Kąty i ich rodzaje

Wiemy, że niektóre ulice naszych miast mogą leżeć względem siebie prostopadle lub równoległe. A jak opisać układ ulic, które nie są do siebie ani równoległe, ani prostopadłe? Można to uczynić, korzystając z własności kątów. Co to jest kąt, z jakich elementów się składa i jakie są rodzaje kątów, dowiesz się, analizując treści zawarte w tym materiale. Zdobytą wiedzę zastosujesz, rozwiązując zamieszczone tu ćwiczenia.

RWqEqBT9TIwud
Animacja przedstawia kąty znajdujące się na budynkach miasta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RWqEqBT9TIwud

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia kąty znajdujące się na budynkach miasta.

Kąt
Definicja: Kąt

Dwie półproste o wspólnym początku rozcinają płaszczyznę na dwie części. Każdą z tych części, wraz z tymi półprostymi, nazywamy kątem.

Wierzchołek kąta
Definicja: Wierzchołek kąta

Wierzchołkiem kąta nazywamy wspólny początek obu półprostych, a każdą z  półprostych nazywamy ramieniem kąta.

Przykład 1
RrCDOHrsTmVCh
Animacja przedstawia definicje kąta, wierzchołka kąta i ramienia kąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RrCDOHrsTmVCh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia definicje kąta, wierzchołka kąta i ramienia kąta.

Kąt prosty

RVoPsCJTkwWlW1
Na rysunku przedstawione są trzy etapy zginania kartki tak aby uzyskać kąt 90 stopni. W pierwszym etapie zginamy kartkę w dowolnym miejscu. Następnie wyznaczmy oś symetrii figury powstałej po pierwszym zgięciu kartki. Zaginamy drugi raz kartkę wzdłuż osi symetrii. Kąt prosty znajduje się pomiędzy bokiem powstałym przez ostatnie zgięcie kartki (bok pokrywa się z wcześniej wyznaczoną osią symetrii) a bokiem figury.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąty ostre

1
Ćwiczenie 1
R1CKn6rfvxcOV
Zaznacz wszystkie kąty, które nie są kątami prostymi. Rysunek sześciu kątów o różnych miarach. Pierwszy kąt ma miarę 85 stopni, drugi kąt ma miarę 25 stopni, trzeci kąt ma miarę 90 stopni, czwarty kąt ma miarę 90 stopni, piąty kąt ma miarę 30 stopni, szósty kąt ma miarę 60 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RE6QwLiwGRrhH
Zaznacz wszystkie miary kątów, które nie są kątami prostymi. Możliwe odpowiedzi: 1. 0°, 2. 60°, 3. 90°, 4. 180°
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 2

Narysuj kąt prosty i kąt ostry.

RZD7jdlkPEDJW
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podaj miary kąta prostego i kąta ostrego.

Kąt półpełny, kąt rozwarty

Dwa kąty proste, mające wspólne ramię, położone tak jak na rysunku, tworzą kąt półpełny.

RFmSbvmaWKnQw1
Rysunek kąta półpełnego. Ramiona kąta ułożone są w jednej linni i wyznaczają kąt 180 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąty, które są mniejsze od kąta półpełnego i większe od kąta prostego, to kąty rozwarte.

1
Ćwiczenie 3
R4cT5c1u7Vkkc
Zaznacz wszystkie kąty rozwarte. Rysunek sześciu kątów o różnych miarach. Pierwszy kąt ma miarę 90 stopni, drugi kąt ma miarę 20 stopni, trzeci kąt ma miarę 170 stopni, czwarty kąt ma miarę 150 stopni, piąty kąt ma miarę 140 stopni, szósty kąt ma miarę 90 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RnI6Ov29ZnoVC
Zaznacz wszystkie miary kątów, które są kątami rozwartymi. Możliwe odpowiedzi: 1. 100°, 2. 120°, 3. 170°, 4. 30°, 5. 90°, 6. 190°
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiono dziewięć kątów oznaczonych literami od A do I.

