Przeczytaj

Najpierw przeczytaj w słowniku, co znaczą symbole: $\forall$ kwantyfikator ogólny $\forall$ i $\exists$ kwantyfikator szczegółowy $\exists$ .

Przypomnijmy definicję granicy ciągu:

ciągu zbieżnego

Definicja: ciągu zbieżnego

Niech $g$ będzie liczbą rzeczywistą. $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{ε > 0} \exists_{N \in ℕ} \forall_{n > N} |x_{n} - g| < ε$ .

Definicję możemy przeczytać następująco:

Granicą ciągu $x_{n}$ jest liczba rzeczywista $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby dodatniej $ε$ można dobrać taką liczbę naturalną $N$ , że dla dowolnej liczby $n$ większej od $N$ zachodzi nierówność: $|x_{n} - g| < ε$ .

Można też powiedzieć następująco: w dowolnym otoczeniu liczby $g$ znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciągu $x_{n}$ .

Czy każdy ciąg ma granicę?

Otóż nie. Podamy teraz przykład ciągu, który nie ma granicy.

Przykład 1

Niech dany będzie ciąg: $x_{n} = \{\begin{cases} 1, & gdy n to liczba parzysta \\ - 1, & gdy n to liczba nieparzysta \end{cases}$ .

Uzasadnimy, że żadna liczba rzeczywista nie może być granicą tego ciągu.

Zauważmy, że co drugi wyraz tego ciągu jest równy $1$ , a co drugi jest równy $(- 1)$ .

Gdyby $0$ było granicą, to zgodnie z definicją np. w przedziale $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ , który jest otoczeniem zera, powinny się znajdować prawie wszystkie wyrazy ciągu $(x_{n})$ . Tymczasem żaden wyraz ciągu $(x_{n})$ nie należy do tego przedziału. Zatem $0$ nie jest granicą ciągu $(x_{n})$ .

RYDplqatFGdNo

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 9 i pionową osią y od minus 2 do dwa. Na płaszczyźnie zaznaczone jest 10 punktów i dwie poziome proste zaznaczone linią przerywaną. Proste te określone są równaniami: y równa się jedna druga oraz y równa się minus jedna druga . Dwa punkty różnią się od pozostałych. Zaznaczone okręgiem w kolorze niebieskim, który nie jest wypełniony Między punktami poprowadzono pionowy odcinek. Współrzędne tych punktów to kolejno: nawias, 0, 0,5, koniec nawiasu oraz nawias, 0, minus 0,5, koniec nawiasu. Przez te punkty przechodzą poziome proste. Współrzędne pozostałych ośmiu punktów zaznaczonych zamalowanymi kółkami to kolejno: nawias, 1, 1, koniec nawiasu, nawias, 2, minus 1, koniec nawiasu, nawias, 3, 1, koniec nawiasu, nawias, 4, minus 1, koniec nawiasu, nawias, 5, 1, koniec nawiasu, nawias 6, minus 1, koniec nawiasu, nawias 7, 1, koniec nawiasu, nawias, 8, minus 1, koniec nawiasu.

Gdyby dodatnia liczba $g$ była granicą, to np. w przedziale $(\frac{g}{2}, \frac{3 g}{2})$ , który jest otoczeniem $g$ , powinny się znajdować prawie wszystkie wyrazy ciągu $(x_{n})$ . Tymczasem nieskończenie wiele wyrazów równych $(- 1)$ jest poza tym przedziałem, gdyż $\frac{g}{2} > 0$ . Zatem $g > 0$ nie jest granicą ciągu $(x_{n})$ .

