Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
Analizując przykłady zawarte w tym materiale poznasz:
kąty wierzchołkowe i przyległe oraz ich własności,
kąty przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą.
Zapoznaj się z apletem przedstawiającym kąty wierzchołkowe. Sprawdź, jak zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów.
Zapoznaj się z apletem przedstawiającym kąty przyległe. Sprawdź, jak zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów.
Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona dopełniają się do prostej.
Kąty wierzchołkowe to dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek i przedłużeniem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.
Na przykład i na rysunku są kątami przyległymi. Pary kątów wierzchołkowych to i oraz i .
Zapoznaj się z apletem przedstawiającym kąty przyległe. Sprawdź, jak zmienia się suma miar zaznaczonych kątów.
Suma miar kątów przyległych jest równa .
Wprost z twierdzenia o sumie miar kątów przyległych wynika, że
oraz
Stąd . Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie.
Zapoznaj się z apletem przedstawiającym kąty wierzchołkowe. Sprawdź, jak zmieniają się miary zaznaczonych kątów.
Kąty wierzchołkowe są równe.
Obliczmy miary kątów , i zaznaczonych na rysunku.
Kąty i są wierzchołkowe, więc . Każdy z kątów i jest przyległy do kąta . Zatem
Przykład kątów odpowiadających.
Przykład kątów naprzemianległych.
Kąty: i , i , i oraz i nazywamy kątami odpowiadającymi.
Kąty i oraz i nazywamy kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.
Kąty i oraz i nazywamy kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.
R10NdPHYbTf5o1
W przypadku, gdy proste i są równoległe:
Kąty i , i , i oraz i są kątami odpowiadającymi.
Kąty i oraz i są kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.
Kąty i oraz i są kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.
R7FPd8JfmtQmz1
Przykłady par kątów naprzemianległych.
Przykład kątów naprzemianległych przy prostych równoległych.
Przykłady par kątów odpowiadających przy prostych równoległych.
Przykład kątów odpowiadających przy prostych równoległych.
Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to tak utworzone kąty naprzemianległe są równe i kąty odpowiadające są równe.
Jeżeli proste i przetniemy trzecią prostą i tak utworzone kąty naprzemianległe są równe, to proste i są równoległe.
RPeWL5k7W3nGr1
Jeżeli proste i przetniemy trzecią prostą i tak utworzone kąty odpowiadające są równe, to proste i są równoległe.
R1ALiETpc0Jgj1
Proste i zostały przecięte trzecią prostą. Miary kątów zaznaczono na rysunku. Uzasadnimy, że proste i są równoległe.
Zaznaczmy kąt przyległy do kąta . Jego miara jest równa
Dwa kąty odpowiadające mają taką samą miarę , skąd wynika, że proste i są równoległe.
Konstrukcja kątów naprzemianległych.
Konstrukcja kątów odpowiadających.
Podaj miary kątów przy prostych równoległych.
Dwie proste przecięte trzecią prostą – zmienia się położenie trzeciej prostej. Dany jest jeden kąt – należy podać miary pozostałych kątów.