- develops the ability to calculate the area of any polygons using the method of dividing them into smaller polygons, whose area can be easily calculated,
- uses a geoboardgeoboardgeoboard to calculate the area of polygons.
Two volunteer students recollect the formulae for calculating the areas of polygons using the “interviewing a partner” technique. They also present the methods of calculating the areas when the polygons are neither quadrangles, nor triangles.
The teacher’s role is limited to explaining any possible problems.
The teacher presents the aim of the class: developing the ability to calculate the area of polygons.
The students work individually, using their computers. They analyse the slideshow, paying special attention to the way of dividing polygons.
[Slideshow]
Discussion – can any polygonpolygonpolygon be easily divided into squares? In which points of the squares should the vertices of the polygon be located?
The teacher informs that in many cases, to make calculations easier, the polygon is put into a goeboard, where the area of the unit squaresquaresquare is known.
The students use this information to solve the task in the applet. They pay attention to the position of the points of the geoboardgeoboardgeoboard where the vertices of the polygon are located.
[Geogebra applet]
The conclusion that should be drawn by the students.
When using a geoboard to calculate the area of a polygonarea of a polygonarea of a polygon, we try to put the vertices of the polygon in the nails of the geoboard as long as it is possible.
The students work in pairs. The teacher gives a piece of squared paper to every group and suggests playing a game based on popular logical puzzle – pentominopentominopentomino.
Task 1
A squared piece of paper is the model of a geoborad. In the piece of paper, draw various polygons made of 5 adjacent squares, alternately.
Examples of such polygons:
[Illustration 1]
The winner is the person who draws the last of the possible polygons.
Having finished the task, the students present their work. They compare the polygons. They find out that 12 is the maximum number of the polygons that can be made in this way. They notice that the areas of the polygons are equal. Their perimeters are equal, too.
An extra task
Cut out all the polygons that you have drawn. Remember – there should be 12 of them. In this way you get the elements of pentominopentominopentomino. Use all the elements to make a rectanglerectanglerectangle.
The students solve the tasks in pairs, making pictures in a geoboardgeoboardgeoboard to help. They make rectangles (or squares) using the considered polygons and calculate the areas of these rectangles (or squares).
The students do the consolidation tasks. They summarize the class and formulate information that they need to remember.
- When using a geoboardgeoboardgeoboard to calculate the area of a polygonarea of a polygonarea of a polygon, we try to put the vertices of the polygonpolygonpolygon in the nails of the geoboard as long as it is possible.
- PentominopentominoPentomino is a logical puzzle consisting of 12 various elements, each made of 5 adjacent squares.
Selected words and expressions used in the lesson plan
W równoległoboku ABCD bok AB ma długość 9. Odcinek DE jest wysokością tego równoległoboku. Kąt DAE ma miarę 45° i odcinek AE ma długość 4. Oblicz pole tego równoległoboku.
Oblicz pole trójkąta równoramiennego o podstawie długości 4 i wysokości poprowadzonej do tej podstawy równej 6.
me05493753927e254_1528449000663_0
Pola wielokątów
me05493753927e254_1528449084556_0
Drugi
me05493753927e254_1528449076687_0
XI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:
4) oblicza pola wielokątów metodą podziału na mniejsze wielokąty lub uzupełniania do większych wielokątów.
me05493753927e254_1528449068082_0
45 minut
me05493753927e254_1528449523725_0
Używanie prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretowanie pojęć matematycznych i operowanie obiektami matematycznymi.
me05493753927e254_1528449552113_0
1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
2. Rozwijanie umiejętności obliczania pól wielokątów metodą podziału ich na mniejsze wielokąty.
3. Wykorzystanie sieci kwadratowej do obliczania pól wielokątów.
me05493753927e254_1528450430307_0
Uczeń:
- rozwija umiejętności związane z obliczaniem pól wielokątów, dzieląc je na wielokąty, których pola potrafi obliczyć,
- wykorzystuje sieć kwadratową do obliczania pól wielokątów.
me05493753927e254_1528449534267_0
1. Wywiad z partnerem.
2. Gra dydaktyczna.
me05493753927e254_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca grupowa.
me05493753927e254_1528450127855_0
Dwaj chętni uczniowie metodą „wywiad z partnerem” przypominają pozostałym osobom wzory na obliczanie pól wielokątów. Pokazują też sposoby obliczania pól w sytuacjach, gdy wielokąty nie są czworokątami, ani trójkątami.
