Iloczyn i iloraz potęg o takich samych podstawach

i31vqlN52B_d5e82

Działania na potęgach

Twierdzenie: Działania na potęgach

Iloczyn potęg o takich samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

a^{n} ∙ a^{m} = a^{n + m} .

R1WKxrD2CezmO1

Iloraz potęg o takich samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m} .

R1X2ngJpF9lV01

Ćwiczenie 1

Oblicz w pamięci.

$2^{2} ∙ 2^{2}$
$3^{2} ∙ 3^{0}$
${(- 4)}^{2} ∙ (- 4)$
$({\frac{1}{2})}^{3} ∙ ({\frac{1}{2})}^{0}$
${(- 0,1)}^{2} ∙ {(- 0,1)}^{2}$

$16$
$9$
$- 64$
$\frac{1}{8}$
$0,0001$

Ćwiczenie 2

Zapisz wyrażenie w postaci jednej potęgi.

$x^{3} ∙ x^{2}$
$a^{5} ∙ a^{7}$
$p^{3} ∙ p^{0}$
$z^{3} ∙ z^{4} ∙ z^{5}$
$y^{0} ∙ y ∙ y^{2}$

$x^{5}$
$a^{12}$
$p^{3}$
$z^{12}$
$y^{3}$

i31vqlN52B_d5e391

R1FX54KuQEhY91

Ćwiczenie 3

Przeciągnij i upuść.

$\frac{1}{32}$ , $64$ , $100000$ , $1$ , $0,04$ , $8$

$1^{6} \cdot 1^{8} =$ ............
$2^{1} \cdot 2^{2} =$ ............
${(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} =$ ............
$4^{2} \cdot 4^{1} =$ ............
${(0,2)}^{2} \cdot {(0,2)}^{0} =$ ............
$10^{3} \cdot 10^{2} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

RVcn26JXolWTM1

Wyszukaj pary.

$2^{3}$

$2^{4}$

$2^{8}$

$2^{5} \cdot 2^{0}$

$2^{6}$

$2^{5} \cdot 2^{2}$

$2^{3} \cdot 2^{3}$

$2^{7}$

$2^{2} \cdot 2$

$2^{2} \cdot 2^{2}$

$2^{5}$

$2^{6} \cdot 2^{2}$

Źródło: Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

RxeRgiAsxkXt81

Wyszukaj pary.

$x^{7} \cdot x$

$x^{2} \cdot x^{7}$

$x^{4} \cdot x^{3}$

$x^{4} \cdot x^{0}$

$x^{2} \cdot x^{2}$

$x^{5} \cdot x^{0}$

$x^{6} \cdot x^{2}$

$x^{5} \cdot x^{2}$

$x^{1} \cdot x^{4}$

$x^{8} \cdot x^{1}$

$x^{5} \cdot x$

$x^{3} \cdot x^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1U6k9kDOjQTV1

Ćwiczenie 6

Przeciagnij i upuść.

$1^{a + b + c}$ , $1^{abc}$ , ${2,3}^{8}$ , ${(- 3)}^{19}$ , $2^{4 a}$ , ${(- 3)}^{12}$ , $2^{2 a}$ , ${2,3}^{12}$ , $3^{18}$ , $2^{8}$ , $10^{1}$ , $2^{15}$ , ${(- 3)}^{18}$ , $2^{9}$ , ${2,3}^{9}$ , ${(- \frac{1}{3})}^{13}$ , ${(- \frac{1}{3})}^{11}$ , $10^{2}$ , $3^{17}$

$2^{3} \cdot 2^{5} =$ ............
${(2,3)}^{2} \cdot {(2,3)}^{3} \cdot {(2,3)}^{4} =$ ............
${(- 3)}^{4} \cdot {(- 3)}^{6} \cdot {(- 3)}^{8} =$ ............
${(- \frac{1}{3})}^{7} \cdot {(- \frac{1}{3})}^{3} \cdot (- \frac{1}{3}) =$ ............
$3^{14} \cdot 3 \cdot 3^{2} =$ ............
$10^{0} \cdot 10 =$ ............
$2^{a} \cdot 2^{a} =$ ............
$1^{a} \cdot 1^{b} \cdot 1^{c} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RklCGCPh02G011

Ćwiczenie 7

Przeciągnij i upuść.

