Kąty i ich rodzaje. Powtórzenie.

Podstawowe wiadomości o kątach

Z kątami mamy do czynienia nie tylko w szkolnej matematyce. Możemy dopatrzeć się wielu kątów w budynkach mieszkalnych i innych budowlach, na posadzkach i różnych ozdobach.
Kąt od dawnych czasów stosowany jest również w detalach architektonicznych, np. zwieńczających budowlę.
Od wielkości kąta zastosowanego przez projektantów zależy niekiedy bezpieczeństwo ludzi.

Już wiesz
R1MkzuBp7bkN61
Animacja pokazuje, że z różnymi rodzajami kątów spotykamy się w życiu codziennym. Możemy je zaobserwować na przykład w architekturze miast.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1MkzuBp7bkN6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja pokazuje, że z różnymi rodzajami kątów spotykamy się w życiu codziennym. Możemy je zaobserwować na przykład w architekturze miast.

Przypomnijmy teraz, co to jest kąt i jakie są jego rodzaje, jak porównujemy lub mierzymy kąty, jak rysujemy kąt o danej mierze.

R1BrYaIfCCwVN1
Animacja przedstawia podstawowe rodzaje kątów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1BrYaIfCCwVN

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia podstawowe rodzaje kątów.

Przykład 1

Zapoznaj się z animacją  przedstawiającą elementy budowy kąta.

R18fA6CgZK6QL1
Animacja przedstawiająca elementy budowy kąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R18fA6CgZK6QL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawiająca elementy budowy kąta.

R3xmNre0Zki5T1
Ćwiczenie 1
Uzupełnij podpisy elementów kąta na poniższej ilustracji. Przeciągnij odpowiednie słowa w brakujące luki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RvyF7f8QOIZKo
Ćwiczenie 1
Zaznacz wszystkie elementy kąta. Możliwe odpowiedzi: 1. ramię kąta, 2. wierzchołek kąta, 3. podstawa kąta, 4. przekątna kąta, 5. miara kąta
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RTbn2n72WrNKa11
Ćwiczenie 2
Uzupełnij definicję kąta i jego opis. 1. Dwie półproste o wspólnym początku podzieliły płaszczyznę na dwa obszary. Jeden z tych obszarów wraz z półprostymi nazywamy 1. miarę, 2. ramiona, 3. wierzchołek, 4. dowolne, 5. BC@@BA, 6. kątem, 7. CBA, 8. łukiem, 9. BA@@BC.
2. W kącie ABC: półproste 1. miarę, 2. ramiona, 3. wierzchołek, 4. dowolne, 5. BC@@BA, 6. kątem, 7. CBA, 8. łukiem, 9. BA@@BC i 1. miarę, 2. ramiona, 3. wierzchołek, 4. dowolne, 5. BC@@BA, 6. kątem, 7. CBA, 8. łukiem, 9. BA@@BC to 1. miarę, 2. ramiona, 3. wierzchołek, 4. dowolne, 5. BC@@BA, 6. kątem, 7. CBA, 8. łukiem, 9. BA@@BC kąta.
3. Punkt B, czyli wspólny początek półprostych, to 1. miarę, 2. ramiona, 3. wierzchołek, 4. dowolne, 5. BC@@BA, 6. kątem, 7. CBA, 8. łukiem, 9. BA@@BC kąta.
4. Kąt ABC można też nazwać kątem 1. miarę, 2. ramiona, 3. wierzchołek, 4. dowolne, 5. BC@@BA, 6. kątem, 7. CBA, 8. łukiem, 9. BA@@BC.
5. Kąt ABC zaznaczono na rysunku 1. miarę, 2. ramiona, 3. wierzchołek, 4. dowolne, 5. BC@@BA, 6. kątem, 7. CBA, 8. łukiem, 9. BA@@BC Punkty A i C to 1. miarę, 2. ramiona, 3. wierzchołek, 4. dowolne, 5. BC@@BA, 6. kątem, 7. CBA, 8. łukiem, 9. BA@@BC punkty leżące na ramionach kąta.
6. Symbolem ∡ABC oznaczamy 1. miarę, 2. ramiona, 3. wierzchołek, 4. dowolne, 5. BC@@BA, 6. kątem, 7. CBA, 8. łukiem, 9. BA@@BC kąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2

Zapoznaj się z animacją przedstawiającą porównywanie kątów.

R8nO7kqmkL5wl1
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy porównać ze sobą dwa kąty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R8nO7kqmkL5wl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób możemy porównać ze sobą dwa kąty.

Rysowanie kątów o danych miarach

Przykład 3

Zapoznaj się z animacją na której przedstawiono kolejne etapy rysowania kątów.