R5wiNuIk6I8O4

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 9 i pionową osią y od minus 2 do cztery. Na płaszczyźnie zaznaczone jest 11 punktów i dwie poziome proste zaznaczone linią przerywaną. Proste te określone są równaniami: y równa się początek ułamka 3 g mianownik 2 koniec ułamka oraz y równa się początek ułamka g mianownik 2 koniec ułmka. Dwa punkty różnią się od pozostałych, są to punkty przecięcia prostych z osią Y. Zaznaczono je okręgiem w kolorze niebieskim, który nie jest wypełniony. Między punktami poprowadzono pionowy odcinek, na którego środku zaznaczono zamalowany punk g. Współrzędne tych punktów to kolejno: nawias, początek ułamka 3 g mianownik 2 koniec ułamka, koniec nawiasu oraz nawias, początek ułamka g mianownik 2 koniec ułamka, koniec nawiasu. Współrzędne pozostałych ośmiu punktów zaznaczonych zamalowanymi kółkami to kolejno: nawias, 1, 1, koniec nawiasu, nawias, 2, minus 1, koniec nawiasu, nawias, 3, 1, koniec nawiasu, nawias, 4, minus 1, koniec nawiasu, nawias, 5, 1, koniec nawiasu, nawias 6, minus 1, koniec nawiasu, nawias 7, 1, koniec nawiasu, nawias, 8, minus 1, koniec nawiasu.

Gdyby ujemna liczba $g$ była granicą, to np. w przedziale $(\frac{3 g}{2}, \frac{g}{2})$ , który jest otoczeniem $g$ , powinny się znajdować prawie wszystkie wyrazy ciągu $(x_{n})$ . Tymczasem nieskończenie wiele wyrazów równych $1$ jest poza tym przedziałem, gdyż $\frac{g}{2} < 0$ . Zatem $g < 0$ nie jest granicą ciągu $(x_{n})$ .

RJBlyOf0voOi4

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 9 i pionową osią y od minus 4 do dwa. Na płaszczyźnie zaznaczone jest 11 punktów i dwie poziome proste zaznaczone linią przerywaną. Proste te określone są równaniami: y równa się g drugich oraz y równa się trzy drugie g. Dwa punkty różnią się od pozostałych, są to punkty przecięcia prostych z osią Y. Zaznaczono je okręgiem w kolorze niebieskim, który nie jest wypełniony. Między punktami poprowadzono pionowy odcinek, na którego środku zaznaczono zamalowany punkt g. Współrzędne tych punktów to kolejno: nawias, 0, początek ułamka g mianownik 2, koniec nawiasu oraz nawias, początek ułamka 3 g mianownik 2, koniec nawiasu. Współrzędne pozostałych ośmiu punktów zaznaczonych zamalowanymi kółkami to kolejno: nawias, 1, 1, koniec nawiasu, nawias, 2, minus 1, koniec nawiasu, nawias, 3, 1, koniec nawiasu, nawias, 4, minus 1, koniec nawiasu, nawias, 5, 1, koniec nawiasu, nawias 6, minus 1, koniec nawiasu, nawias 7, 1, koniec nawiasu, nawias, 8, minus 1, koniec nawiasu.

Stąd wynika, że ciąg $(x_{n})$ nie posiada granicy liczbowej, czyli nie jest zbieżny. Taki ciąg będziemy nazywali ciągiem rozbieżnym.

W tym materiale zajmiemy się szczególnym typem ciągów, które nie są zbieżne.

Zajmiemy się szczególnie ciągami, których granicą jest $+ \infty$ lub $- \infty$ . Takie ciągi nazwiemy, odpowiednio, ciągami rozbieżnymi do $+ \infty$ lub $- \infty$ .

Podajmy zatem definicję ciągu rozbieżnego do $+ \infty$ oraz $+ \infty$ . Będzie ona w swojej strukturze podobna do definicji granicy ciągu zbieżnego.

ciągu rozbieżnego do nieskończoności

Definicja: ciągu rozbieżnego do nieskończoności

$\lim_{n \to + \infty} x_{n} = + \infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{M \in ℝ} \exists_{N \in ℕ} \forall_{n > N} x_{n} > M$ .