${(3" k)}^{5}$ , ${(- y)}^{5}$ , $x^{3 a}$ , $x^{6}$ , ${(2" z)}^{12}$ , ${(- y)}^{6}$ , $z^{3 a}$ , $p^{a + b + c + 1}$ , ${(3" k)}^{3}$ , $x^{11}$ , ${(- y)}^{7}$ , $a^{x + 3}$ , $x^{9}$ , ${(2" z)}^{14}$ , ${(2" z)}^{15}$

$x^{3} \cdot x^{3} =$ ................
${(- y)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} \cdot (- y) =$ ................
${(2" z)}^{6} \cdot {(2" z)}^{6} =$ ................
${(3" k)}^{0} \cdot 3 k \cdot {(3" k)}^{2} =$ ................
$z^{a} \cdot z^{a} \cdot z^{a} =$ ................
$p^{a} \cdot p^{b} \cdot p^{c} \cdot p =$ ................
$x^{a} \cdot x^{2 a} =$ ................
$a^{2} \cdot a^{x} \cdot a =$ ................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Oblicz w pamięci.

$2^{3} : 2^{2}$
${(- 3)}^{5} : {(- 3)}^{4}$
$5^{3} : 5^{0}$
${0,2}^{7} : {0,2}^{5}$
$(- {\frac{1}{4})}^{3} : (- \frac{1}{4})$

$2$
$- 3$
$125$
$0,04$
$\frac{1}{16}$

Ćwiczenie 9

Zapisz wyrażenie za pomocą jednej potęgi.

$x^{4} : x^{2}$
$a^{8} : a^{7}$
$p^{3} : p^{0}$
$z^{12} : z^{4} : z^{5}$
$y^{15} : y : y^{2}$

$x^{2}$
$a$
$p^{3}$
$z^{3}$
$y^{12}$

Riham62BXhoBw

Ćwiczenie 10

Przeciągnij i upuść.

1^{12} : 1^{8} =

100

, 2.

1

, 3.

0,02

, 4.

0,04

, 5.

1

, 6.

4

, 7.

\frac{1}{8}

, 8.

200

, 9.

0,01

, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

1000

, 12.

\frac{1}{4}

2^{4} : 2^{2} =

100

, 2.

1

, 3.

0,02

, 4.

0,04

, 5.

1

, 6.

4

, 7.

\frac{1}{8}

, 8.

200

, 9.

0,01

, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

1000

, 12.

\frac{1}{4}

{(\frac{1}{2})}^{5} : {(\frac{1}{2})}^{3} =

100

, 2.

1

, 3.

0,02

, 4.

0,04

, 5.

1

, 6.

4

, 7.

\frac{1}{8}

, 8.

200

, 9.

0,01

, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

1000

, 12.

\frac{1}{4}

4^{8} : 4^{8} =

100

, 2.

1

, 3.

0,02

, 4.

0,04

, 5.

1

, 6.

4

, 7.

\frac{1}{8}

, 8.

200

, 9.

0,01

, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

1000

, 12.

\frac{1}{4}

{(0,2)}^{2} : {(0,2)}^{0} =

100

, 2.

1

, 3.

0,02

, 4.

0,04

, 5.

1

, 6.

4

, 7.

\frac{1}{8}

, 8.

200

, 9.

0,01

, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

1000

, 12.

\frac{1}{4}

10^{6} : 10^{3} =

100

, 2.

1

, 3.

0,02

, 4.

0,04

, 5.

1

, 6.

4

, 7.

\frac{1}{8}

, 8.

200

, 9.

0,01

, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

1000

, 12.

\frac{1}{4}

Przeciągnij i upuść.

$0,02$ , $1$ , $200$ , $1$ , $0,04$ , $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{4}$ , $4$ , $100$ , $\frac{1}{2}$ , $1000$ , $0,01$

$1^{12} : 1^{8} =$ ............
$2^{4} : 2^{2} =$ ............
${(\frac{1}{2})}^{5} : {(\frac{1}{2})}^{3} =$ ............
$4^{8} : 4^{8} =$ ............
${(0,2)}^{2} : {(0,2)}^{0} =$ ............
$10^{6} : 10^{3} =$ ............

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach - zadanie interaktywne

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

R1Ag89YwFaMtO

Wyszukaj pary.

$2^{8} : 2$

$2^{8} : 2^{3}$

$2^{6}$

$2^{4} : 2$

$2^{3}$

$2^{4}$

$2^{8}$

$2^{5}$

$2^{8} : 2^{0}$

$2^{8} : 2^{2}$

$2^{6} : 2^{2}$

$2^{7}$

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach - zadanie interaktywne

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

RbShdtNHakMzL

Wyszukaj pary.