RmMHb1ygld2s11
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy skonstruować kąt o określonej mierze.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RmMHb1ygld2s1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób możemy skonstruować kąt o określonej mierze.

11
Ćwiczenie 3

Przesuwając punkt B, ustaw tak ramię kąta BSA, aby miara tego kąta była równa podanej wartości. Skorzystaj z kątomierza.

R1MOsavrqb7eG1
Animacja pokazuje kąt B S A. Zmieniając położenie jednego z ramion kąta, należy przy użyciu kątomierza, skonstruować nowy kąt B S A o podanej mierze.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PyZHVAjsT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R113qqjZSNV6S
Ułóż w odpowiedniej kolejności etapy rysowania kąta za pomocą kątomierza. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybrać prawidłową odpowiedź.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 4

Narysuj kąt o podanej mierze.

  1. 30°

  2. 75°

  3. 100°

  4. 153°

Re6qVzqALRYlP
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz jak narysować kąt o podanej mierze.

  1. 30°

  2. 75°

  3. 100°

  4. 153°

RxWnAZlyXIjNJ
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 5

Narysuj kąt o podanej mierze.

  1. 210°

  2. 290°

  3. 345°

RCCZZ8hdIErn8
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz jak narysować kąt o podanej mierze.

  1. 210°

  2. 290°

  3. 345°

RrDdZqDnbi8yn
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Mierzenie kątów

Już wiesz

Zapoznaj się z poniższą animacją, która przedstawia etapy mierzenia kątów.

RIrN7olpszo9U1
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy zmierzyć kąt przy użyciu kątomierza.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RIrN7olpszo9U

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób możemy zmierzyć kąt przy użyciu kątomierza.

11
Ćwiczenie 6
R14mmTPbrWa2a1
Animacja pokazuje kąt o wierzchołku w punkcie Q. Należy posługując się kątomierzem, dla różnych rodzajów kąta, określić jego miarę.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PyZHVAjsT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RX4tkWHeCDolt
Ułóż w odpowiedniej kolejności etapy mierzenia kąta za pomocą kątomierza. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybrać prawidłową odpowiedź. 1. Odczytujemy miarę kąta w stopniach. , 2. Ustawiamy kątomierz tak, aby jedno z ramion kąta przechodziło przez zero na skali kątomierza., 3. Znajdujemy na kątomierzu punkt w kształcie litery T., 4. Drugie ramie wskazuje miarę kąta na skali kątomierza., 5. Umieszczamy punkt w kształcie litery T w wierzchołku kąta.
1. Odczytujemy miarę kąta w stopniach. , 2. Ustawiamy kątomierz tak, aby jedno z ramion kąta przechodziło przez zero na skali kątomierza., 3. Znajdujemy na kątomierzu punkt w kształcie litery T., 4. Drugie ramie wskazuje miarę kąta na skali kątomierza., 5. Umieszczamy punkt w kształcie litery T w wierzchołku kąta.
1. Odczytujemy miarę kąta w stopniach. , 2. Ustawiamy kątomierz tak, aby jedno z ramion kąta przechodziło przez zero na skali kątomierza., 3. Znajdujemy na kątomierzu punkt w kształcie litery T., 4. Drugie ramie wskazuje miarę kąta na skali kątomierza., 5. Umieszczamy punkt w kształcie litery T w wierzchołku kąta.
1. Odczytujemy miarę kąta w stopniach. , 2. Ustawiamy kątomierz tak, aby jedno z ramion kąta przechodziło przez zero na skali kątomierza., 3. Znajdujemy na kątomierzu punkt w kształcie litery T., 4. Drugie ramie wskazuje miarę kąta na skali kątomierza., 5. Umieszczamy punkt w kształcie litery T w wierzchołku kąta.
1. Odczytujemy miarę kąta w stopniach. , 2. Ustawiamy kątomierz tak, aby jedno z ramion kąta przechodziło przez zero na skali kątomierza., 3. Znajdujemy na kątomierzu punkt w kształcie litery T., 4. Drugie ramie wskazuje miarę kąta na skali kątomierza., 5. Umieszczamy punkt w kształcie litery T w wierzchołku kąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rodzaje kątów

Zapoznaj się z poniższą animacją przedstawiającą rodzaje kątów.

R1b2jguuJTLuo
Animacja przedstawia wszystkie możliwe rodzaje kątów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1b2jguuJTLuo

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia wszystkie możliwe rodzaje kątów.

Ważne!

Kąt zerowy, ostry, prosty, rozwarty i półpełny to kąty wypukłe. Kąt, którego miara jest większa od 180° i mniejsza od 360° to kąt wklęsły.

