Olaf postanowił narysować w programie GeoGebra trójkąt o bokach długości: , i .
Zaczął rysunek od najdłuższego boku. Potem, z końców tego boku narysował odcinki o długościach i , i próbował znaleźć punkt, który będzie trzecim wierzchołkiem trójkąta.
RAArGRh7c1rHT1
Rysunek odcinka o długości 6 cm. Do jego końców dorysowane są odcinki o długościach 4 cm i 3 cm, które nie łączą się.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RGYpI6MYtsi17
Animacja pokazuje kreślenie trójkąta, gdy dane są trzy odcinki o długościach: 6 cm, 3 cm i 4 cm. Dany jest najdłuższy bok AB. Z końców tego boku poprowadzone są odcinki o długościach 3 cm i 4 cm (oba do góry). Odcinki nie łączą się. Zmieniając kąt nachylenia krótszych odcinków do odcinka AB zauważamy, że końce tych odcinków połączą się i powstanie trójkąt.
Animacja pokazuje kreślenie trójkąta, gdy dane są trzy odcinki o długościach: 6 cm, 3 cm i 4 cm. Dany jest najdłuższy bok AB. Z końców tego boku poprowadzone są odcinki o długościach 3 cm i 4 cm (oba do góry). Odcinki nie łączą się. Zmieniając kąt nachylenia krótszych odcinków do odcinka AB zauważamy, że końce tych odcinków połączą się i powstanie trójkąt.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 2
RI8brUUTJ4Xxy11
Animacja pokazuje odcinek AB = 6 cm. Z końców tego odcinka poprowadzone są odcinki o długościach 3 cm i 4 cm (oba do góry). Odcinki nie łączą się. Zmieniając kąt nachylenia krótszych odcinków do odcinka AB zauważamy, że końce tych odcinków połączą się i powstanie trójkąt. Końce mogą łączyć się na dwa sposoby, gdy znajdują się nad lub pod najdłuższym odcinkiem. Zauważamy, że poruszając końcami odcinków, końce zataczają okręgi.
Animacja pokazuje odcinek AB = 6 cm. Z końców tego odcinka poprowadzone są odcinki o długościach 3 cm i 4 cm (oba do góry). Odcinki nie łączą się. Zmieniając kąt nachylenia krótszych odcinków do odcinka AB zauważamy, że końce tych odcinków połączą się i powstanie trójkąt. Końce mogą łączyć się na dwa sposoby, gdy znajdują się nad lub pod najdłuższym odcinkiem. Zauważamy, że poruszając końcami odcinków, końce zataczają okręgi.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1bDSUk9qGKs811
1. Animacja pokazuje trójkąt o bokach 6 cm, 3 cm i 4 cm. Wierzchołki A, B trójkąta są środkami okręgów o promieniach 4 cm i 3 cm. Należy podać opis konstrukcji trójkąta, gdy dane są trzy odcinki. Kolejność konstrukcji: rysujemy odcinek AB = 6 cm, rysujemy okrąg ośrodku A i promieniu 4 cm, rysujemy okrąg ośrodku B i promieniu 3 cm, okręgi przecinają się w punktach C i D, kreślimy odcinki AC i BC, powstaje trójkąt A B C.
1. Animacja pokazuje trójkąt o bokach 6 cm, 3 cm i 4 cm. Wierzchołki A, B trójkąta są środkami okręgów o promieniach 4 cm i 3 cm. Należy podać opis konstrukcji trójkąta, gdy dane są trzy odcinki. Kolejność konstrukcji: rysujemy odcinek AB = 6 cm, rysujemy okrąg ośrodku A i promieniu 4 cm, rysujemy okrąg ośrodku B i promieniu 3 cm, okręgi przecinają się w punktach C i D, kreślimy odcinki AC i BC, powstaje trójkąt A B C.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Warunek trójkąta
1
Przykład 3
RQywwwlpIHJfR11
Animacja pokazuje trójkąt A B C zbudowany z trzech odcinków, których długość możemy zmieniać. Zmieniając długości boków należy obserwować jak zmienia się wielkość i kształt trójkąta. Zauważamy, że: jeżeli długości boków AC = 4 cm, BC =3 cm to długość boku AB musi być większa od 1 cm a mniejsza od 7 cm. Jeżeli długości boków AB = 6 cm, BC =3 cm to długość boku AC musi być większa od 3 a mniejsza od 9. Jeżeli długości boków AB =6 cm, AC =4 cm to długość boku BC musi być większa od 2 i mniejsza od dziesięciu.