R1PgHQm5AFSUf
Różne rodzaje kątów
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RDU0RqygQRBCu
Przyporządkuj figury do odpowiednich grup. Łamane otwarte Możliwe odpowiedzi: 1. H, 2. A, 3. I, 4. F, 5. D, 6. C, 7. E, 8. B, 9. G Łamane zamknięte Możliwe odpowiedzi: 1. H, 2. A, 3. I, 4. F, 5. D, 6. C, 7. E, 8. B, 9. G Figury, które nie są łamanymi Możliwe odpowiedzi: 1. H, 2. A, 3. I, 4. F, 5. D, 6. C, 7. E, 8. B, 9. G
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1WDH9TZourod
Przeciągnij i upuść w pustą lukę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej nazwę kąta odpowiednią do jego miary. Kąt o mierze 120° to kąt 1. ostry, 2. pełny, 3. prosty, 4. ostry, 5. rozwarty, 6. rozwarty, 7. półpełny, 8. ostry, 9. rozwarty, 10. ostry, 11. prosty, 12. półpełny, 13. pełny, 14. rozwarty.Kąt o mierze 45° to kąt 1. ostry, 2. pełny, 3. prosty, 4. ostry, 5. rozwarty, 6. rozwarty, 7. półpełny, 8. ostry, 9. rozwarty, 10. ostry, 11. prosty, 12. półpełny, 13. pełny, 14. rozwarty.Kąt o mierze 60° to kąt 1. ostry, 2. pełny, 3. prosty, 4. ostry, 5. rozwarty, 6. rozwarty, 7. półpełny, 8. ostry, 9. rozwarty, 10. ostry, 11. prosty, 12. półpełny, 13. pełny, 14. rozwarty.Kąt o mierze 90° to kąt 1. ostry, 2. pełny, 3. prosty, 4. ostry, 5. rozwarty, 6. rozwarty, 7. półpełny, 8. ostry, 9. rozwarty, 10. ostry, 11. prosty, 12. półpełny, 13. pełny, 14. rozwarty.Kąt o mierze 360° to kąt 1. ostry, 2. pełny, 3. prosty, 4. ostry, 5. rozwarty, 6. rozwarty, 7. półpełny, 8. ostry, 9. rozwarty, 10. ostry, 11. prosty, 12. półpełny, 13. pełny, 14. rozwarty.Kąt o mierze 180° to kąt 1. ostry, 2. pełny, 3. prosty, 4. ostry, 5. rozwarty, 6. rozwarty, 7. półpełny, 8. ostry, 9. rozwarty, 10. ostry, 11. prosty, 12. półpełny, 13. pełny, 14. rozwarty.Kąt o mierze 160° to kąt 1. ostry, 2. pełny, 3. prosty, 4. ostry, 5. rozwarty, 6. rozwarty, 7. półpełny, 8. ostry, 9. rozwarty, 10. ostry, 11. prosty, 12. półpełny, 13. pełny, 14. rozwarty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 5

Narysuj trzy kąty rozwarte.

R1ZyZ3ytlV7KH
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podaj miary trzech różnych kątów rozwartych.

R14eBdGTsllvB1
Ćwiczenie 6
Przeciągnij i upuść w pustą lukę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej odpowiedni tekst. Kąt rozwarty jest zawsze 1. mniejszy, 2. mniejszy, 3. mniejszy, 4. większy, 5. większy, 6. większy, 7. mniejszy, 8. większy od kąta ostrego.Kąt półpełny jest zawsze 1. mniejszy, 2. mniejszy, 3. mniejszy, 4. większy, 5. większy, 6. większy, 7. mniejszy, 8. większy od kąta rozwartegoKąt prosty jest zawsze 1. mniejszy, 2. mniejszy, 3. mniejszy, 4. większy, 5. większy, 6. większy, 7. mniejszy, 8. większy od kąta ostrego i 1. mniejszy, 2. mniejszy, 3. mniejszy, 4. większy, 5. większy, 6. większy, 7. mniejszy, 8. większy od kąta rozwartego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąt pełny, kąt wklęsły