1
R7Ft3GAwvHsmC
Grafika prezentująca możliwe rodzaje kątów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ilustracja przedstawia podział kątów. Kąty dzielimy na:

  • zerowe, czyli takie, które mają miarę 0 stopni,

  • ostre, czyli takie, które mają miarę większą niż 0 stopni i mniejszą niż 90 stopni,

  • proste, czyli takie, które mają miarę 90 stopni,

  • rozwarte, czyli takie, które mają miarę większą niż 90 stopni i mniejszą niż 180 stopni,

  • półpełne, czyli takie, które mają miarę 180 stopni,

  • wklęsłe, czyli takie, które mają miarę większą niż 180 stopni i mniejszą niż 360 stopni,

  • pełne, czyli takie, które mają miarę 360 stopni.

1
Ćwiczenie 7
Rip3TSbjbUFll
Określi rodzaj poniższych kątów, a następnie przeciągnij i upuść odpowiednie nazwy kątów na grafikę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R13Qz6lzTq2rK
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie opisy kątów lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Kąty o mierze do 90° nazywamy kątami 1. pełnymi, 2. półpełnymi, 3. ostrymi, 4. wklęsłymi, 5. prostymi, 6. rozwartymi.Kąty o mierze 90° nazywamy kątami 1. pełnymi, 2. półpełnymi, 3. ostrymi, 4. wklęsłymi, 5. prostymi, 6. rozwartymi.Kąty o mierze od 90° do 180° nazywamy kątami 1. pełnymi, 2. półpełnymi, 3. ostrymi, 4. wklęsłymi, 5. prostymi, 6. rozwartymi.Kąty o mierze 180° nazywamy kątami 1. pełnymi, 2. półpełnymi, 3. ostrymi, 4. wklęsłymi, 5. prostymi, 6. rozwartymi.Kąty o mierze od 180° do 360° nazywamy kątami 1. pełnymi, 2. półpełnymi, 3. ostrymi, 4. wklęsłymi, 5. prostymi, 6. rozwartymi.Kąty o mierze 360° nazywamy kątami 1. pełnymi, 2. półpełnymi, 3. ostrymi, 4. wklęsłymi, 5. prostymi, 6. rozwartymi.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1alwxsvn7iAP11
Ćwiczenie 8
Przyjrzyj się kątom narysowanym na kwadratowej siatce. Czy potrafisz bez mierzenia kątów, nie używając kątomierza, stwierdzić, ile mają stopni? Połącz opisy odpowiednich kątów z odpowiadającymi im grafikami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RaY3AKEouhsRT
Ćwiczenie 8
ostry Możliwe odpowiedzi: 1. 189°, 2. 136°, 3. 234°, 4. 16°, 5. 58°, 6. 158°, 7. 179°, 8. 345°, 9. 45° rozwarty Możliwe odpowiedzi: 1. 189°, 2. 136°, 3. 234°, 4. 16°, 5. 58°, 6. 158°, 7. 179°, 8. 345°, 9. 45° wklęsły Możliwe odpowiedzi: 1. 189°, 2. 136°, 3. 234°, 4. 16°, 5. 58°, 6. 158°, 7. 179°, 8. 345°, 9. 45°
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 9

Narysuj trójkąt, w którym dwa kąty mają podane miary.

  1. 40° i 80°

  2. 20° i 90°

  3. 120° i 30°

ROAxN32nAxfFS
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RB1ZLXphrUjgE
Ćwiczenie 9
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Trójkąt ma wszystkie kąty wewnętrzne tej samej miary. Wynika stąd, że miara pojedynczego kąta wynosi 1. wklęsły, 2. ostry, 3. jeden, 4. rozwarty, 5. 90°, 6. trzy, 7. prostym, 8. 60°, 9. dwa, czyli jest to kąt 1. wklęsły, 2. ostry, 3. jeden, 4. rozwarty, 5. 90°, 6. trzy, 7. prostym, 8. 60°, 9. dwa.
Trójkąt prostokątny ma jeden z kątów równy mierze 1. wklęsły, 2. ostry, 3. jeden, 4. rozwarty, 5. 90°, 6. trzy, 7. prostym, 8. 60°, 9. dwa nazywany kątem1. wklęsły, 2. ostry, 3. jeden, 4. rozwarty, 5. 90°, 6. trzy, 7. prostym, 8. 60°, 9. dwa.
Trójkąt zbudowany z kątów 120°, 20° oraz 40° zawiera 1. wklęsły, 2. ostry, 3. jeden, 4. rozwarty, 5. 90°, 6. trzy, 7. prostym, 8. 60°, 9. dwa kąty ostre i kąt 1. wklęsły, 2. ostry, 3. jeden, 4. rozwarty, 5. 90°, 6. trzy, 7. prostym, 8. 60°, 9. dwa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.