Animacja pokazuje trójkąt A B C zbudowany z trzech odcinków, których długość możemy zmieniać. Zmieniając długości boków należy obserwować jak zmienia się wielkość i kształt trójkąta. Zauważamy, że: jeżeli długości boków AC = 4 cm, BC =3 cm to długość boku AB musi być większa od 1 cm a mniejsza od 7 cm. Jeżeli długości boków AB = 6 cm, BC =3 cm to długość boku AC musi być większa od 3 a mniejsza od 9. Jeżeli długości boków AB =6 cm, AC =4 cm to długość boku BC musi być większa od 2 i mniejsza od dziesięciu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Poprzednie zadanie pokazuje, że boki trójkąta nie mogą mieć całkiem dowolnych długości. Jeżeli dana jest długość jednego z boków, to suma długości dwóch pozostałych musi być od niej większa.
Ważne!
Suma długości dwóch boków trójkąta jest zawsze większa od długości trzeciego boku. Jest to tak zwany warunek trójkąta.
R1RrIjLd84Bx31
Rysunek trójkąta o bokach długości a, b i c. Zapis: a + b > c, a + c > b, b + c > a.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RPP2I3X91S3ZY1
Ćwiczenie 1
Dane są długości trzech odcinków. Które odcinki mogą być bokami trójkąta? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. , , , 2. , , , 3. , , , 4. , ,
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Z3k0QJuTiz21
Ćwiczenie 2
Czy odcinki o długościach: , i mogą być bokami trójkąta? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Tak, ponieważ oraz , 2. Nie, ponieważ oraz , 3. Tak, ponieważ , 4. Nie, ponieważ
Tak ponieważ oraz
Nie ponieważ oraz
Tak ponieważ
Nie ponieważ
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Konstrukcja trójkąta o trzech danych bokach
Konstrukcje geometryczne różnią się od zwykłego rysowania. Do ich wykonania możemy wykorzystywać tylko cyrkiel i linijkę, przy czym linijka nie służy do mierzenia, a tylko do rysowania odcinków, prostych lub półprostych. Natomiast za pomocą cyrkla możemy odmierzać odcinki, rysować okręgi i łuki okręgów. Oczywiście używamy też ołówka.
Konstrukcje wykonywano już w starożytności, rozwiązując w ten sposób wiele problemów geometrycznych.
Ćwiczenie 3
Wykonaj konstrukcję trójkąta o trzech danych bokach.
RddJfHtiwKvvq
Szkicownik.
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Opisz konstrukcję trójkąta o trzech danych bokach.
RlaImZuEC7XsR
(Uzupełnij).
Zacznij od wybrania długości trzech boków tak, aby spełniały one warunek trójkąta.
R29iD3eDBd5DZ
Konstrukcja trójkąta o trzech danych bokach.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Wybierzmy następujące długości: , i
Zacznijmy od skonstruowania prostej i zaznaczenia na niej odcinka o długości jednego z boków, np. . Następnie kreślimy okrąg o środku w punkcie i promieniu równym długości kolejnego boku, np. oraz drugi okrąg o środku w punkcie i promieniu równym długości ostatniego boku, czyli . Jeden z punktów przecięcia obu okręgów oznaczamy jako punkt . Rysujemy odcinki oraz . Otrzymany trójkąt , ma boki o wybranych przez nas długościach.
Wybierzmy następujące długości: , i
Zacznijmy od skonstruowania prostej i zaznaczenia na niej odcinka o długości jednego z boków, np. . Następnie kreślimy okrąg o środku w punkcie i promieniu równym długości kolejnego boku, np. oraz drugi okrąg o środku w punkcie i promieniu równym długości ostatniego boku, czyli . Jeden z punktów przecięcia obu okręgów oznaczamy jako punkt . Rysujemy odcinki oraz . Otrzymany trójkąt , ma boki o wybranych przez nas długościach.
Ćwiczenie 4
Narysuj dane: trzy odcinki o długościach i . Następnie wykonaj konstrukcję trójkąta o bokach długości i . Jaki rodzaj trójkąta powstał?
R1QoSdU91HiMM
Szkicownik.
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Opisz konstrukcję trójkąta o bokach długości i . Jaki rodzaj trójkąta powstał?
R1YcAXd3BjZ5J
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pamiętaj, że do konstrukcji możesz wykorzystać tylko linijkę oraz cyrkiel. Linijki nie wykorzystuj do odmierzania odcinków, tylko do rysowania prostych i półprostych.