1
Ćwiczenie 7
R2k5FSuUInXaG
Zaznacz kąty wklęsłe. Rysunek sześciu kątów o różnych miarach. Pierwszy kąt o mierze 90 stopni, drugi kąt o mierze 300 stopni, trzeci kąt o mierze 140 stopni, czwarty kąt o mierze 185 stopni, piąty kąt o mierze 180 stopni, szósty kąt o mierze 270 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RINVmwA9EjtAe
Zaznacz wszystkie miary kątów, które są kątami wklęsłymi. Możliwe odpowiedzi: 1. 250°, 2. 310°, 3. 190°, 4. 170°, 5. 360°, 6. 150°
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 8

Narysuj trzy kąty wklęsłe.

RKT4ihEDDWe8e
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podaj miary trzech różnych kątów wklęsłych.

11
Ćwiczenie 9

Uruchom aplet i postępuj zgodnie z poleceniem, określając rodzaj kąta PQR.

RQVSFRS9xmPsC1
Animacja pokazuje kąt P Q R. Należy dla różnych miar kątów podać jego rodzaj.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/Pmdaw42FK

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1DfgJLVzNHpQ
Przeciągnij i upuść w pustą lukę lub kliknij w lukę i wybierz z listy rozwijalnej nazwę kąta odpowiednią do jego miary. Kąt o mierze 30° to kąt 1. rozwarty, 2. półpełny, 3. rozwarty, 4. półpełny, 5. wklęsły, 6. pełny, 7. ostry, 8. prosty, 9. pełny, 10. zerowy, 11. rozwarty.Kąt o mierze 110° to kąt 1. rozwarty, 2. półpełny, 3. rozwarty, 4. półpełny, 5. wklęsły, 6. pełny, 7. ostry, 8. prosty, 9. pełny, 10. zerowy, 11. rozwarty.Kąt o mierze 360° to kąt 1. rozwarty, 2. półpełny, 3. rozwarty, 4. półpełny, 5. wklęsły, 6. pełny, 7. ostry, 8. prosty, 9. pełny, 10. zerowy, 11. rozwarty.Kąt o mierze 0° to kąt 1. rozwarty, 2. półpełny, 3. rozwarty, 4. półpełny, 5. wklęsły, 6. pełny, 7. ostry, 8. prosty, 9. pełny, 10. zerowy, 11. rozwarty.Kąt o mierze 180° to kąt 1. rozwarty, 2. półpełny, 3. rozwarty, 4. półpełny, 5. wklęsły, 6. pełny, 7. ostry, 8. prosty, 9. pełny, 10. zerowy, 11. rozwarty.Kąt o mierze 200° to kąt 1. rozwarty, 2. półpełny, 3. rozwarty, 4. półpełny, 5. wklęsły, 6. pełny, 7. ostry, 8. prosty, 9. pełny, 10. zerowy, 11. rozwarty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąt jest figurą geometryczną. Wyobraź sobie, że tniesz bardzo dużą płaską powierzchnię wzdłuż dwóch półprostych o wspólnym początku. W rezultacie otrzymasz dwa kąty. Jeżeli jeden będzie wklęsły, to drugi nie będzie wklęsły.

Ważne!

  • W kącie wyróżniamy: wierzchołek kąta, ramiona kąta oraz wnętrze kąta.

  • Ramiona kąta to dwie półproste o wspólnym początku.

  • Wierzchołek kąta to punkt.

2
Ćwiczenie 10
REIqUKx5kZAnF
Przeciągnij w luki na rysunku odpowiednie nazwy elementów oznaczonych na grafice.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R15ItI4SbmmLx
Jak nazywamy wspólny początek dwóch półprostych, które tworzą kąt? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Wierzchołek, 2. Ramię, 3. Wnętrze kąta
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 11
R1auNmaOY8f3I
Przeciągnij w luki na rysunku odpowiednie nazwy elementów oznaczonych na grafice.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1bycWQRkPLri
Jak nazywamy półproste, z których składa się kąt? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Ramiona, 2. Wierzchołki, 3. Wnętrza kąta
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 12

Oto fragment planu Torunia.