R1LRtISVoNGFq

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 15 i pionową osią y od minus 1 do 14 Na płaszczyźnie zaznaczone jest 16 punktów i pozioma prosta M zaznaczona linią przerywaną. Prosta określona jest równaniem y równa się 9,5 . 1 punkt ma kolor jasnoniebieski, 10 punktów ma kolor niebieski, a 5 punktów ma kolor pomarańczowy. Punkt w kolorze jasnoniebieskim jest podpisany literą N, jego współrzędne to: nawias, 10, 0, zamknięcie nawiasu. Współrzędne niebieskich punktów to kolejno: nawias, 1, 1, zamknięcie nawiasu, nawias, 2, poniżej 5, zamknięcie nawiasu, nawias, 3, powyżej 6, zamknięcie nawiasu, nawias, 4, 7, zamknięcie nawiasu, nawias, 5, 4, zamknięcie nawiasu, nawias 6, 8, zamknięcie nawiasu, nawias, mniej niż 7, powyżej 12, zamknięcie nawiasu, nawias, 8, 10, zamknięcie nawiasu, nawias, 9, 8, zamknięcie nawiasu, nawias 10, mniej niż 9, zamknięcie nawiasu. Współrzędne pomarańczowych punktów, kolejno: nawias, 11, powyżej 10, zamknięcie nawiasu, nawias, 12, powyżej 10, zamknięcie nawiasu, nawias, 13, powyżej 12, zamknięcie nawiasu, nawias, 14, 14, zamknięcie nawiasu, nawias 15, powyżej 14, zamknięcie nawiasu. Linia jest równoległa do osi x i znajduje się na wysokości y pomiędzy 9 i 10. Jest ona koloru fioletowego i jest linią przerywaną. Jest podpisana literą M.

$\lim_{n \to + \infty} x_{n} = - \infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{M \in ℝ} \exists_{N \in ℕ} \forall_{n > N} x_{n} < M$ .

RKVGAfYroyZUq

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 15 i pionową osią y od minus 16 do 2. Na płaszczyźnie zaznaczone jest 15 punktów i pozioma prosta M narysowana linią przerywaną zadana równaniem y równa się minus 8,5 . 1 punkt ma kolor jasnoniebieski, 9 punktów ma kolor niebieski, a 5 punktów ma kolor pomarańczowy. Punkt w kolorze jasnoniebieskim jest podpisany literą N, jego współrzędne to: nawias, 10, 0, zamknięcie nawiasu. Współrzędne niebieskich punktów to kolejno: nawias, 1, 2, zamknięcie nawiasu, nawias, 2, minus 6, zamknięcie nawiasu, nawias, 3, minus 2, zamknięcie nawiasu, nawias, 5, minus 4, zamknięcie nawiasu, nawias 6, minus 12, zamknięcie nawiasu, nawias, 7,minus 6, zamknięcie nawiasu, nawias, 8, minus 14, zamknięcie nawiasu, nawias, 9, minus 6, zamknięcie nawiasu, nawias 10, minus 6, zamknięcie nawiasu. Współrzędne pomarańczowych punktów, kolejno: nawias, 11, minus 10, zamknięcie nawiasu, nawias, 12, minus 12, zamknięcie nawiasu, nawias, 13, poniżej minus 12, zamknięcie nawiasu, nawias, 14, minus 15, zamknięcie nawiasu, nawias 15, minus 16, zamknięcie nawiasu. Linia jest równoległa do osi x i znajduje się na wysokości y pomiędzy minus 9 i minus 8. Jest ona koloru fioletowego i jest linią przerywaną. Jest podpisana literą M.

Uwaga!

Możemy definicję ciągu rozbieżnego do $+ \infty$ wypowiedzieć także w ten sposób: dla każdej liczby rzeczywistej $M$ prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od $M$ . Mówiąc jeszcze inaczej: dla każdej liczby rzeczywistej $M$ prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do przedziału $(M, + \infty)$ .

Analogicznie:

Możemy definicję ciągu rozbieżnego do $- \infty$ wypowiedzieć także w ten sposób: dla każdej liczby rzeczywistej $M$ prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od $M$ . Mówiąc jeszcze inaczej: dla każdej liczby rzeczywistej $M$ prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do przedziału $(- \infty, M)$ .

Przykład 2

Udowodnimy, że ciąg $x_{n} = n$ jest ciągiem rozbieżnym do $+ \infty$ .

Dowód

Wybierzmy dowolną liczbę rzeczywistą $M$ . Dla jakich wartości $n$ , zachodzi nierówność $x_{n} > M$ , czyli nierówność $n > M$ ?

Jeżeli $M \leq 0$ , to nierówność $n > M$ zachodzi dla wszystkich dodatnich liczb naturalnych $n$ , czyli możemy przyjąć, że $N = 0$ , gdyż dla $n > 0$ zachodzi nierówność $n > M$ .