Rola nauczyciela ogranicza się tu do wyjaśnienia ewentualnych niedociągnięć.
Nauczyciel przedstawia cel zajęć: rozwijanie umiejętności obliczania pól wielokątów.
me05493753927e254_1528446435040_0
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Analizują slideshow, zwracając uwagę na sposób podziału wielokąta.
[Slideshow]
Dyskusja – czy każdy wielokąt można podzielić w dogodny sposób na kwadraty? W jakich punktach tych kwadratów powinny znajdować się wierzchołki wielokąta?
Nauczyciel informuje, że w wielu przypadkach, dla ułatwienia obliczeń, umieszcza się wielokąt na sieci kwadratowej, o znanym polu kwadratu jednostkowego sieci.
Korzystając z tej informacji, uczniowie rozwiązują zadanie, zamieszczone w aplecie. Zwracając uwagę, w jakich punktach sieci położone są wierzchołki wielokąta.
[Geogebra aplet]
Wniosek, jaki powinni wyciągnąć uczniowie.
Chcąc obliczyć pole wielokąta, korzystając z sieci kwadratowej, staramy się, aby jego wierzchołki znalazły się w węzłach sieci, jeśli jest to możliwe.
Uczniowie pracują w parach. Nauczyciel rozdaje każdej parze kartki w kratkę i proponuje grę, wzorowaną na popularnej układance logicznej – pentomino.
Polecenie 1
Kartka w kratkę jest modelem kwadratowej sieci. Rysujcie na niej na przemian różne wielokąty, zbudowane z 5 przylegających do siebie kwadratów.
Przykłady takich wielokątów:
[Ilustracja 1]
Wygrywa ten, kto narysuje ostatni z możliwych taki wielokąt.
Po skończonym ćwiczeniu, uczniowie prezentują swoje prace. Porównują utworzone wielokąty. Ustalają, że można zbudować co najwyżej 12 takich wielokątów. Zauważają, że wielokąty mają równe pola. Obwody tych wielokątów też są równe.
Polecenie dla chętnych
Wytnij wszystkie narysowane przez ciebie wielokąty – pamiętaj, że musi być ich 12. Otrzymasz w ten sposób kostki pentomina. Ułóż ze wszystkich kostek prostokąt.
Uczniowie w parach rozwiązują zadania, sporządzając rysunki pomocnicze na kwadratowych sieciach. Z rozważanych wielokątów budują prostokąty (lub kwadraty) i obliczają pola tych prostokątów (kwadratów).
Polecenie 2
Oblicz pole trójkąta równoramiennego o podstawie długości 4 i wysokości poprowadzonej do tej podstawy równej 6.
Polecenie 3
Przekątne deltoidu mają długości 10 i 4. Oblicz pole tego deltoidu.
Polecenie 4
W równoległoboku ABCD bok AB ma długość 9. Odcinek DE jest wysokością tego równoległoboku. Kąt DAE ma miarę 45° i odcinek AE ma długość 4. Oblicz pole tego równoległoboku.
Polecenie dla chętnych
W trapezie prostokątnym ABCD podstawy AB i CD mają długości odpowiednio równe 6 i 2. Bok AD przy kącie prostym ma długość 5.
W trójkącie prostokątnym równoramiennym EFG, przyprostokątna ma długość 4. Oblicz sumę pól trapezu i trójkąta.
Po rozwiązaniu zadań, pary uczniów wymieniają się rozwiązaniami i wzajemnie sprawdzają poprawność wyników.
Nauczyciel ocenia prace uczniów, wyjaśnia wątpliwości.
me05493753927e254_1528450119332_0
Uczniowie wykonują zadania utrwalające. Wspólnie podsumowują zajęcia, formułując informacje do zapamiętania.
- Chcąc obliczyć pole wielokąta, korzystając z sieci kwadratowej, staramy się, aby jego wierzchołki znalazły się w węzłach sieci, jeśli jest to możliwe,
- Pentomino to układanka logiczna, złożona z 12 różnych klocków zbudowanych z 5 przylegających do siebie kwadratów.