Zapoznaj się z infografiką. Rozwiąż najpierw samodzielnie podane przykłady.
Następnie porównaj rozwiązania.
1
RpyvrpXbWvqcD1
Infografika przedstawia wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.
Najpierw zapisany został sześcian różnicy:
nawias a, minus, b zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, następnie został on wymnożony i przedstawiony w następującej postaci:
a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, trzy a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, gdzie a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego to sześcian pierwszego wyrażenia, minus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b to potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie wyrażenie, trzy a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego to potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego wyrażenia, a minus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego to sześcian drugiego wyrażenia.
Następnie zaprezentowany został przykład numer jeden. Gdzie zapisano w postaci sumy sześcian różnicy liczb x i dwa y.
Nasz sześcian różnicy to: nawias x, minus, dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, w postaci sumy wygląda tak: x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy, razy, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, dwa y, plus, trzy, razy, x, razy, nawias dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego. Przy czym x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego to sześcian pierwszego wyrażenia. Następnie Odejmujemy potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia, czyli liczby x, przez drugie wyrażenie, czyli dwa y, człon ten to minus, trzy, minus, r indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa y. Kolejno dodajemy potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia, czyli liczby x, przez kwadrat drugiego wyrażenia, czyli dwa y. Część ta to trzy, plus, x, razy, nawias dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. I na koniec Odejmujemy sześcian drugiego wyrażenia, czyli dwa y co wygląda tak: nawias dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego.
Następnie dokonujemy mnożenia składników i potęgowania, co daje nam następującą formę wyrażenia: nawias x, minus, dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y, plus, trzy, razy, x, razy, cztery y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego.
Na koniec zapisujemy wyrażenie nawias, x, minus, dwa y, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego w postaci sumy. I otrzymujemy:
x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y, plus, dwanaście x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego.
Przykład drugi: nawias pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego również zapisujemy za pomocą sumy i otrzymujemy:
nawias pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy, razy, nawias pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, trzy, razy, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, razy, nawias pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego.
Przyglądnijmy się kolejnym składnikom wyrażenia:
Od początku:
nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka,
Następnie w drugim członie wyrażenia nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, trzy,
Następnie zauważmy, że nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwa
Oraz nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.
Następnym krokiem jest wykonanie działań na elementach, które można ze sobą zsumować lub je odjąć.
Zatem w wyrażeniu : trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, dziewięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka dokonujemy następujących działań: trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, równa się, dziewięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka oraz dziewięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, równa się, jedenaście pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.
Ostatecznie nasze wyrażenie ma postać:
równa się, dziewięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, jedenaście pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka
Infografika przedstawia wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.
Najpierw zapisany został sześcian różnicy:
nawias a, minus, b zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, następnie został on wymnożony i przedstawiony w następującej postaci:
a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, trzy a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, gdzie a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego to sześcian pierwszego wyrażenia, minus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b to potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie wyrażenie, trzy a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego to potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego wyrażenia, a minus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego to sześcian drugiego wyrażenia.
Następnie zaprezentowany został przykład numer jeden. Gdzie zapisano w postaci sumy sześcian różnicy liczb x i dwa y.
Nasz sześcian różnicy to: nawias x, minus, dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, w postaci sumy wygląda tak: x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy, razy, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, dwa y, plus, trzy, razy, x, razy, nawias dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego. Przy czym x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego to sześcian pierwszego wyrażenia. Następnie Odejmujemy potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia, czyli liczby x, przez drugie wyrażenie, czyli dwa y, człon ten to minus, trzy, minus, r indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa y. Kolejno dodajemy potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia, czyli liczby x, przez kwadrat drugiego wyrażenia, czyli dwa y. Część ta to trzy, plus, x, razy, nawias dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. I na koniec Odejmujemy sześcian drugiego wyrażenia, czyli dwa y co wygląda tak: nawias dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego.
Następnie dokonujemy mnożenia składników i potęgowania, co daje nam następującą formę wyrażenia: nawias x, minus, dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y, plus, trzy, razy, x, razy, cztery y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego.
Na koniec zapisujemy wyrażenie nawias, x, minus, dwa y, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego w postaci sumy. I otrzymujemy:
x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y, plus, dwanaście x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego.
Przykład drugi: nawias pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego również zapisujemy za pomocą sumy i otrzymujemy:
nawias pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy, razy, nawias pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, trzy, razy, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, razy, nawias pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego.
Przyglądnijmy się kolejnym składnikom wyrażenia:
Od początku:
nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka,
Następnie w drugim członie wyrażenia nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, trzy,
Następnie zauważmy, że nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwa
Oraz nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.
Następnym krokiem jest wykonanie działań na elementach, które można ze sobą zsumować lub je odjąć.
Zatem w wyrażeniu : trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, dziewięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka dokonujemy następujących działań: trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, równa się, dziewięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka oraz dziewięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, równa się, jedenaście pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.
Ostatecznie nasze wyrażenie ma postać:
równa się, dziewięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, jedenaście pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka
Sześcian różnicy liczb i to różnica i zapisana w nawiasie i podniesiona do potęgi trzeciej.
Sześcian różnicy liczb i zapisany jako sumę algebraiczną to a sześcian minus trzy razy kwadrat plus trzy razy kwadrat minus sześcian.
Możesz spróbować udowodnić ten wzór zapisując trzecią potęgę jako iloczyn trzech takich samych składników: minus i wykonując standardowe mnożenie nawiasów.
Rozważymy teraz dwa przykłady. Przykład : Zapisz wyrażenie do potęgi trzeciej jako sumę algebraiczną
Rolę we wzorze pełni natomiast rolę pełni
Zatem sześcian różnicy i to sześcian odjąć razy kwadrat razy plus razy razy do kwadratu i do potęgi trzeciej. Po uproszczeniu otrzymujemy sześcian minus kwadrat plus dwanaście kwadrat minus osiem sześcian.
Przykład : Oblicz, ile wynosi sześcian różnicy pierwiastka z trzech i pierwiastka z dwóch.
Ponownie korzystamy z wzoru na sześcian różnicy. Mamy więc wyrażenie: pierwiastek z trzech do potęgi trzeciej minus trzy razy trzy razy pierwiastek z dwóch plus trzy razy pierwiastek z trzech razy dwa minus pierwiastek z dwóch do potęgi trzeciej. Po wykonaniu działań otrzymujemy trzy pierwiastki z trzech minus dziewięć pierwiastków z dwóch plus sześć pierwiastków z trzech minus dwa pierwiastki z dwóch, czyli dziewięć pierwiastków z trzech minus trzynaście jedenaście pierwiastków z dwóch.