Konstrukcje stycznej do okręgu

Animacja pokazuje okrąg ośrodku w punkcie S, promieniu SA i prostą AB. Punkt A jest wspólny dla prostej i okręgu. Zmieniając położenie punktu B, leżącego na prostej, zmieniamy położenie prostej względem okręgu. Wykorzystując kątomierz odczytujemy miarę kąta B A S (utworzonego między prostą a promieniem SA okręgu). Jeżeli kąt jest równy 90 stopni, to prosta ma jeden punkt wspólny z okręgiem, jest styczna do okręgu. Jeżeli kąt BAS jest mniejszy od 90 stopni, to prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem, jest sieczną okręgu.

Animacja prezentuje w trzech krokach konstrukcję stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P. Mamy okrąg ośrodku w punkcie S i promieniu SA. Zaczynamy od przyłożenia kąta prostego ekierki do punktu P w taki sposób, aby jeden bok ekierki pokrywał się z promieniem tego okręgu. Do drugiego boku ekierki przykładamy linijkę, a następnie rysujemy prostą wzdłuż linijki.

Animacja prezentuje w sześciu krokach konstrukcję stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P. Mamy okrąg o środku w punkcie S i punkt P leżący na okręgu. Kreślimy prostą SP. Rysujemy okrąg o środku w punkcie P i promieniu mniejszym niż średnica danego okręgu. Punkty przecięcia prostej i okręgu oznaczamy A i B. Z punktów A i B, jako środków, rysujemy okręgi o jednakowych promieniach tak, aby okręgi przecięły się. Punkty przecięcia okręgów oznaczamy T i R. Kreślimy prostą TR, która jest szukaną styczną do okręgu – jest prostopadła do promienia SP i przechodzi przez punkt P.

Animacja pokazuje w dwunastu krokach konstrukcję stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P. Dany jest okrąg c o środku w punkcie S i punkt P leżący na zewnątrz okręgu. Zaznaczmy na okręgu dowolny punkt A. Kreślimy półprostą SA. Kreślimy okrąg d o środku w punkcie A, przechodzący przez punkt S. Punkt B jest punktem przecięcia okręgu d z półprostą SA. Kreślimy okrąg e o środku w punkcie B i promieniu SB. Kreślimy okrąg f o środku w punkcie P, przechodzący przez punkt S. Okręgi e oraz f przecinają się w punktach C, D. Odcinki SP i CP mają taką samą długość, więc trójkąt C S P jest równoramienny. Bok SC trójkąta C S P przecina okrąg c w punkcie E. Odcinki SE, EC mają taką samą długość. Punkt E jest spodkiem wysokości trójkąta C S P poprowadzonej z punktu P. Odcinek EP jest wysokością trójkąta S C P, więc prosta EP jest prostopadła do odcinka SE, czyli promienia okręgu c. EP jest poszukiwaną styczną przechodzącą przez punkt P. Podobnie kreśli się drugą styczną do okręgu c przechodzącą przez punkt P.

Animacja pokazuje w ośmiu krokach konstrukcję stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P. Dany jest okrąg o środku w punkcie S i punkt P leżący na zewnątrz okręgu. Konstruujemy środek Q odcinka SP. Kreślimy okrąg o środku w punkcie Q, przechodzący przez punkty P, S. Otrzymujemy dwa punkty przecięcia okręgów A i B. Kreślimy proste PA i PB, które są poszukiwanymi stycznymi do okręgu poprowadzonymi przez punkt P. Mierząc kąt pomiędzy prostą PA a promieniem okręgu poprowadzonym do punktu styczności A, zauważamy że ma on miarę 90 stopni. Podobnie, kąt pomiędzy prostą PB a promieniem okręgu poprowadzonym do punktu styczności B ma miarę 90 stopni.

Animacja pokazuje w ośmiu krokach konstrukcję stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P. Dany jest okrąg c o środku w punkcie S i punkt P leżący na zewnątrz okręgu. Kreślimy półprostą SP. Półprosta przecina okrąg w punkcie Q. Kreślimy prostą p prostopadłą do półprostej SP, przechodzącą przez punkt Q. Prosta ta jest styczna do okręgu, ale nie przechodzi przez punkt P. Zmieniając kąt nachylenia prostej p (przemieszczając punkt styczności po okręgu) szukamy, takiego położenia prostej, aby była styczna do okręgu i przechodziła przez punkt P. Jest takie położenie prostej, która w punkcie R jest styczna do okręgu c. W następny kroku otrzymujemy trójkąt S P R i trójkąt S Q A. Trójkąt S Q A powstał z trójkąta S P R w wyniku jego obrotu. Zauważamy, że wierzchołek A tego trójkąta jest przecięciem prostej p z okręgiem g o środku S i promieniu SP. Wobec tego SA = SP, SQ = r, QA = RP. To sugeruje, jak dla danego okręgu i punktu P leżącego na zewnątrz okręgu, znaleźć punkt R styczności okręgu z poszukiwaną styczną. Aby znaleźć poszukiwany punkt R, należy wykreślić okrąg o środku w punkcie P i promieniu QA. Prosta PR jest poszukiwaną styczną do okręgu. Uzasadnij prawidłowość konstrukcji.

Animacja przedstawia w dziewięciu krokach konstrukcję stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P. Dany jest okrąg c o środku w punkcie S i punkt P leżący na zewnątrz okręgu. Kreślimy półprostą SP. Półprosta SP przecina okrąg c w punkcie Q. Konstruujemy prostą p prostopadłą do półprostej SP, przechodzącą przez punkt Q. Kreślimy okrąg o środku w punkcie S i promieniu SP. Prosta p przecina okrąg o środku w punkcie S i promieniu SP w punktach A, B. Kreślimy odcinek SA. Odcinek ten przecina okrąg c w punkcie R. Prosta PR jest poszukiwaną styczną do okręgu c. Analogiczną konstrukcję wykonujemy dla punktu B. Uzasadnij poprawność konstrukcji.

Animacja pokazuje w dziewięciu krokach konstrukcję stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P. Dany jest okrąg c o środku w punkcie S i punkt P leżący na zewnątrz okręgu. Autorem przedstawionej konstrukcji jest szwajcarski matematyk Jakub Steinem (1796‑1863). W konstrukcji wykorzystywana jest tylko linijka. Obieramy na kręgu dwa dowolne, różne punkty A, B. Kreślimy półproste PA i PB. Półproste te przecinają okrąg w punktach K i L różnych od A i B. Niech punkt M będzie punktem przecięcia prostych AL i BK. Kreślimy proste AB i KL. Przecinają się one w punkcie W. Kreślimy prostą MW. Która przecina okrąg w poszukiwanych punktach styczności. Prosta ta nosi nazwę biegunowej punktu P. Punkt P jest biegunem tej biegunowej. Biegunowa WM jest prostopadła do prostej SP. Przecięcia biegunowej WM z okręgiem wyznaczają punkty styczności S z indeksem dolnym jeden i S z indeksem dolnym dwa poszukiwanych stycznych do okręgu przechodzących przez punkt P. Nie korzystaliśmy ze znajomości położenia środka okręgu.