Temat

Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VI. Ciągi. Zakres podstawowy. Uczeń:

1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;

2) oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie;

3) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Cele szczegółowe

1. Obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym lub rekurencyjnym.

2. Określanie monotoniczności ciągu.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym lub rekurencyjnym,

- określa monotoniczność ciągu.

Metody kształcenia

1. Pytanie do eksperta.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie przypominają pojęcie funkcji, ze szczególną uwagą omawiają funkcję, w której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych. Przypominają również pojęcia związane z monotonicznością funkcji.

Dwóch uczniów przygotowuje przed lekcją informacje o ciągach. Przygotowują na ten temat prezentację multimedialną lub plakaty.

Realizacja lekcji

Eksperci (uczniowie) prezentują pozostałym uczniom przygotowane przez siebie informacje dotyczące ciągów, przedstawiają przykłady sytuacji z życia codziennego obrazujących pojęcie ciągu.

Uczniowie, dyskutując, wspólnie zapisują definicję ciągu.

Definicja
- Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.

- Jeżeli ciąg jest nieskończony, to jego dziedziną jest zbiór dodatnich liczb naturalnych. Dziedziną ciągu skończonego jest zbiór {1, 2 ,..., n}.

- Ciągi liczbowe, to takie, których wyrazy są liczbami. Ciąg oznaczamy zazwyczaj (aIndeks dolny n_n), (bIndeks dolny n_n), (cIndeks dolny n_n).

Polecenie
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest przesunięcie punktów na wykresie, w taki sposób, aby tworzyły one ciąg.

[Geogebra aplet]

Nauczyciel dzieli uczniów na grupy. Każda z nich otrzymuje zadanie do wykonania. Eksperci poruszają się między pracującymi grupami, wyjaśniają wątpliwości, udzielają wskazówek.

Polecenie
Grupa I:

- Oblicz drugi, piąty i dziesiąty wyraz ciągu określonego następująco:

a) $a_n=2n+4,n\in N_{+}$

b) $a_n=\frac{n+1}{n},n\in N_{+}$

c) $a_1=2$ i $a_{n+1}=a_n-\frac{1}{2}$, $n\in N_{+}$

- Zapytaj ekspertów, jak nazywają się rodzaje wzorów, które pojawiły się w zadaniu.

- W jaki jeszcze sposób można przedstawić ciąg?

Polecenie
Grupa II:

- Przyjrzyj się wykresom i podaj własność ciągu, który one przedstawiają.

[Ilustracja 1]

[Ilustracja 2]

[Ilustracja 3]

- Zapytaj eksperta jak nazywają się takie ciągi.

- Sformułuj definicje tych ciągów.

- Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n=\frac{n+1}{n},n\in N_{+}$.

Polecenie
Grupa III:

- Przyjrzyj się wykresom i podaj własność ciągu, który one przedstawiają.

[Ilustracja 4]

[Ilustracja 5]

[Ilustracja 6]

- Zapytaj eksperta jak nazywają się takie ciągi.

- Sformułuj definicje tych ciągów.

Polecenie
Grupa IV:

- Podaj odpowiedzi do przedstawionych zadań. Uzasadnij je, zapisz potrzebne obliczenia:

-- Ile wyrazów dodatnich znajduje się w ciągu przedstawionym wzorem: $a_n=n^2-5n+1,n\in N_{+}$?

-- Które wyrazy ciągu $a_n=\frac{3n^2-2n-12}{n},n\in N_{+}$, są liczbami naturalnymi?

-- Które z wyrazów ciągu $a_n=(n^2-1)(n^2-4)(n+5),n\in N_{+}$, są równe zeru?

- W przypadku trudności przy wykonaniu zadania, poproś ekspertów o potrzebne wskazówki.

Po zakończonym ćwiczeniu grupy prezentują wyniki swojej pracy i wnioski z niej wynikające. Nauczyciel ocenia pracę uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Wnioski:
- Ciąg nazywamy rosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność aIndeks dolny n+1_n+1 > aIndeks dolny n_n.

- Ciąg nazywamy malejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność aIndeks dolny n+1_n+1 < aIndeks dolny n_n.

- Ciąg nazywamy stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są sobie równe, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi równość aIndeks dolny n+1_n+1 = aIndeks dolny n_n.

- Ciąg nazywamy niemalejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność $a_{n+1}\ge a_n$.

- Ciąg nazywamy nierosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność $a_{n+1}\le a_n$.

- Jeżeli ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały, to mówimy, że ten ciąg jest monotoniczny. O innych ciągach mówimy, że nie są monotoniczne.

Polecenie dla chętnych
Zapisz wzór na n – ty wyraz ciągu (aIndeks dolny n_n), zdefiniowanego rekurencyjnie:

$a_1=3$ i $a_{n+1}=\sqrt{a_n}$, $n\in N_{+}$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wiadomości do zapamiętania:

- Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.

- Ciąg jest monotoniczny, jeśli jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały.

- Ciąg (aIndeks dolny n_n) jest rosnący, jeżeli aIndeks dolny n+1_n+1 > aIndeks dolny n_n.

- Ciąg (aIndeks dolny n_n) jest malejący, jeżeli aIndeks dolny n+1_n+1 < aIndeks dolny n_n.

- Ciąg (aIndeks dolny n_n) jest stały, jeżeli aIndeks dolny n+1_n+1 = aIndeks dolny n_n.

- Ciąg (aIndeks dolny n_n) jest niemalejący, jeżeli $a_{n+1}\ge a_n$.

-- Ciąg (aIndeks dolny n_n) jest nierosnący, jeżeli $a_{n+1}\le a_n$.