Infografika

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką, a następnie zrób polecenia podane niżej.

Rs5uS76ZSwpDg

W infografice przedstawiono sposób rozwiązania równania:

\sin 3 x + \sin 7 x = \sin 4 x + \sin 6 x

. Napis, Zwróćmy uwagę na to, że średnia arytmetyczna liczb

3

7

oraz liczb

4

6

jest taka sama i jest równa

5

., . Zapisujemy zatem,

\sin 3 x + \sin 7 x = \sin 4 x + \sin 6 x

. Zapisujemy zatem nasze równanie następująco,

\sin (5 x - 2 x) + \sin (5 x + 2 x) = \sin (5 x - x) + \sin (5 x + x)

. Zapisujemy,

3 x = 5 x - 2 x

7 x = 5 x + 2 x

4 x = 5 - x

6 x = 5 x + x

. Wykorzystujemy wzory na sinus sumy i różnicy argumentów. Nasze równanie przyjmuje więc postać:

\sin 5 x \cos 2 x - \cos 5 x \sin 2 x + s o n 5 x \cos 2 x + \cos 5 x \sin 2 x = \sin 5 x \cos x - \cos 5 x \sin x + \sin 5 x \cos x + \cos 5 x \sin x

. Po uproszczeniu otrzymujemy:

2 \sin 5 x \cos 2 x = 2 \sin 5 x \cos x

. Zapisujemy funkcje trygonometryczne po jednej stronie i wyciągamy wspólny czynnik przed nawias.

\sin 5 x (\cos 2 x - \cos x) = 0

. Iloczyn wyrażeń jest równy

0

, gdy jedno z nich jest równe

0

. Otrzymujemy więc dwa równania, które rozpatrzymy osobno. Skoro iloczyn równy jest 0, to prawdą jest, że

\sin 5 x = 0

lub

\cos 2 x - \cos x = 0

. Jeśli

\sin 5 x = 0

wtedy

5 x = k π, k \in ℤ

, więc

x = \frac{k π}{5}, k \in ℤ

. Drugie równanie. Skorzystamy tu z metody porównywania kosinusów. Jeśli

\cos 2 x - \cos x = 0

, to

2 x = x + 2 k π

lub

2 x = - x + 2 k π

, gdzie

k \in ℤ

. Mamy więc, że

x = 2 k π

lub

x = \frac{2 k π}{3}

, gdzie

k \in ℤ

. Odpowiedź,

x = \frac{k π}{5}

lub

x = 2 k π

lub

x = \frac{2 k π}{3}

gdzie

k \in ℤ

Polecenie 2

Rozwiąż równanie: $\cos 7 x + \cos 9 x = 0$ .

$\cos (8 x - x) + \cos (8 x + x) = 0$

$\cos 8 x \cos x + \sin 8 x \sin x + \cos 8 x \cos x - \sin 8 x \sin x = 0$

$2 \cos 8 x \cos x = 0$

$\cos 8 x = 0$ lub $\cos x = 0$

$x = \frac{π + 2 k π}{16}$ lub $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

Polecenie 3

Rozwiąż równanie: $\sin x + \sin 3 x + \sin 5 x = 0$ .

Zapiszmy równanie w postaci:

$\sin (3 x - 2 x) + \sin 3 x + \sin (3 x + 2 x) = 0$ .

Korzystamy ze wzoru na sinus sumy i różnicy argumentów:

$\sin 3 x \cos 2 x - \cos 3 x \sin 2 x + \sin 3 x + \sin 3 x \cos 2 x + \cos 3 x \sin 2 x = 0$

$2 \sin 3 x \cos 2 x + \sin 3 x = 0$

$\sin 3 x (2 \cos 2 x + 1) = 0$

$\sin 3 x = 0$ lub $\cos 2 x = - \frac{1}{2}$

$3 x = k π$ lub $2 x = \frac{2 π}{3} + 2 k π$ lub $2 x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$

$x = \frac{k π}{3}$ lub $x = \frac{π}{3} + k π$ lub $x = - \frac{π}{3} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przeczytaj

Sprawdź się