Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
Analizując przykłady zawarte w tym materiale poznasz:
kąty wierzchołkowe i przyległe oraz ich własności,
kąty przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą.
1
Polecenie 1
Zapoznaj się z apletem przedstawiającym kąty wierzchołkowe. Sprawdź, jak zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów.
RMR4IjwmQMqau
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między prostymi zaznaczona łukami para kątów wierzchołkowych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów.
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między prostymi zaznaczona łukami para kątów wierzchołkowych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów.
Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy wierzcholkowe bez miar
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 2
Zapoznaj się z apletem przedstawiającym kąty przyległe. Sprawdź, jak zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów.
R19IIyympb4S3
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między nimi zaznaczona para kątów przyległych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie prostej zauważamy, że zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów.
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między nimi zaznaczona para kątów przyległych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie prostej zauważamy, że zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów.
Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy przylegle_bez miar
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Kąty przyległe i wierzchołkowe
Definicja: Kąty przyległe i wierzchołkowe
Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona dopełniają się do prostej.
Kąty wierzchołkowe to dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek i przedłużeniem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.
R18Z0IT19vkjo1
Rysunek dwóch prostych przecinających się. Między prostymi zaznaczone dwie pary kątów wierzchołkowych: alfa i beta oraz delta i gamma.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Na przykład i na rysunku są kątami przyległymi. Pary kątów wierzchołkowych to i oraz i .
1
Polecenie 3
Zapoznaj się z apletem przedstawiającym kąty przyległe. Sprawdź, jak zmienia się suma miar zaznaczonych kątów.
R1VMx9WmAuzkU
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między nimi zaznaczona para kątów przyległych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zauważamy, że suma miar zaznaczonych kątów jest zawsze taka sama.
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między nimi zaznaczona para kątów przyległych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zauważamy, że suma miar zaznaczonych kątów jest zawsze taka sama.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Suma miar kątów przyległych
Twierdzenie: Suma miar kątów przyległych
Suma miar kątów przyległych jest równa .
Wprost z twierdzenia o sumie miar kątów przyległych wynika, że
oraz
.
Stąd . Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie.
1
Polecenie 4
Zapoznaj się z apletem przedstawiającym kąty wierzchołkowe. Sprawdź, jak zmieniają się miary zaznaczonych kątów.
R1SbiW89Wk8Hz
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między prostymi zaznaczona para kątów wierzchołkowych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P, zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty zawsze mają taką samą miarę.
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między prostymi zaznaczona para kątów wierzchołkowych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P, zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty zawsze mają taką samą miarę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
o kątach wierzchołkowych
Twierdzenie: o kątach wierzchołkowych
Kąty wierzchołkowe są równe.
Przykład 1
Obliczmy miary kątów , i zaznaczonych na rysunku.
R1LjcCwFjctd71
Rysunek dwóch prostych przecinających się. Między prostymi zaznaczone pary kątów wierzchołkowych: beta i 47 stopni oraz alfa i gamma.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Kąty i są wierzchołkowe, więc . Każdy z kątów i jest przyległy do kąta . Zatem
.
1
Przykład 2
Przykład kątów odpowiadających.
RdbiNmYSAFJTj1
Animacja pokazuje dwie proste AP i BS, które zostały przecięte trzecią prostą AB. Pomiędzy tymi prostymi utworzyły się kąty odpowiadające. Poruszając punktami P i S zmienia się położenie prostych oraz miary kątów odpowiadających.
Animacja pokazuje dwie proste AP i BS, które zostały przecięte trzecią prostą AB. Pomiędzy tymi prostymi utworzyły się kąty odpowiadające. Poruszając punktami P i S zmienia się położenie prostych oraz miary kątów odpowiadających.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 3
Przykład kątów naprzemianległych.
RRxtIQxOLijta1
Animacja pokazuje dwie proste AP i BS, które zostały przecięte trzecią prostą AB. Pomiędzy tymi prostymi utworzyły się kąty naprzemianległe. Poruszając punktami P i S zmienia się położenie prostych oraz miary kątów naprzemianległych.
Animacja pokazuje dwie proste AP i BS, które zostały przecięte trzecią prostą AB. Pomiędzy tymi prostymi utworzyły się kąty naprzemianległe. Poruszając punktami P i S zmienia się położenie prostych oraz miary kątów naprzemianległych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Kąty naprzemianległe i odpowiadające
Definicja: Kąty naprzemianległe i odpowiadające
Kąty: i , i , i oraz i nazywamy kątami odpowiadającymi.
Kąty i oraz i nazywamy kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.
