, a następnie uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jaką nazwę nosi graniastosłup o podstawie w kształcie kwadratu, którego wszystkie krawędzie mają tę samą długość?
Odpowiedź: Jest to 1. Tak, 2. sześcian, 3. graniastosłup pięciokątny, 4. równoległościan, 5. Nie.
Czy graniastosłup, którego podstawą jest trójkąt o bokach długości 3cm, 4cm i 6cm, ma ściany boczne o jednakowych wymiarach?
Odpowiedź: 1. Tak, 2. sześcian, 3. graniastosłup pięciokątny, 4. równoległościan, 5. Nie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 11

Ile graniastosłupów o podstawie czworokątnej widzisz na rysunku?

RY4OiTCvKdNR01
Ilustracja przedstawia cztery bryły. Bryła pierwsza ma w podstawie pięciokąt nieforemny, a jej ściany są różnej wielkości prostokątami. Podstawy są równoległe. Bryła druga ma górną podstawę będącą deltoidem nachylonym pod kątem ostrym do podstawy dolnej będącej deltoidem. Bryła ma cztery ściany boczne, które są trapezami prostokątnymi. Trzecia bryła ma górną i dolną ścianę w kształcie prostokątów, przy czym górna ściana jest nachylona do dolnej pod kątem ostrym. Dwie przeciwległe ściany przednia i tylna są prostokątami, a dwie pozostałe ściany są do siebie równoległe i są przystającymi trapezami prostokątnymi. Czwarta bryła ma dwie równoległe czworokątne podstawy w kształcie grotu strzałki. Ściany bryły są prostokątami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RqZX14h0ZZSbd
Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 0, 2. 1, 3. 2, 4. 3, 5. 4

  • 0  
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.