Kolejność wykonywania działań

Arytmetyka to część matematyki, która dotyczy działań na liczbach. Obliczaliście już wartości prostych wyrażeń arytmetycznych, w których występowało dodawanie, odejmowanie, mnożenie lub dzielenie. W bardziej złożonych wyrażeniach występują dwa działania, trzy działania lub jeszcze więcej działań.
Zajmiemy się na razie wyrażeniami, które mają dwa działania. Spójrz na poniższe wyrażenia.

  1. 6+4·5

  2. 17-4+10

  3. 24:8-2

  4. 6+4·5

  5. 17-4+10

  6. 40:4·5

R1DpyacJ4Z2Y01
Animacja przedstawia wyścig samochodowy, za pomocą którego dowiadujemy się, w jakiej kolejności wykonujemy działania.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1DpyacJ4Z2Y0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia wyścig samochodowy, za pomocą którego dowiadujemy się, w jakiej kolejności wykonujemy działania.

Kolejność wykonywania działań
Reguła: Kolejność wykonywania działań

Działania wykonujemy w następującej kolejności:

  1. najpierw wykonujemy działania w nawiasach,

  2. następnie mnożenie lub dzielenie,

  3. na końcu dodawanie lub odejmowanie.

Przykład 1

Obliczmy wartość wyrażenia, zgodnie z kolejnością wykonywania działań.

  1. 6+4·5

R1H5LGMBOj47W1
Animacja przedstawia wyścig samochodowy, za pomocą którego dowiadujemy się, że mnożenie wykonujemy przed dodawaniem.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1H5LGMBOj47W

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia wyścig samochodowy, za pomocą którego dowiadujemy się, że mnożenie wykonujemy przed dodawaniem.

6+4·5=6+20=26
Zapamiętaj!

  • Jeżeli w wyrażeniu występuje tylko dodawanie i odejmowanie, to wykonujemy te działania w kolejności zapisu (od lewej strony do prawej).

Podobnie jest z mnożeniem i dzieleniem.

  • Jeżeli w wyrażeniu występuje tylko mnożenie i dzielenie, to wykonujemy te działania w kolejności zapisu (od lewej strony do prawej).

Przykład 2

Obliczmy wartość wyrażenia 17-4+5, zgodnie z kolejnością wykonywania działań.

R1V78LLQWB7al1
Na grafice przedstawione jest działanie siedemnaście odjąć cztery plus pięć równe trzynaście plus pięć równe osiemnaście.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R156AQPjiCybI1
Ćwiczenie 1
Przeciągnij i upuść poprawną liczbę i znaki we właściwe miejsce. a) 24:8-2=1. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 11. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 11. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 1=1. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 1
b) 6+4·5=1. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 11. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 11. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 1=1. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 1
c) 17-4+10=1. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 11. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 11. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 1=1. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 1
d) 40:4·5=1. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 11. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 11. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 1=1. 1, 2. 4, 3. 5, 4. 66, 5. -, 6. ·, 7. 13, 8. 50, 9. 90, 10. 52, 11. 10, 12. 50, 13. 2, 14. 17, 15. :, 16. +, 17. 40, 18. :, 19. 20, 20. 80, 21. -, 22. 4, 23. +, 24. 10, 25. 26, 26. 50, 27. 14, 28. 3, 29. ·, 30. 5, 31. 3, 32. 70, 33. 1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3

Jeżeli w wyrażeniu występuje nawias, to, zgodnie z kolejnością wykonywania działań, w pierwszej kolejności wykonujemy działania w nawiasie. Ale jak postępować, gdy w wyrażeniu są dwa nawiasy albo w nawiasie są dwa działania? Rozważmy takie sytuacje w wyrażeniach, w których występują trzy działania.

  • 2·20+25:9

W tym wyrażeniu najpierw wykonujemy działanie w tym nawiasie, który nie zawiera w sobie innego nawiasu. Następnie zajmujemy się działaniem w kolejnym nawiasie.

2·20+25:9=2·45:9=2·5=10

Zwróć uwagę, że, zapisując w wyrażeniu więcej niż jeden nawias, tyle samo nawiasów otwieramy, pisząc znak ''('' i zamykamy, pisząc znak '')''.