RfVbPvPdsu2UX1
Fragment planu Torunia.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1MySqn56rRqJ
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Ulice Borowiecka i Wybickiego przecinają się pod kątem ostrym., 2. Ulice Wodociągowa i Wigury przecinają się pod kątem rozwartym., 3. Ulice Wodociągowa i Kurpiowska przecinają się pod kątem rozwartym., 4. Ulice Zamenhofa i Długosza przecinają się pod kątem prostym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RoafYkR0BspLI
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Ulice Wodociągowa i Kaszubska przecinają się pod kątem większym niż 90° i mniejszym niż 180°, czyli przecinają się pod kątem ostrym., 2. Ulice Zamenhofa i Długosza przecinają się pod kątem prostym, czyli przecinają się pod katem 90°., 3. Ulice Borowiecka i Wybickiego przecinają się pod kątem większym niż 0° i mniejszym niż 90°, czyli przecinają się pod kątem ostrym., 4. Ulice Wodociągowa i Kurpiowska przecinają się pod kątem większym niż 90° i mniejszym niż 180°, czyli przecinają się pod kątem rozwartym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R3CdWqbxZ2jjM31
Ćwiczenie 13
Jaki kąt: ostry, prosty, rozwarty, półpełny, wklęsły czy pełny zakreśla wskazówka minutowa pomiędzy podanymi godzinami. Przeciągnij w luki odpowiednią nazwę kąta lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wskazówka minutowa pomiędzy godziną 10:00, a 10:25 zakreśla kąt 1. półpełny, 2. półpełny, 3. półpełny, 4. pełny, 5. prosty, 6. prosty, 7. prosty, 8. wklęsły, 9. prosty, 10. rozwarty, 11. rozwarty, 12. wklęsły, 13. półpełny, 14. wklęsły, 15. ostry, 16. rozwarty, 17. ostry, 18. ostry, 19. rozwarty, 20. ostry, 21. rozwarty, 22. półpełny, 23. półpełny, 24. wklęsły, 25. pełny, 26. wklęsły, 27. prosty, 28. prosty, 29. pełny, 30. pełny, 31. wklęsły, 32. ostry, 33. pełny, 34. pełny, 35. rozwarty, 36. ostry.
Wskazówka minutowa pomiędzy godziną 16:15, a 16:46 zakreśla kąt 1. półpełny, 2. półpełny, 3. półpełny, 4. pełny, 5. prosty, 6. prosty, 7. prosty, 8. wklęsły, 9. prosty, 10. rozwarty, 11. rozwarty, 12. wklęsły, 13. półpełny, 14. wklęsły, 15. ostry, 16. rozwarty, 17. ostry, 18. ostry, 19. rozwarty, 20. ostry, 21. rozwarty, 22. półpełny, 23. półpełny, 24. wklęsły, 25. pełny, 26. wklęsły, 27. prosty, 28. prosty, 29. pełny, 30. pełny, 31. wklęsły, 32. ostry, 33. pełny, 34. pełny, 35. rozwarty, 36. ostry.