Kąty i oraz i nazywamy kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.
R10NdPHYbTf5o1
Rysunek dwóch prostych k i l, które zostały przecięte trzecią prostą c. Pomiędzy tymi prostymi powstały kąty odpowiadające oraz kąty naprzemianległe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 4
W przypadku, gdy proste i są równoległe:
Kąty i , i , i oraz i są kątami odpowiadającymi.
Kąty i oraz i są kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.
Kąty i oraz i są kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.
R7FPd8JfmtQmz1
Rysunek dwóch prostych równoległych k, l przeciętych trzecią prostą c. Między prostymi, zaznaczono: kąty alfa i alfa z indeksem dolnym jeden, kąty beta i beta z indeksem dolnym jeden, gamma i gamma z indeksem dolnym jeden, delta i delta z indeksem dolnym jeden.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 5
Przykłady par kątów naprzemianległych.
RWEqFLwI6wGcv1
Animacja pokazuje dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą. Między prostymi zaznaczone cztery różne pary kątów naprzemianległych.
Animacja pokazuje dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą. Między prostymi zaznaczone cztery różne pary kątów naprzemianległych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 6
Przykład kątów naprzemianległych przy prostych równoległych.
RPtlpDLaSSgIM1
Animacja pokazuje dwie proste równoległe, które zostały przecięte trzecią prostą. Między prostymi zaznaczone cztery pary kątów naprzemianległych. Zmieniając położenie punktu P, leżącego na jednej z prostych równoległych, zmienia się położenie prostych równoległych i miary zaznaczonych kątów. Zaznaczone parami kąty naprzemianległe mają równe miary.
Animacja pokazuje dwie proste równoległe, które zostały przecięte trzecią prostą. Między prostymi zaznaczone cztery pary kątów naprzemianległych. Zmieniając położenie punktu P, leżącego na jednej z prostych równoległych, zmienia się położenie prostych równoległych i miary zaznaczonych kątów. Zaznaczone parami kąty naprzemianległe mają równe miary.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 8
Przykład kątów odpowiadających przy prostych równoległych.
RBgu1opzePO5C1
Animacja pokazuje dwie proste równoległe a, b, które zostały przecięte trzecią prostą c. Między prostymi zaznaczona para kątów odpowiadających alfa i beta. Na prostej a leży punkt. Zmieniając położenie punktu zmieniamy położenie prostych równoległych i miary zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty odpowiadające mają równe miary.
Animacja pokazuje dwie proste równoległe a, b, które zostały przecięte trzecią prostą c. Między prostymi zaznaczona para kątów odpowiadających alfa i beta. Na prostej a leży punkt. Zmieniając położenie punktu zmieniamy położenie prostych równoległych i miary zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty odpowiadające mają równe miary.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Proste równoległe
Twierdzenie: Proste równoległe
Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to tak utworzone kąty naprzemianległe są równe i kąty odpowiadające są równe.
Kąty naprzemianległe1
Twierdzenie: Kąty naprzemianległe
Jeżeli proste i przetniemy trzecią prostą i tak utworzone kąty naprzemianległe są równe, to proste i są równoległe.
RPeWL5k7W3nGr1
Animacja pokazuje w trzech krokach powyższe twierdzenie . Dana są proste k i l oraz prosta przecinająca je. Na prostej l leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się miary kątów naprzemianległych, tak aby ich miary były równe. Jeśli kąty naprzemianległe są równe to proste k i l są równoległe.
Animacja pokazuje w trzech krokach powyższe twierdzenie . Dana są proste k i l oraz prosta przecinająca je. Na prostej l leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się miary kątów naprzemianległych, tak aby ich miary były równe. Jeśli kąty naprzemianległe są równe to proste k i l są równoległe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Kąty odpowiadające1
Twierdzenie: Kąty odpowiadające
Jeżeli proste i przetniemy trzecią prostą i tak utworzone kąty odpowiadające są równe, to proste i są równoległe.
R1ALiETpc0Jgj1
Animacja pokazuje w trzech krokach ilustrację powyższego twierdzenia. Dane są proste k i l oraz prosta przecinająca je. Na prostej l leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się miary kątów odpowiadających, tak aby ich miary były równe. Jeśli kąty odpowiadające są równe to proste k i l są równoległe.
Animacja pokazuje w trzech krokach ilustrację powyższego twierdzenia. Dane są proste k i l oraz prosta przecinająca je. Na prostej l leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się miary kątów odpowiadających, tak aby ich miary były równe. Jeśli kąty odpowiadające są równe to proste k i l są równoległe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 9
Proste i zostały przecięte trzecią prostą. Miary kątów zaznaczono na rysunku. Uzasadnimy, że proste i są równoległe.
