Olaf postanowił narysować w programie GeoGebra trójkąt o bokach długości: , i .
Zaczął rysunek od najdłuższego boku. Potem, z końców tego boku narysował odcinki o długościach i , i próbował znaleźć punkt, który będzie trzecim wierzchołkiem trójkąta.
RAArGRh7c1rHT1
RGYpI6MYtsi17
1
Przykład 2
RI8brUUTJ4Xxy11
R1bDSUk9qGKs811
Warunek trójkąta
1
Przykład 3
RQywwwlpIHJfR11
Poprzednie zadanie pokazuje, że boki trójkąta nie mogą mieć całkiem dowolnych długości. Jeżeli dana jest długość jednego z boków, to suma długości dwóch pozostałych musi być od niej większa.
Ważne!
Suma długości dwóch boków trójkąta jest zawsze większa od długości trzeciego boku. Jest to tak zwany warunek trójkąta.
R1RrIjLd84Bx31
RPP2I3X91S3ZY1
Ćwiczenie 1
R1Z3k0QJuTiz21
Ćwiczenie 2
Konstrukcja trójkąta o trzech danych bokach
Konstrukcje geometryczne różnią się od zwykłego rysowania. Do ich wykonania możemy wykorzystywać tylko cyrkiel i linijkę, przy czym linijka nie służy do mierzenia, a tylko do rysowania odcinków, prostych lub półprostych. Natomiast za pomocą cyrkla możemy odmierzać odcinki, rysować okręgi i łuki okręgów. Oczywiście używamy też ołówka.
Konstrukcje wykonywano już w starożytności, rozwiązując w ten sposób wiele problemów geometrycznych.
Ćwiczenie 3
Wykonaj konstrukcję trójkąta o trzech danych bokach.
RddJfHtiwKvvq
Opisz konstrukcję trójkąta o trzech danych bokach.
RlaImZuEC7XsR
Zacznij od wybrania długości trzech boków tak, aby spełniały one warunek trójkąta.
R29iD3eDBd5DZ
Wybierzmy następujące długości: , i
Zacznijmy od skonstruowania prostej i zaznaczenia na niej odcinka o długości jednego z boków, np. . Następnie kreślimy okrąg o środku w punkcie i promieniu równym długości kolejnego boku, np. oraz drugi okrąg o środku w punkcie i promieniu równym długości ostatniego boku, czyli . Jeden z punktów przecięcia obu okręgów oznaczamy jako punkt . Rysujemy odcinki oraz . Otrzymany trójkąt , ma boki o wybranych przez nas długościach.
Wybierzmy następujące długości: , i
Zacznijmy od skonstruowania prostej i zaznaczenia na niej odcinka o długości jednego z boków, np. . Następnie kreślimy okrąg o środku w punkcie i promieniu równym długości kolejnego boku, np. oraz drugi okrąg o środku w punkcie i promieniu równym długości ostatniego boku, czyli . Jeden z punktów przecięcia obu okręgów oznaczamy jako punkt . Rysujemy odcinki oraz . Otrzymany trójkąt , ma boki o wybranych przez nas długościach.
Ćwiczenie 4
Narysuj dane: trzy odcinki o długościach i . Następnie wykonaj konstrukcję trójkąta o bokach długości i . Jaki rodzaj trójkąta powstał?
R1QoSdU91HiMM
Opisz konstrukcję trójkąta o bokach długości i . Jaki rodzaj trójkąta powstał?
R1YcAXd3BjZ5J
Pamiętaj, że do konstrukcji możesz wykorzystać tylko linijkę oraz cyrkiel. Linijki nie wykorzystuj do odmierzania odcinków, tylko do rysowania prostych i półprostych.
R4KZTyef7Fs4B1
Powstał trójkąt prostokątny.
Zaczynamy od wyznaczenia półprostej, rozpoczynającej się w punkcie . Przy pomocy cyrkla kreślimy łuk o środku w punkcie i promieniu równym długości jednego z odcinków (przyjmijmy ). Punkt przecięcia łuku i półprostej oznaczamy jako . Następnie kreślimy łuk o środku w punkcie i promieniu równym długości drugiego z odcinków (przyjmijmy ) oraz łuk o środku w punkcie i promieniu równym długości ostatniego z odcinków (pozostało nam tylko ). Punkt przecięcia obu tych łuków oznaczamy jako . Łączymy otrzymane punkty i otrzymujemy trójkąt prostokątny.
Ćwiczenie 5
Narysuj dwa odcinki różnej długości. Dłuższy oznacz literą , krótszy literą . Następnie wykonaj konstrukcję trójkąta
równobocznego o boku
równobocznego o boku
równoramiennego o podstawie i ramionach
równoramiennego o podstawie i ramionach
Jeśli jakaś konstrukcja jest niewykonalna przy wybranych przez Ciebie długościach odcinków, uzasadnij dlaczego.
RCyus6utzvlBM
Pamiętaj, że do konstrukcji możesz wykorzystać tylko linijkę oraz cyrkiel. Linijki nie wykorzystuj do odmierzania odcinków, tylko do rysowania prostych i półprostych.
R13m6ZxoMLsTZ1
R1OM8Y1EelNYO1
RagmsitXW2wwF1
R18UAKR5HGf5z1
R15MKYMGTPvsD
Ćwiczenie 5
Ćwiczenie 6
Narysuj na kartce odcinek o długości . Skonstruuj trójkątów równobocznych o boku , ale połącz je w taki sposób, żeby utworzyły ciekawą figurę. Możesz pomalować wnętrza trójkątów kolorowymi kredkami.
Rhvp2Pt8dTqaz
Opisz konstrukcję sześciu trójkątów równobocznych o boku , ale połączonych w taki sposób, żeby utworzyły ciekawą figurę.
R1NQF8e8vhS78
Wszystkie trójkąty są takie same, więc wystarczy powtórzyć tą samą konstrukcję razy.
R2ROpDwD5nL2s
Zaczynamy od wyznaczenia półprostej, rozpoczynającej się w punkcie . Przy pomocy cyrkla kreślimy łuk o środku w tym punkcie i promieniu równym . Punkt przecięcia łuku i półprostej oznaczamy jako . Następnie kreślimy łuk o środku w punkcie i promieniu równym oraz łuk o środku w punkcie i promieniu równym . Punkt przecięcia obu tych łuków oznaczamy jako . Łączymy otrzymane punkty i otrzymujemy trójkąt równoboczny.
Taką konstrukcję należy wykonać razy, jednak zamiast za każdym razem zaczynać od konstrukcji początkowego odcinka, należy wykorzystać jeden z boków skonstruowanego poprzednio trójkąta.