$x^{5} \cdot x^{2}$

$x^{1} \cdot x^{4}$

$x^{7} \cdot x$

$x^{4} \cdot x^{3}$

$x^{5} \cdot x$

$x^{4} \cdot x^{0}$

$x^{8} \cdot x^{1}$

$x^{3} \cdot x^{3}$

$x^{2} \cdot x^{7}$

$x^{5} \cdot x^{0}$

$x^{2} \cdot x^{2}$

$x^{6} \cdot x^{2}$

Pojęcie funkcji. Zależności funkcyjne. Zadanie interaktywne.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FH3SEtrhAt31

Ćwiczenie 13

Przeciągnij i upuść.

${(- \frac{1}{3})}^{4}$ , ${(- 3)}^{9}$ , $10^{1}$ , ${(2,3)}^{10}$ , $2^{a}$ , ${(- \frac{1}{3})}^{3}$ , $2^{8}$ , $1^{a - b + c}$ , $2^{3a}$ , ${(- 3)}^{12}$ , $10^{3}$ , $3^{10}$ , $3^{11}$ , ${(2,3)}^{5}$ , $1^{abc}$ , $2^{2}$

$2^{5} : 2^{3} =$ ............
${(2,3)}^{12} : {(2,3)}^{5} : {(2,3)}^{2} =$ ............
${(- 3)}^{23} : {(- 3)}^{6} : {(- 3)}^{8} =$ ............
${(- \frac{1}{3})}^{7} : {(- \frac{1}{3})}^{3} : (- \frac{1}{3}) =$ ............
$3^{4} \cdot 3^{9} : 3^{2} =$ ............
$10^{2} : 10 =$ ............
$2^{a} \cdot 2^{a} : 2^{a} =$ ............
$1^{a} : 1^{b} \cdot 1^{c} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RMu7uaaznyc9E1

Ćwiczenie 14

Przeciągnij i upuść.

$p^{a - b + c - 1}$ , ${(3" k)}^{25}$ , ${(2" z)}^{0}$ , ${(- y)}^{7}$ , $a^{3 - x}$ , $2a$ , $3a$ , ${(- y)}^{8}$ , $a^{2 + x}$ , ${(2" z)}^{12}$ , $x^{6}$ , $z^{2a}$ , ${(- y)}^{3}$ , $x^{a}$ , $x^{1}$ , ${(3" k)}^{20}$ , $x^{5}$ , $p^{a + b + c - 2}$ , $z^{a}$ , ${(3" k)}^{22}$ , ${(2" z)}^{1}$ , $p^{a - b + c - 2}$ , $a^{2 - x}$ , $z^{3a}$

$x^{3} : x^{2} =$ ................
${(- y)}^{6} : {(- y)}^{2} : (- y) =$ ................
${(2" z)}^{6} : {(2" z)}^{6} =$ ................
${(3" k)}^{25} : 3 k : {(3" k)}^{2} =$ ................
$z^{a} \cdot z^{a} : z^{a} =$ ................
$p^{a} : p^{b} \cdot p^{c} : p =$ ................
$x^{2 a} : x^{a} =$ ................
$a^{2} : a^{x} \cdot a =$ ................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R13tNgNXMsJqc1

Ćwiczenie 15

Połącz w pary.

$a^{3} \cdot a^{5}$
$a^{2} \cdot a^{1}$
$a^{8} : a^{5} \cdot a^{2}$
$a^{3} : a^{3}$
$a^{12} : a^{11}$
$a^{8} \cdot a : a^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R5jwmDeMe4fwg1

Ćwiczenie 16

Przeciągnij i upuść.

$7^{8}$ , $2^{4}$ , $7^{4}$ , $3^{3}$ , $7^{3}$ , $5^{7}$ , $3^{10}$ , $4^{6}$ , $4^{8}$ , $3^{1}$ , $6^{5}$ , $5^{3}$ , $4^{3}$ , $2^{3}$ , $5^{8}$ , $6^{6}$ , $2^{10}$ , $6^{2}$

$2^{3} \cdot 2^{7} \cdot$ ............ $= 2^{13}$
$3^{7} : 3^{3} :$ ............ $= 3^{3}$
$4^{9} :$ ............ $\cdot 4^{5} = 4^{8}$
............ $\cdot 5^{6} : 5^{2} = 5^{7}$
$6^{3} \cdot 6^{4} :$ ............ $: 6 = 6$
$7^{8} :$ ............ $: 7^{3} \cdot 7^{0} \cdot 7^{2} = 7^{4}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Zapisz w postaci jednej potęgi.