R1bsQmwH1NliH1
Rysunek dwóch prostych k i l przeciętych trzecią prostą. Pomiędzy prostą przecinającą a prostą l zaznaczono kąt o mierze 128 stopni. Pomiędzy prostą przecinającą a prostą k zaznaczono kąt o mierze 52 stopnie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zaznaczmy kąt przyległy do kąta . Jego miara jest równa
.
R10bxr8yc9tOM1
Rysunek dwóch prostych k i l przeciętych trzecią prostą. Pomiędzy prostą przecinającą a prostą l zaznaczono kąt o mierze 128 stopni. Pomiędzy prostą przecinającą a prostą k zaznaczono kąt o mierze 52 stopnie. Zaznaczono drugi z kątów odpowiadających o mierze 52 stopnie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Dwa kąty odpowiadające mają taką samą miarę , skąd wynika, że proste i są równoległe.
1
Przykład 10
Konstrukcja kątów naprzemianległych.
R1QXsf6JX9tGB1
Animacja pokazuje dwie proste równoległe a i b, które zostały przecięte trzecią prostą c. Między prostymi zaznaczona para kątów naprzemianległych alfa i beta. Na prostej a leży punkt. Zmieniając położenie punktu zmienia się położenie prostych równoległych i miary zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty naprzemianległe mają równe miary.
Animacja pokazuje dwie proste równoległe a i b, które zostały przecięte trzecią prostą c. Między prostymi zaznaczona para kątów naprzemianległych alfa i beta. Na prostej a leży punkt. Zmieniając położenie punktu zmienia się położenie prostych równoległych i miary zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty naprzemianległe mają równe miary.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 11
Konstrukcja kątów odpowiadających.
R5rbTh9Dd6RRV1
Animacja pokazuje w dziesięciu krokach konstrukcję kątów odpowiadających. Kreślimy prostą a. Na prostej a zaznaczamy punkt A. Wybieramy dowolny punkt B nie leżący na prostej a. Przez punkt B prowadzimy prostą b równoległą do prostej a. Kreślimy prostą c przechodzącą przez punkty A i B. Zaznaczamy kąt K A L, równy alfa, między prostymi a i c. Punkt K leży na prostej a, punkt L leży na prostej c. Zaznaczamy kąt M B N, równy beta, między prostymi b i c. Punkt N leży na prostej c, punkt M leży na prostej b. Kąty K A L i M B N nazywamy kątami odpowiadającymi. Porównując miary kątów K A L i M B N zauważamy, że kąty mają takie same miary.
Animacja pokazuje w dziesięciu krokach konstrukcję kątów odpowiadających. Kreślimy prostą a. Na prostej a zaznaczamy punkt A. Wybieramy dowolny punkt B nie leżący na prostej a. Przez punkt B prowadzimy prostą b równoległą do prostej a. Kreślimy prostą c przechodzącą przez punkty A i B. Zaznaczamy kąt K A L, równy alfa, między prostymi a i c. Punkt K leży na prostej a, punkt L leży na prostej c. Zaznaczamy kąt M B N, równy beta, między prostymi b i c. Punkt N leży na prostej c, punkt M leży na prostej b. Kąty K A L i M B N nazywamy kątami odpowiadającymi. Porównując miary kątów K A L i M B N zauważamy, że kąty mają takie same miary.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 5
Podaj miary kątów przy prostych równoległych.
RqQK6PmafrFpy1
Animacja pokazuje dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą. Między prostymi zaznaczone osiem kątów. Należy, znając miarę kąta beta, podać miary pozostałych siedmiu kątów.
Animacja pokazuje dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą. Między prostymi zaznaczone osiem kątów. Należy, znając miarę kąta beta, podać miary pozostałych siedmiu kątów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1NeHViauk58t
Proste i są równoległe i są przecięte trzecią prostą. Jeden z kątów wyznaczonych przez te proste ma miarę . Wpisz miary pozostałych kątów przy prostych i . Odpowiedź:Miary pozostałych kątów, to Tu uzupełnij i Tu uzupełnij.
Proste i są równoległe i są przecięte trzecią prostą. Jeden z kątów wyznaczonych przez te proste ma miarę . Wpisz miary pozostałych kątów przy prostych i . Odpowiedź:Miary pozostałych kątów, to Tu uzupełnij i Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Dwie proste przecięte trzecią prostą – zmienia się położenie trzeciej prostej. Dany jest jeden kąt – należy podać miary pozostałych kątów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