  • 13-6·8+3

Tutaj możemy równocześnie wykonać działania w obu nawiasach.

13-6·8+3=7·11=77

  • 3·18-12:6

W nawiasie mamy dwa działania: odejmowanie i dzielenie. Zgodnie z kolejnością ich wykonywania najpierw wykonujemy dzielenie.

3·18-12:6=3·18-2=3·16=48
RZxwukBwp8GGi1
Ćwiczenie 2
Oblicz wartość wyrażenia.
Połącz w pary wyrażenie z jego wynikiem. 28-36-12·3 Możliwe odpowiedzi: 1. 1, 2. 20, 3. 24, 4. 39, 5. 12, 6. 4 13·45:9+6 Możliwe odpowiedzi: 1. 1, 2. 20, 3. 24, 4. 39, 5. 12, 6. 4 95-14:27·3 Możliwe odpowiedzi: 1. 1, 2. 20, 3. 24, 4. 39, 5. 12, 6. 4 46+54:12+13 Możliwe odpowiedzi: 1. 1, 2. 20, 3. 24, 4. 39, 5. 12, 6. 4 84-44:11:4 Możliwe odpowiedzi: 1. 1, 2. 20, 3. 24, 4. 39, 5. 12, 6. 4 67-39-12+16 Możliwe odpowiedzi: 1. 1, 2. 20, 3. 24, 4. 39, 5. 12, 6. 4
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 4

Klaudia miała 22 plakaty swoich ulubionych zespołów. Od każdej z dwóch przyjaciółek dostała po 5 nowych plakatów. Obliczymy, ile plakatów ma teraz Klaudia.

Rozwiążemy to zadanie dwoma sposobami.

  • sposób I

Zapisujemy dwa wyrażenia i obliczamy ich wartości.

2·5=10
22+10=32

Odpowiedź: Klaudia ma teraz 32 plakaty.

  • sposób II

Zapisujemy jedno wyrażenie i obliczamy jego wartość.

22+2·5=22+10=32

Odpowiedź: Klaudia ma teraz 32 plakaty.

Do kolejnych zadań będziemy stosować sposób II, czyli postaramy się układać od razu jedno wyrażenie, które pozwoli odpowiedzieć na postawione pytanie.

R1FDXhZ9mFOA32
Ćwiczenie 3
Piotrek miał 26 zł. Kupił 3 batony po 4 zł każdy. Wskaż wyrażenie, które pozwoli ci obliczyć, ile złotych mu zostało. Możliwe odpowiedzi: 1. 26·3-4 zł, 2. 26-4·3 zł, 3. 26-3·4 zł, 4. 26-3·4 zł

  • 26 ∙ 3 - 4  zł
  • 26 - 4 ∙ 3  zł
  • 26 - 3 ∙ 4  zł
  • 26 - 3 ∙ 4  zł
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RZtX6IJ915tNe2
Ćwiczenie 4
Trzech synów złożyło się na prezent urodzinowy dla mamy. Dwóch z nich dało po 16 zł, a trzeci 12 zł. Za całą kwotę kupili mamie cztery jednakowe kwiaty. Wskaż wyrażenie, które pozwoli ci obliczyć, ile złotych kosztował jeden kwiat. Możliwe odpowiedzi: 1. 2·16+12:4 zł, 2. 2·16+12:4 zł, 3. 2·12+16:4 zł, 4. 2·16+12:4 zł

  • 2   ∙   16   +   12 :   4  zł
  • 2   ∙   16   +   12 :   4  zł  
  • 2   ∙   12   +   16 :   4  zł
  • 2   ∙   16   +   12   :   4  zł  
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3B
Ćwiczenie 5

Na klasową imprezę tata Staszka kupił 56 sztuk owoców dwóch rodzajów. Mandarynek kupił o 14 więcej niż bananów. Ile bananów kupił na tę imprezę tata Staszka?

R1ZMfbMk6QVji1
Animacja przedstawia owoce, które tata Staszka przyniósł na klasową imprezę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1ZMfbMk6QVji

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia owoce, które tata Staszka przyniósł na klasową imprezę.

R1ZBya7rfCLJ6
Wpisz w wyznaczone miejsce odpowiednią liczbę. Tata Staszka kupił Tu uzupełnij bananów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.