Wskazówka minutowa pomiędzy godziną 18:47, a 19:02 zakreśla kąt 1. półpełny, 2. półpełny, 3. półpełny, 4. pełny, 5. prosty, 6. prosty, 7. prosty, 8. wklęsły, 9. prosty, 10. rozwarty, 11. rozwarty, 12. wklęsły, 13. półpełny, 14. wklęsły, 15. ostry, 16. rozwarty, 17. ostry, 18. ostry, 19. rozwarty, 20. ostry, 21. rozwarty, 22. półpełny, 23. półpełny, 24. wklęsły, 25. pełny, 26. wklęsły, 27. prosty, 28. prosty, 29. pełny, 30. pełny, 31. wklęsły, 32. ostry, 33. pełny, 34. pełny, 35. rozwarty, 36. ostry.
Wskazówka minutowa pomiędzy godziną 22:45, a 23:31 zakreśla kąt 1. półpełny, 2. półpełny, 3. półpełny, 4. pełny, 5. prosty, 6. prosty, 7. prosty, 8. wklęsły, 9. prosty, 10. rozwarty, 11. rozwarty, 12. wklęsły, 13. półpełny, 14. wklęsły, 15. ostry, 16. rozwarty, 17. ostry, 18. ostry, 19. rozwarty, 20. ostry, 21. rozwarty, 22. półpełny, 23. półpełny, 24. wklęsły, 25. pełny, 26. wklęsły, 27. prosty, 28. prosty, 29. pełny, 30. pełny, 31. wklęsły, 32. ostry, 33. pełny, 34. pełny, 35. rozwarty, 36. ostry.
Wskazówka minutowa pomiędzy godziną 05:07, a 05:37 zakreśla kąt 1. półpełny, 2. półpełny, 3. półpełny, 4. pełny, 5. prosty, 6. prosty, 7. prosty, 8. wklęsły, 9. prosty, 10. rozwarty, 11. rozwarty, 12. wklęsły, 13. półpełny, 14. wklęsły, 15. ostry, 16. rozwarty, 17. ostry, 18. ostry, 19. rozwarty, 20. ostry, 21. rozwarty, 22. półpełny, 23. półpełny, 24. wklęsły, 25. pełny, 26. wklęsły, 27. prosty, 28. prosty, 29. pełny, 30. pełny, 31. wklęsły, 32. ostry, 33. pełny, 34. pełny, 35. rozwarty, 36. ostry.
Wskazówka minutowa pomiędzy godziną 15:16, a 16:16 zakreśla kąt 1. półpełny, 2. półpełny, 3. półpełny, 4. pełny, 5. prosty, 6. prosty, 7. prosty, 8. wklęsły, 9. prosty, 10. rozwarty, 11. rozwarty, 12. wklęsły, 13. półpełny, 14. wklęsły, 15. ostry, 16. rozwarty, 17. ostry, 18. ostry, 19. rozwarty, 20. ostry, 21. rozwarty, 22. półpełny, 23. półpełny, 24. wklęsły, 25. pełny, 26. wklęsły, 27. prosty, 28. prosty, 29. pełny, 30. pełny, 31. wklęsły, 32. ostry, 33. pełny, 34. pełny, 35. rozwarty, 36. ostry.

