- Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.

- Jeżeli ciąg jest nieskończony, to jego dziedziną jest zbiór dodatnich liczb naturalnych. Dziedziną ciągu skończonego jest zbiór {1, 2 ,..., n}.

- Ciągi liczbowe, to takie, których wyrazy są liczbami. Ciąg oznaczamy zazwyczaj (aIndeks dolny n_n), (bIndeks dolny n_n), (cIndeks dolny n_n).

- Ciąg nazywamy rosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność aIndeks dolny n+1_n+1 > aIndeks dolny n_n.

- Ciąg nazywamy malejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność aIndeks dolny n+1_n+1 < aIndeks dolny n_n.

- Ciąg nazywamy stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są sobie równe, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi równość aIndeks dolny n+1_n+1 = aIndeks dolny n_n.

- Ciąg nazywamy niemalejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność $a_{n+1}\ge a_n$.

- Ciąg nazywamy nierosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność $a_{n+1}\le a_n$.

- Jeżeli ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały, to mówimy, że ten ciąg jest monotoniczny. O innych ciągach mówimy, że nie są monotoniczne.

- Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.

- Ciąg jest monotoniczny, jeśli jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały.

- Ciąg (an) jest rosnący, jeżeli aIndeks dolny n+1_n+1 > aIndeks dolny n_n.

- Ciąg (an) jest malejący, jeżeli aIndeks dolny n+1_n+1 < aIndeks dolny n_n.

- Ciąg (an) jest stały, jeżeli aIndeks dolny n+1_n+1 = aIndeks dolny n_n.

- Ciąg (an) jest niemalejący, jeżeli $a_{n+1}\ge a_n$.

- Ciąg (an) jest nierosnący, jeżeli $a_{n+1}\le a_n$.

Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej

Trzeci

VI. Ciągi. Zakres podstawowy. Uczeń:

1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;

2) oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie;

3) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący.

45 minut

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

1. Obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym lub rekurencyjnym.

2. Określanie monotoniczności ciągu.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Uczeń:

- oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym lub rekurencyjnym,

- określa monotoniczność ciągu.

1. Pytanie do eksperta.

2. Analiza sytuacyjna.

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Uczniowie przypominają pojęcie funkcji, ze szczególną uwagą omawiają funkcję, w której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych. Przypominają również pojęcia związane z monotonicznością funkcji.

Dwóch uczniów przygotowuje przed lekcją informacje o ciągach. Przygotowują na ten temat prezentację multimedialną lub plakaty.

Eksperci (uczniowie) prezentują pozostałym uczniom przygotowane przez siebie informacje dotyczące ciągów, przedstawiają przykłady sytuacji z życia codziennego obrazujących pojęcie ciągu.

Uczniowie, dyskutując, wspólnie zapisują definicję ciągu.

Definicja
- Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.

- Jeżeli ciąg jest nieskończony, to jego dziedziną jest zbiór dodatnich liczb naturalnych. Dziedziną ciągu skończonego jest zbiór {1, 2 ,..., n}.

- Ciągi liczbowe, to takie, których wyrazy są liczbami. Ciąg oznaczamy zazwyczaj (aIndeks dolny n_n), (bIndeks dolny n_n), (cIndeks dolny n_n).

Polecenie
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest przesunięcie punktów na wykresie, w taki sposób, aby tworzyły one ciąg.

[Geogebra aplet]

Nauczyciel dzieli uczniów na grupy. Każda z nich otrzymuje zadanie do wykonania. Eksperci poruszają się między pracującymi grupami, wyjaśniają wątpliwości, udzielają wskazówek.

Polecenie
Grupa I:

- Oblicz drugi, piąty i dziesiąty wyraz ciągu określonego następująco:

a) $a_n=2n+4,n\in N_{+}$

b) $a_n=\frac{n+1}{n},n\in N_{+}$

c) $a_1=2$ i $a_{n+1}=a_n-\frac{1}{2}$, $n\in N_{+}$

- Zapytaj ekspertów, jak nazywają się rodzaje wzorów, które pojawiły się w zadaniu.

- W jaki jeszcze sposób można przedstawić ciąg?

Polecenie
Grupa II:

- Przyjrzyj się wykresom i podaj własność ciągu, który one przedstawiają.

[Ilustracja 1]

[Ilustracja 2]

[Ilustracja 3]

- Zapytaj eksperta jak nazywają się takie ciągi.

- Sformułuj definicje tych ciągów.

- Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n=\frac{n+1}{n},n\in N_{+}$.

Polecenie
Grupa III:

- Przyjrzyj się wykresom i podaj własność ciągu, który one przedstawiają.

[Ilustracja 4]

[Ilustracja 5]

[Ilustracja 6]

- Zapytaj eksperta jak nazywają się takie ciągi.

- Sformułuj definicje tych ciągów.

Polecenie
Grupa IV:

- Podaj odpowiedzi do przedstawionych zadań. Uzasadnij je, zapisz potrzebne obliczenia:

- Ile wyrazów dodatnich znajduje się w ciągu przedstawionym wzorem: $a_n=n^2-5n+1,n\in N_{+}$?

- Które wyrazy ciągu $a_n=\frac{3n^2-2n-12}{n},n\in N_{+}$, są liczbami naturalnymi?

- Które z wyrazów ciągu $a_n=(n^2-1)(n^2-4)(n+5),n\in N_{+}$, są równe zeru?

- W przypadku trudności przy wykonaniu zadania, poproś ekspertów o potrzebne wskazówki.

Po zakończonym ćwiczeniu grupy prezentują wyniki swojej pracy i wnioski z niej wynikające. Nauczyciel ocenia pracę uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Wnioski:
- Ciąg nazywamy rosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność aIndeks dolny n+1_n+1 > aIndeks dolny n_n.

- Ciąg nazywamy malejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność aIndeks dolny n+1_n+1 < aIndeks dolny n_n.

- Ciąg nazywamy stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są sobie równe, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi równość aIndeks dolny n+1_n+1 = aIndeks dolny n_n.

- Ciąg nazywamy niemalejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność $a_{n+1}\ge a_n$.

- Ciąg nazywamy nierosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność $a_{n+1}\le a_n$.

- Jeżeli ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały, to mówimy, że ten ciąg jest monotoniczny. O innych ciągach mówimy, że nie są monotoniczne.

Polecenie dla chętnych
Zapisz wzór na n‑ty wyraz ciągu (aIndeks dolny n_n), zdefiniowanego rekurencyjnie:

$a_1=3$ i $a_{n+1}=\sqrt{a_n}$, $n\in N_{+}$.

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wiadomości do zapamiętania:

- Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.

- Ciąg jest monotoniczny, jeśli jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały.

- Ciąg (an) jest rosnący, jeżeli aIndeks dolny n+1_n+1 > aIndeks dolny n_n.

- Ciąg (an) jest malejący, jeżeli aIndeks dolny n+1_n+1 < aIndeks dolny n_n.

- Ciąg (an) jest stały, jeżeli aIndeks dolny n+1_n+1 = aIndeks dolny n_n.

- Ciąg (an) jest niemalejący, jeżeli $a_{n+1}\ge a_n$.

- Ciąg (an) jest nierosnący, jeżeli $a_{n+1}\le a_n$.