Ilustracja. Rozwiązywanie trójkątów. Obliczanie miar kątów trójkąta, gdy dane są: a) długości jego trzech boków, b) długości dwóch boków i kąt zawarty między tymi bokami. W lewej części ilustracji omówiono podpunkt "a", w prawej "b". a) długości jego trzech boków. Rysunek przedstawia trójkąt $ABC$. Z wierzchołka $C$ upuszczono wysokość $h$ na podstawę $AB$ w punkcie $D$. Punkt $D$ dzieli podstawę na dwa odcinki: $p$, czyli $AD$ oraz $q$, czyli $DB$. Poszczególne boki nazwano od przeciwległych im wierzchołków. Bok $c$ to odcinek $AB$. Bok $a$ to odcinek $BC$, a bok $b$ to odcinek $CA$. Przy wierzchołkach trójkąta zaznaczono kąty. Przy wierzchołku $A$ zaznaczono kąt $\alpha$. Przy wierzchołku $B$ zaznaczono kąt $\beta$. Przy wierzchołku $C$ zaznaczono kąt $\gamma$. Poniżej rysunku umieszczono podpis: boki a, b, c (bbb). Dodatkowo załączono dwa modele rozwiązania. Model pierwszy: 1. Twierdzenie Pitagorasa i Snelliusa {audio}Spodek wysokości $h$ dzieli bok $AB$ na dwa odcinki $p$ i $q$, co pozwala zapisać układ równań:
$\left\{\begin{array}{l}{h}^2+p^2=b^2\\ h^2+q^2=a^2\end{array}\right.$.

Odejmując równania stronami oraz korzystając z równości:
$c=p+q$
otrzymujemy, że
$p-q=\frac{b^2-a^2}{c}$, a stąd $p=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}$.

Znając $p$, możemy wyznaczyć sinus kąta $\alpha$:
$\sin \alpha =\frac{h}{b}=\frac{\sqrt{b^2-p^2}}{b}=\frac{\sqrt{b^2-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)}^2}}{b}$.

Z twierdzenia sinusów wynika, że:
$\sin \beta =\frac{b·\sin \alpha }{a}$, $\sin \gamma =\frac{c·\sin \alpha }{a}$.

Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych pozwala wyznaczyć miarę kątów., 2. Twierdzenie Carnota i Snelliusa {audio}Korzystając z twierdzenia cosinusów mamy:
$\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

Wtedy z jedynki trygonometrycznej wynika, że:
$\sin \alpha =\sqrt{1-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2}$.

Z twierdzenia sinusów wynika, że:
$\sin \beta =\frac{b·\sin \alpha }{a}$, $\sin \gamma =\frac{c·\sin \alpha }{a}$.

Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych pozwala wyznaczyć miarę kątów., 3. Twierdzenie Snelliusa {audio}Spodek wysokości $h$ dzieli bok $AB$ na dwa odcinki $p$ i $q$. Wtedy:
$h=b·\sin \alpha$ oraz $p=b·\cos \alpha$.

Równość $\mathrm{tg}\beta =\frac{h}{q}=\frac{b·\sin \alpha }{c-b·\cos \alpha }$ pozwala wyznaczyć miarę kąta $\beta$.

Z bilansu kątów w trójkącie mamy:
$\gamma =180°-\alpha -\beta$,

a z twierdzenia sinusów otrzymujemy:
$a=\frac{b·\sin \alpha }{\sin \beta }$., 4. Twierdzenie Carnota i Snelliusa {audio}Korzystając z twierdzenia cosinusów mamy:
$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc·\cos \alpha }$.

Wtedy, z twierdzenia sinusów wynika, że:
$\sin \beta =\frac{b·\sin \alpha }{a}$, $\sin \gamma =\frac{c·\sin \alpha }{a}$.

Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych pozwala wyznaczyć miarę kątów.