R4KZTyef7Fs4B1
Rysunek trzech odcinków o długościach 3 cm, 4 cm, 5 cm oraz trójkąta prostokątnego A B C zbudowanego z tych odcinków. Rysunek jest rozwiązaniem zadania.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Powstał trójkąt prostokątny.
Zaczynamy od wyznaczenia półprostej, rozpoczynającej się w punkcie . Przy pomocy cyrkla kreślimy łuk o środku w punkcie i promieniu równym długości jednego z odcinków (przyjmijmy ). Punkt przecięcia łuku i półprostej oznaczamy jako . Następnie kreślimy łuk o środku w punkcie i promieniu równym długości drugiego z odcinków (przyjmijmy ) oraz łuk o środku w punkcie i promieniu równym długości ostatniego z odcinków (pozostało nam tylko ). Punkt przecięcia obu tych łuków oznaczamy jako . Łączymy otrzymane punkty i otrzymujemy trójkąt prostokątny.
Ćwiczenie 5
Narysuj dwa odcinki różnej długości. Dłuższy oznacz literą , krótszy literą . Następnie wykonaj konstrukcję trójkąta
równobocznego o boku
równobocznego o boku
równoramiennego o podstawie i ramionach
równoramiennego o podstawie i ramionach
Jeśli jakaś konstrukcja jest niewykonalna przy wybranych przez Ciebie długościach odcinków, uzasadnij dlaczego.
RCyus6utzvlBM
Szkicownik.
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pamiętaj, że do konstrukcji możesz wykorzystać tylko linijkę oraz cyrkiel. Linijki nie wykorzystuj do odmierzania odcinków, tylko do rysowania prostych i półprostych.
R13m6ZxoMLsTZ1
Rysunek dwóch odcinków o długościach a, b oraz trójkąta równobocznego o bokach równych a. Rozwiązanie zadania podpunkt a.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1OM8Y1EelNYO1
Rysunek dwóch odcinków o długościach a, b oraz trójkąta równobocznego o bokach równych b. Rozwiązanie zadania podpunkt b.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RagmsitXW2wwF1
Rysunek dwóch odcinków o długościach a, b oraz trójkąta równoramiennego o podstawie równej b oraz ramionach równych a. Rozwiązanie zadania podpunkt c.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R18UAKR5HGf5z1
Rysunek dwóch odcinków o długościach a, b oraz trójkąta równoramiennego o podstawie równej a oraz ramionach równych b. Rozwiązanie zadania podpunkt d.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R15MKYMGTPvsD
Ćwiczenie 5
Podczas konstrukcji trójkąta narysowano dwa łuki o promieniu i jeden łuk o promieniu . Jaki trójkąt skonstruowano? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Trójkąt równoramienny o podstawie i ramionach ., 2. Trójkąt równoramienny o podstawie i ramionach ., 3. Trójkąt o podstawie i wysokości ., 4. Trójkąt o podstawie i wysokośći .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 6
Narysuj na kartce odcinek o długości . Skonstruuj trójkątów równobocznych o boku , ale połącz je w taki sposób, żeby utworzyły ciekawą figurę. Możesz pomalować wnętrza trójkątów kolorowymi kredkami.
Rhvp2Pt8dTqaz
Szkicownik.
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Opisz konstrukcję sześciu trójkątów równobocznych o boku , ale połączonych w taki sposób, żeby utworzyły ciekawą figurę.
R1NQF8e8vhS78
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Wszystkie trójkąty są takie same, więc wystarczy powtórzyć tą samą konstrukcję razy.
R2ROpDwD5nL2s
Konstrukcja sześciu trójkątów równobocznych o boku 5 cm, połączonych w taki sposób, że utworzyły ciekawą figurę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zaczynamy od wyznaczenia półprostej, rozpoczynającej się w punkcie . Przy pomocy cyrkla kreślimy łuk o środku w tym punkcie i promieniu równym . Punkt przecięcia łuku i półprostej oznaczamy jako . Następnie kreślimy łuk o środku w punkcie i promieniu równym oraz łuk o środku w punkcie i promieniu równym . Punkt przecięcia obu tych łuków oznaczamy jako . Łączymy otrzymane punkty i otrzymujemy trójkąt równoboczny.
Taką konstrukcję należy wykonać razy, jednak zamiast za każdym razem zaczynać od konstrukcji początkowego odcinka, należy wykorzystać jeden z boków skonstruowanego poprzednio trójkąta.
