Ilustracja przedstawia sposób rozumowania dążący do ustalenia zbieżności ciągu. Na samej górze grafiki znajduje się teza: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^3-7n+12}{n^2+3n+4}=+\infty$. Udowodnimy, że granicą podanego ciągu jest $+\infty$. Dowód brzmi w następujący sposób: Definicja: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^3-7n+12}{n^2+3n+4}=+\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\mathrm{\forall }}_{M\in ℝ}$ ${\mathrm{\exists }}_{N\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ ${\mathrm{\forall }}_{n>N}$ $\frac{n^3-7n+12}{n^2+3n+4}>M$. Dowód przeprowadzimy w oparciu o definicję granicy ciągu rozbieżnego do $+\infty$. Zatem kolejnym krokiem jest ustalenie liczby rzeczywistej $M$. Zauważmy, że $n^3-7n+12>\frac{1}{2}{n}^3$ dla liczb naturalnych $n>3$, gdzie ${\mathrm{\forall }}_{n>3}\frac{1}{2}n(n^2-14)+12>0$. Zauważmy również, że $n^2+3n+4\le 8n^2$ dla $n>0$, gdzie ${\mathrm{\forall }}_{n>0}3n\le 3n^2$ i ${\mathrm{\forall }}_{n>0}4n\le 4n^2$. Dla dowolnej liczby naturalnej większe od trzech zachodzi więc $\frac{n^3-7n+12}{n^2+3n+4}>\frac{\frac{1}{2}{n}^3}{8n^2}=\frac{1}{16}n$. Nierówność $\frac{1}{16}n>M$ jest prawdziwa dla wszystkich $n>16M$. Jeżeli liczba $M$ nie jest dodatnia, to możemy przyjąć wielkie $N=3$. Jeżeli $M$ jest dodatnia, to przyjmujemy, że wielkie N jest równe maksimum z liczb 3 i całość z 16 M. Zatem dla dowolnej wartości $M$ dobraliśmy takie wielkie $N$, że dla dowolnej liczby naturalnej $n>N$ zachodzi nierówność $\frac{n^3-7n+12}{n^2+3n+4}>\frac{\frac{1}{2}{n}^3}{8n^2}=\frac{1}{16}n>M$. co oznacza, że $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^3-7n+12}{n^2+3n+4}=+\infty$.