Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Rljq5SxaLVWwv1

Ćwiczenie 1

R19hjPn0lRpdH1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Dany jest trapez $A B C D$ , w którym $A B ∥ C D$ . Jego przekątna $B D$ ma długość dwa razy krótszą niż każdy z promieni okręgów opisanych na trójkątach $A B D$ i $B C D$ . Wyznacz miary kątów trapezu.

R1PntQzhiwcW9

Ilustracja przedstawia trapez ABCD z przekątną BD oraz z zaznaczonymi dwoma kątami wewnętrznymi. Przy wierzchołku A kąt α, przy wierzchołku C kąt β.

Przy oznaczeniach z rysunku, korzystając z twierdzenia sinusów dla trójkąta $A B D$ mamy: $\frac{|B D|}{\sin α} = 2 R_{A B D}$ . Dla trójkąta $B C D$ mamy: $\frac{|B D|}{\sin β} = 2 R_{B C D}$ . Z równości obu promieni wynika, że $\sin α = \sin β$ . Zauważmy, że dla $α = β$ mielibyśmy do czynienia z prostokątem i nie byłyby spełnione warunki zadania (przekątna byłaby dwa razy dłuższa od promienia okręgu opisanego). Zatem musi być $β = 180 ° - α$ . Trapez jest więc równoramienny. Wracając jeszcze raz do twierdzenia sinusów i korzystając z faktu, że przekątna jest dwa razy krótsza od promienia, mamy, że $\frac{|B D|}{\sin α} = 2 \cdot (2 \cdot |B D|)$ . Zatem $\sin α = \frac{1}{4}$ . Stąd $α \approx 14 °$ , $β \approx 166 °$ .

Ćwiczenie 4

Punkt $E$ jest środkiem boku $A B$ prostokąta $A B C D$ . Bok $A B$ ma długość $48$ . Promień okręgu opisanego na trójkącie $C D E$ jest równy $25$ , a środek tego okręgu leży na zewnątrz tego prostokąta. Wyznacz przybliżoną miarę kąta, pod jakim przecinają się przekątne prostokąta.

Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku.

Rk5fYTDn06REJ

Ilustracja przedstawia dolną część okręgu przecinającą prostokąt ABCD w górnych wierzchołkach: C oraz D. Dodatkowo okrąg i prostokąt mają punkt wspólny leżący na środku boku AB. Jest to punkt E. W prostokącie linią przerywaną narysowano przekątne przecinające się w punkcie F. Zaznaczono dwa kąty. Kąt DEC to kąt α, kąt BFC to kąt β.

Wtedy $\sin α = \frac{|C D|}{2 R} = \frac{48}{50}$ . Stąd $a \approx 106 °$ . Zauważmy, że $t g \frac{α}{2} = \frac{\frac{1}{2} |A B|}{|B C|}$ . Ponieważ $\frac{α}{2} \approx 53 °$ , więc $|B C| \approx \frac{24}{1, 3270} \approx 18, 09$ .

Wtedy $t g \frac{β}{2} = \frac{\frac{1}{2} |B C|}{\frac{1}{2} |A B|} = \frac{18, 09}{48} \approx 0, 3768$ . Stąd $\frac{β}{2} \approx 21 °$ , a kąt jaki tworzą przekątne ma w przybliżeniu miarę $42 °$ .

Uwaga. Wiedząc, że $\sin α = \frac{48}{50}$ i kąt jest rozwarty, to korzystając z tożsamości trygonometrycznych, moglibyśmy obliczyć dokładne wartości funkcji trygonometrycznych kąta $\frac{α}{2}$ . Otrzymalibyśmy, że $\sin \frac{α}{2} = \frac{4}{5}$ , $t g \frac{α}{2} = \frac{4}{3}$ oraz $|B C| = 18$ . Dalsza cześć rozwiązania pozostałaby bez zmian.

RDWaTzgpA1Jqg2

Ćwiczenie 5

W trójkącie A B C dane są: długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, równa się, czternaście, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, równa się, trzynaście oraz kosinus alfa, równa się, minus, początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, gdzie alfa jest kątem leżącym naprzeciwko boku B C. Oblicz sinus kąta BETA, leżącego naprzeciwko boku A C. Uporządkuj zapisy prowadzące do rozwiązania zadania. Elementy do uszeregowania: 1. początek ułamka, trzynaście, mianownik, sinus BETA, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, czternaście, mianownik, początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, czternaście, razy, trzynaście, mianownik, pięć, koniec ułamka., 2. Stąd sinus BETA, równa się, początek ułamka, trzynaście, razy, pięć, mianownik, trzynaście, razy, czternaście, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, czternaście, koniec ułamka., 3. Oczywiście, dla kątów w trójkącie, sinus nie może przyjmować wartości ujemnych, więc sinus alfa, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka., 4. Zatem wartość bezwzględna z, sinus alfa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka., 5. Ponieważ początek ułamka, trzynaście, mianownik, sinus BETA, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, czternaście, mianownik, sinus alfa, koniec ułamka, zatem, 6. Ponieważ kosinus alfa, równa się, minus, początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, więc sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, równa się, jeden, minus, nawias, minus, początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden, minus, początek ułamka, sto czterdzieści cztery, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka.

R15ayFhzIwj9z2

Ćwiczenie 6

Re2Kj6EXnjUJ43

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Dwusieczna kąta prostego w trójkącie prostokątnym podzieliła jego przeciwprostokątną na odcinki o długości $3$ i $6$ . Oblicz, z dokładnością do $1 °$ , miary kątów ostrych tego trójkąta.

RRPAulhvNSVgH

Rysunek przedstawia trójkąt ABC. Na podstawie AB zaznaczono punkt D i narysowano odcinek DC. W powstałym trójkącie ADC zaznaczono dwa kąty wewnętrzne. Przy wierzchołku A oznaczono kąt α, a przy wierzchołku D kąt β.

Przy oznaczeniach takich, jak na rysunku mamy: $|A D| = 3, |B D| = 6$ , $\frac{|A D|}{\sin 45 °} = \frac{|A C|}{\sin β}$ oraz $\frac{|D B|}{\sin 45 °} = \frac{|C B|}{\sin (180 ° - β)}$ . Zatem $|A C| = \frac{3 \cdot \sin β}{\sin 45 °}$ oraz $|C B| = \frac{6 \cdot \sin β}{\sin 45 °}$ . Stąd $\frac{|A C|}{|C B|} = \frac{3 \cdot \sin β}{\sin 45 °} \cdot \frac{\sin 45 °}{6 \cdot \sin β} = \frac{1}{2}$ . Ale $\frac{|C B|}{|A C|} = t g α$ . Stąd $α \approx 63 °$ . Kąty ostre trójkąta mają miary: $27 °$ , $63 °$ .

Infografika

Dla nauczyciela