Ilustracja. Rozwiązywanie trójkątów. Obliczanie miar kątów trójkąta, gdy dane są: a) długości jego trzech boków, b) długości dwóch boków i kąt zawarty między tymi bokami. W lewej części ilustracji omówiono podpunkt "a", w prawej "b". a) długości jego trzech boków. Rysunek przedstawia trójkąt A B C. Z wierzchołka C upuszczono wysokość h na podstawę A B w punkcie D. Punkt D dzieli podstawę na dwa odcinki: p, czyli A D oraz q, czyli D B. Poszczególne boki nazwano od przeciwległych im wierzchołków. Bok c to odcinek A B. Bok a to odcinek B C, a bok b to odcinek C A. Przy wierzchołkach trójkąta zaznaczono kąty. Przy wierzchołku A zaznaczono kąt alfa. Przy wierzchołku B zaznaczono kąt BETA. Przy wierzchołku C zaznaczono kąt GAMMA. Poniżej rysunku umieszczono podpis: boki a, b, c (bbb). Dodatkowo załączono dwa modele rozwiązania. Model pierwszy: 1. Twierdzenie Pitagorasa i Snelliusa {audio}Spodek wysokości h dzieli bok A B na dwa odcinki p i q, co pozwala zapisać układ równań:
nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, h indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, p indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec równania, drugie równanie, h indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, q indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec równania, koniec układu równań.

Odejmując równania stronami oraz korzystając z równości:
c, równa się, p, plus, q
otrzymujemy, że
p, minus, q, równa się, początek ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, c, koniec ułamka, a stąd p, równa się, początek ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa c, koniec ułamka.

Znając p, możemy wyznaczyć sinus kąta alfa:
sinus alfa, równa się, początek ułamka, h, mianownik, b, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, p indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, b, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, początek ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa c, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, b, koniec ułamka.

Z twierdzenia sinusów wynika, że:
sinus BETA, równa się, początek ułamka, b, razy, sinus alfa, mianownik, a, koniec ułamka, sinus GAMMA, równa się, początek ułamka, c, razy, sinus alfa, mianownik, a, koniec ułamka.

Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych pozwala wyznaczyć miarę kątów., 2. Twierdzenie Carnota i Snelliusa {audio}Korzystając z twierdzenia cosinusów mamy:
kosinus alfa, równa się, początek ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa b c, koniec ułamka.

Wtedy z jedynki trygonometrycznej wynika, że:
sinus alfa, równa się, pierwiastek kwadratowy z jeden, minus, nawias, początek ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa b c, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka.

Z twierdzenia sinusów wynika, że:
sinus BETA, równa się, początek ułamka, b, razy, sinus alfa, mianownik, a, koniec ułamka, sinus GAMMA, równa się, początek ułamka, c, razy, sinus alfa, mianownik, a, koniec ułamka.

Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych pozwala wyznaczyć miarę kątów., 3. Twierdzenie Snelliusa {audio}Spodek wysokości h dzieli bok A B na dwa odcinki p i q. Wtedy:
h, równa się, b, razy, sinus alfa oraz p, równa się, b, razy, kosinus alfa.

Równość tangens BETA, równa się, początek ułamka, h, mianownik, q, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, b, razy, sinus alfa, mianownik, c, minus, b, razy, kosinus alfa, koniec ułamka pozwala wyznaczyć miarę kąta BETA.

Z bilansu kątów w trójkącie mamy:
GAMMA, równa się, sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, minus, BETA,

a z twierdzenia sinusów otrzymujemy:
a, równa się, początek ułamka, b, razy, sinus alfa, mianownik, sinus BETA, koniec ułamka., 4. Twierdzenie Carnota i Snelliusa {audio}Korzystając z twierdzenia cosinusów mamy:
a, równa się, pierwiastek kwadratowy z b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa b c, razy, kosinus alfa koniec pierwiastka.

Wtedy, z twierdzenia sinusów wynika, że:
sinus BETA, równa się, początek ułamka, b, razy, sinus alfa, mianownik, a, koniec ułamka, sinus GAMMA, równa się, początek ułamka, c, razy, sinus alfa, mianownik, a, koniec ułamka.

Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych pozwala wyznaczyć miarę kątów.