Jaki kąt: ostry, prosty, rozwarty, półpełny, wklęsły czy pełny zakreśla wskazówka minutowa pomiędzy godzinami

ostry, wklęsły, rozwarty, pełny, rozwarty, rozwarty, wklęsły, ostry, ostry, półpełny, pełny, półpełny, rozwarty, pełny, półpełny, ostry, prosty, półpełny, wklęsły, prosty, pełny, ostry, pełny, wklęsły, wklęsły, ostry, rozwarty, prosty, rozwarty, półpełny, półpełny, wklęsły, pełny, prosty, prosty, prosty

a) 10:00, a 10:25? ......................
b) 16:15, a 16:46? ......................
c) 18:47, a 19:02? ......................
d) 22:45, a 23:31? ......................
e) 5:07, a 5:37? ......................
e)15:16, a 16:16? ......................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RFInfrabY9KKB31
Ćwiczenie 14
Jaki kąt: ostry, prosty, rozwarty, półpełny, wklęsły, czy pełny zakreśla wskazówka minutowa pomiędzy podanymi godzinami. Przeciągnij w luki odpowiednią nazwę kąta lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wskazówka minutowa pomiędzy godziną 7:28, a 8:28 zakreśla kąt 1. wklęsły, 2. pełny, 3. pełny, 4. prosty, 5. półpełny, 6. prosty, 7. rozwarty, 8. ostry, 9. półpełny, 10. półpełny, 11. ostry, 12. prosty, 13. rozwarty, 14. prosty, 15. rozwarty, 16. wklęsły, 17. rozwarty, 18. ostry, 19. wklęsły, 20. pełny, 21. wklęsły, 22. prosty, 23. półpełny, 24. pełny, 25. rozwarty, 26. ostry, 27. pełny, 28. ostry, 29. półpełny, 30. wklęsły.
Wskazówka minutowa pomiędzy godziną 9:11, a 9:12 zakreśla kąt 1. wklęsły, 2. pełny, 3. pełny, 4. prosty, 5. półpełny, 6. prosty, 7. rozwarty, 8. ostry, 9. półpełny, 10. półpełny, 11. ostry, 12. prosty, 13. rozwarty, 14. prosty, 15. rozwarty, 16. wklęsły, 17. rozwarty, 18. ostry, 19. wklęsły, 20. pełny, 21. wklęsły, 22. prosty, 23. półpełny, 24. pełny, 25. rozwarty, 26. ostry, 27. pełny, 28. ostry, 29. półpełny, 30. wklęsły.
Wskazówka minutowa pomiędzy godziną 12:35, a 13:24 zakreśla kąt 1. wklęsły, 2. pełny, 3. pełny, 4. prosty, 5. półpełny, 6. prosty, 7. rozwarty, 8. ostry, 9. półpełny, 10. półpełny, 11. ostry, 12. prosty, 13. rozwarty, 14. prosty, 15. rozwarty, 16. wklęsły, 17. rozwarty, 18. ostry, 19. wklęsły, 20. pełny, 21. wklęsły, 22. prosty, 23. półpełny, 24. pełny, 25. rozwarty, 26. ostry, 27. pełny, 28. ostry, 29. półpełny, 30. wklęsły.
Wskazówka minutowa pomiędzy godziną 14:15, a 14:30 zakreśla kąt 1. wklęsły, 2. pełny, 3. pełny, 4. prosty, 5. półpełny, 6. prosty, 7. rozwarty, 8. ostry, 9. półpełny, 10. półpełny, 11. ostry, 12. prosty, 13. rozwarty, 14. prosty, 15. rozwarty, 16. wklęsły, 17. rozwarty, 18. ostry, 19. wklęsły, 20. pełny, 21. wklęsły, 22. prosty, 23. półpełny, 24. pełny, 25. rozwarty, 26. ostry, 27. pełny, 28. ostry, 29. półpełny, 30. wklęsły.
Wskazówka minutowa pomiędzy godziną 17:48, a 18:18 zakreśla kąt 1. wklęsły, 2. pełny, 3. pełny, 4. prosty, 5. półpełny, 6. prosty, 7. rozwarty, 8. ostry, 9. półpełny, 10. półpełny, 11. ostry, 12. prosty, 13. rozwarty, 14. prosty, 15. rozwarty, 16. wklęsły, 17. rozwarty, 18. ostry, 19. wklęsły, 20. pełny, 21. wklęsły, 22. prosty, 23. półpełny, 24. pełny, 25. rozwarty, 26. ostry, 27. pełny, 28. ostry, 29. półpełny, 30. wklęsły.

Jaki kąt: ostry, prosty, rozwarty, półpełny, wklęsły, czy pełny zakreśla wskazówka minutowa pomiędzy godzinami

wklęsły, wklęsły, rozwarty, ostry, wklęsły, prosty, pełny, prosty, ostry, półpełny, pełny, półpełny, półpełny, ostry, ostry, rozwarty, pełny, prosty, ostry, rozwarty, półpełny, pełny, prosty, rozwarty, półpełny, prosty, pełny, wklęsły, rozwarty, wklęsły

a) 7:28, a 8:28? ......................
b) 9:11, a 9:12? ......................
c) 12:35, a 13:24? ......................
d) 14:15, a 14:30? ......................
e) 17:48, a 18:18? ......................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.