Jeżeli $M > 0$ , to nierówność $n > M$ zachodzi dla wszystkich dodatnich liczb naturalnych $n > M$ , czyli możemy przyjąć, że $N = M$ , gdyż dla $n > N = M$ zachodzi nierówność $n > M$ .

Zatem dla dowolnej wartości $M$ dobraliśmy takie $N$ , że dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej $n > N$ zachodzi nierówność: $x_{n} = n > M$ , a to oznacza, że $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = + \infty$ .

Przykład 3

Udowodnimy, że ciąg $x_{n} = - n^{2}$ jest ciągiem rozbieżnym do $- \infty$ .

Dowód

Wybierzmy dowolną liczbę rzeczywistą $M$ . Dla jakich wartości $n$ , zachodzi nierówność $x_{n} < M$ , czyli nierówność $- n^{2} < M$ ?

Jeżeli $M > 0$ , to nierówność $- n^{2} < M$ zachodzi dla wszystkich dodatnich liczb naturalnych $n$ , czyli możemy przyjąć, że $N = 0$ , gdyż dla $n > 1$ zachodzi nierówność $- n^{2} < M$ .

Jeżeli $M \leq 0$ , to nierówność $- n^{2} < M$ zachodzi dla wszystkich dodatnich liczb naturalnych $n > \sqrt{- M}$ , czyli możemy przyjąć, że $N = [\sqrt{- M}]$ (jest częścią całkowitą z $\sqrt{- M}$ ), gdyż dla $n > [\sqrt{- M}]$ zachodzi nierówność $- n^{2} < M$ .

Zatem dla dowolnej wartości $M$ dobraliśmy takie $N$ , że dla dowolnej liczby $n > N$ zachodzi nierówność: $- n^{2} < M$ , co oznacza, że $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = - \infty$ .

Przykład 4

Udowodnimy, że ciąg $x_{n} = n^{2} - 3 n$ jest ciągiem rozbieżnym do $+ \infty$ .

Dowód

Najpierw zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej $n > 3$ zachodzi nierówność: $n^{2} - 3 n \geq n$ .

Jest tak dlatego, gdyż nierówność $n^{2} - 3 n \geq n$ jest równoważna nierówności $n (n - 4) \geq 0$ , która zachodzi dla każdej liczby naturalnej $n$ większej od $3$ .

Mamy udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej $M$ istnieje liczba naturalna $N$ , że dla dowolnej liczby naturalnej $n > N$ zachodzi nierówność $x_{n} > M$ .

Jeżeli $M \leq 0$ , to nierówności $n^{2} - 3 n \geq n > M$ zachodzą dla wszystkich dodatnich liczb naturalnych $n > 3$ , czyli możemy przyjąć, że $N = 3$ .

Jeżeli $M > 0$ , to nierówności $n^{2} - 3 n \geq n > M$ zachodzą dla wszystkich dodatnich liczb naturalnych $n$ spełniających dwa warunki: $n > 3$ i $n > M$ , czyli możemy przyjąć, że $N = \max (4, M)$ .

Zatem dla dowolnej wartości $M$ dobraliśmy takie $N$ , że dla dowolnej liczby $n > N$ zachodzi nierówność: $n^{2} - 3 n > M$ , a to oznacza, że ciąg $x_{n} = n^{2} - 3 n$ jest ciągiem rozbieżnym do $+ \infty$ .

Uwaga!

Ostatni przykład pokazuje, jak prowadzimy dowód w przypadku bardziej skomplikowanych wzorów ciągów.

Taki ciąg $(x_{n})$ staramy się oszacowań przez ciąg $(y_{n})$ o prostym wzorze, dla którego łatwiej sprawdzić, dla jakich wartości $n$ spełniona jest nierówność $y_{n} > M$ . Przy czym pilnujemy, aby nierówność $x_{n} > y_{n}$ zachodziła dla prawie wszystkich liczb naturalnych (czyli by zachodziła od pewnego argumentu).

Słownik

prawie wszystkie wyrazy ciągu

wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem skończonej liczby wyrazów

kwantyfikator ogólny

symbol ten czytamy: dla każdego

kwantyfikator szczegółowy

symbol ten czytamy: istnieje

Wprowadzenie

Infografika

Słownik