$4^{5} + 4^{5} + 4^{5} + 4^{5}$
$6^{4} + 6^{4} + 6^{4} + 6^{4} + 6^{4} + 6^{4}$
$3^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 3^{2}$
$2^{3} + 2^{3} + 2^{3} + 2^{3} + 2^{3} + 2^{3} + 2^{3} + 2^{3}$

$4^{6}$
$6^{5}$
$3^{4}$
$2^{6}$

Rdv6jS7ir82Pj1

Ćwiczenie 18

Połącz w pary.

dwukrotność liczby $2^{6}$
połowę liczby $2^{6}$
jedną ósmą liczby $2^{7}$
czterokrotność liczby $2^{4}$
szesnastokrotność liczby $2^{4}$
czwartą część liczby $2^{5}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RIScDwypbKw3m1

Ćwiczenie 19

Połowa liczby $2^{20}$ to

$2^{10}$
$1^{20}$
$2^{19}$
$1^{10}$

R1Tn47TvxtnTs1

Ćwiczenie 20

Iloczyn potęg $x^{8}$ i $x^{6}$ jest równy

$x^{48}$
$x^{14}$
$x^{86}$
$x^{2}$

RMh0frLyeoBKk1

Ćwiczenie 21

Jeżeli $100 ∙ 10^{3} : 10^{2} ∙ 1000 = 10^{n}$ , to

$n = 6$
$n = 9$
$n = 5$
$n = 4$

RHAfvoJjNYYRC1

Ćwiczenie 22

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Możliwe odpowiedzi: 1. Iloczyn

2^{3} ∙ 2 ∙ 2^{0} ∙ 2^{2}

zapisany w postaci potęgi to

2^{6}

., 2. Iloczyn

2^{3} ∙ 2 ∙ 2^{3} ∙ 2^{0}

zapisany w postaci potęgi to

2^{7}

., 3. Wyrażenie

a^{3} ∙ a^{4} : a^{6}

po uproszczeniu jest równe

a^{6}

., 4. Wyrażenie

a^{12} ∙ a^{4} : (a^{5} ∙ a^{3})

po uproszczeniu jest równe

a^{8}

., 5. Suma

2^{2} + 2^{2}

zapisana w postaci jednej potęgi jest równa

2^{4}

., 6. Suma

2^{2} + 2^{2} + 2^{2} + 2^{2}

zapisana w postaci jednej potęgi to

2^{4}

., 7.

128 ∙ 2 ∙ 64 = 2^{13}

, 8.

128 ∙ 2 ∙ 64 = 2^{14}

, 9.

81 : 3^{3} ∙ 3 = 1

, 10.

81 : 3^{3} ∙ 3 = 3^{2}

, 11. Czterokrotność liczby

2^{8}

2^{32}

., 12. Czterokrotność liczby

2^{8}

2^{10}

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Iloczyn $2^{3} ∙ 2 ∙ 2^{0} ∙ 2^{2}$ zapisany w postaci potęgi to $2^{6}$ .
Iloczyn $2^{3} ∙ 2 ∙ 2^{3} ∙ 2^{0}$ zapisany w postaci potęgi to $2^{7}$ .
Wyrażenie $a^{3} ∙ a^{4} : a^{6}$ po uproszczeniu jest równe $a^{6}$ .
Wyrażenie $a^{12} ∙ a^{4} : (a^{5} ∙ a^{3})$ po uproszczeniu jest równe $a^{8}$ .
Suma $2^{2} + 2^{2}$ zapisana w postaci jednej potęgi jest równa $2^{4}$ .
Suma $2^{2} + 2^{2} + 2^{2} + 2^{2}$ zapisana w postaci jednej potęgi to $2^{4}$ .
$128 ∙ 2 ∙ 64 = 2^{13}$
$128 ∙ 2 ∙ 64 = 2^{14}$
$81 : 3^{3} ∙ 3 = 1$
$81 : 3^{3} ∙ 3 = 3^{2}$
Czterokrotność liczby $2^{8}$ to $2^{32}$ .
Czterokrotność liczby $2^{8}$ to $2^{10}$ .

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęgowanie potęgi