1) performs mathematical operations (addition, subtraction, multiplication, division, exponentiation, square root, logarithms) in a set of real numbers;
2) proves simple theorems regarding the divisibility of integers and remainders of division not more difficult than:
a) the proof of divisibility of products of four consecutive natural numbersnatural numbersnatural numbers by 24;
b) the proof of property: if the number divided by 5 gives the remainder of 3, then its third power when divided by 5 gives the remainder of 2.
Performing calculations on real numbers, also using a calculator, applying the rules of mathematical operations in transforming algebraic expressions and using these skills to solve problems in real and theoretical contexts.
Task Students work in groups. They recall the most important divisibility rules of numbers. Division: By 2 – The number is divisible by 2 if the digit of unity is 0, 2, 4, 6, 8. By 3 – The number is divisible by 3 if the sum of its digits is a number divisible by 3. By 4 – The number is divisible by 4 if it contains two last digits divisible by four or whose two last digits are zeros. By 5 – The number is divisible by 5 if the last digit of this number is 0 or 5. By 6 – The number is divisible by 6 if it is divisible simultaneously by 2 and by 3. By 9 – The number is divisible by 9 if the sum of its digits is divisible by 9. By 10 – The number is divisible by 10 if the last digit of this number is 0. By 25 – The number is divisible by 25 if its last two digits are divisible by 25 or the last two digits are zeros. By 100 – The number is divisible by 100 if its last two digits are zeros.
They wonder how, by not doing the division, one can check whether the number is divisible by 12, by 15 or by 18. They make the hypotheses and check them by solving problems.
Task The place of hundreds has been denoted as X in the number 57992X48. Enter a number in place of X, so that the number received is divisible by 12. Provide all the possible solutions.
Task Students work individually using computers. Their task is to observe the calculation of LCM and GCD of two numbers. Then do analogous calculation of LCM and GCD of numbers 324, 243, 289.
[Slideshow]
The teacher initiates a discussion about the relationship between the product of two numbers, their least common multiplethe Least Common Multiple (LCM)least common multiple and the greatest common divisorthe Greatest Common Divisor (GCD)greatest common divisor.
The conclusions are expressed in the following formula:
where: a and b - are positive natural numbersnatural numbersnatural numbers.
Task Students use the formula to find two natural numbersnatural numbersnatural numbers, whose product is 9666, and their greatest common divisorthe Greatest Common Divisor (GCD)greatest common divisor is equal to 27.
An extra task: a) The number 408 is divisible by 17. Evaluate which of the numbers: K, L, M, N is also divisible by 17: K = 408 + 17 · 24, L = 12 · 408 - 17 · 15, M = 3 · 408 + 289 · 7, N = 4080 + 17 · 135. b) Find the smallest natural number that is divisible by 2, 3 and 7, and whose remainder of dividing this number by 5 is 4.
- The relationship between the product of two numbers, their least common multiplethe Least Common Multiple (LCM)least common multiple of the greatest common divisorthe Greatest Common Divisor (GCD)greatest common divisor is expressed by the formula:
where: a and b - are positive natural numbersnatural numbersnatural numbers.
Selected words and expressions used in the lesson plan
- Rozkład liczb naturalnych na czynniki pierwsze można wykorzystać do obliczenia ich najmniejszej wspólnej wielokrotności i ich największego wspólnego dzielnika.
m2c688c363b40d794_1528449000663_0
Podzielność liczb naturalnych
m2c688c363b40d794_1528449084556_0
Trzeci
m2c688c363b40d794_1528449076687_0
I. Liczby rzeczywiste. Uczeń:
1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;
2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:
a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych;
b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.
m2c688c363b40d794_1528449068082_0
45 minut
m2c688c363b40d794_1528449523725_0
Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.
m2c688c363b40d794_1528449552113_0
1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
2. Rozwijanie sprawności rachunkowej w zakresie wykonywania działań na liczbach naturalnych.
3. Utrwalenie i usystematyzowanie wiadomości na temat podzielności w zbiorze liczb naturalnych.
m2c688c363b40d794_1528450430307_0
Uczeń:
- wykonuje działania w zbiorze liczb naturalnych,
- wykorzystuje teorię podzielności do rozwiązywania problemów arytmetycznych.
m2c688c363b40d794_1528449534267_0
1. Mapa myśli.
2. Analiza sytuacyjna.
m2c688c363b40d794_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca w małych grupach.
m2c688c363b40d794_1528450127855_0
Uczniowie pracując w grupach tworzą mapy myśli zawierające najważniejsze informacje na temat liczb naturalnych.
Po zakończonej pracy, grupy prezentują swoje plansze i umieszczają je na tablicy.
m2c688c363b40d794_1528446435040_0
Polecenie Uczniowie pracują w grupach. Przypominają sobie najważniejsze cechy podzielności liczb. Podział: Przez 2 – Liczba jest podzielna przez 2, jeśli cyfrą jedności jest 0, 2, 4, 6, 8. Przez 3 – Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3. Przez 4 – Liczba jest podzielna przez 4, jeśli liczba złożona z dwóch ostatnich cyfr tej liczby jest podzielna przez 4 lub dwie ostatnie cyfry są zerami. Przez 5 – Liczba jest podzielna przez 5, jeśli ostatnią cyfrą tej liczby jest 0 lub 5. Przez 6 – Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jest podzielna jednocześnie przez 2 i przez 3. Przez 9 – Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9. Przez 10 – Liczba jest podzielna przez 10, jeśli ostatnią cyfrą tej liczby jest 0. Przez 25 – Liczba jest podzielna przez 25, jeśli liczba złożona z dwóch ostatnich cyfr tej liczby jest podzielna przez 25 lub dwie ostatnie cyfry są zerami. Przez 100 – Liczba jest podzielna przez 100, jeśli jej dwie ostatnie cyfry są zerami.
Zastanawiają się przy tym, w jaki sposób, nie wykonując dzielenia, można sprawdzić, czy dana liczba jest podzielna przez 12, przez 15 lub przez 18.
Polecenie Przez X oznaczono w liczbie 57992X48 cyfrę setek. Wpisz w miejsce X taką cyfrę, aby otrzymana liczba była podzielna przez 12. Podaj wszystkie rozwiązania.
Polecenie Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów.
[Slideshow]
Ich zadaniem jest zaobserwowanie sposobu obliczania NWW i NWD dwóch liczb. I analogiczne obliczenie NWW i NWD liczb 324, 243, 289.
Nauczyciel inicjuje dyskusję na temat zależności między iloczynem dwóch liczb, ich najmniejszą wspólną wielokrotnością i największym wspólnym dzielnikiem.
Podsumowaniem rozważań powinno być zapisanie wzoru:
gdzie: a i b - są liczbami naturalnymi dodatnimi.
Polecenie Uczniowie wykorzystują poznany wzór do znalezienia dwóch liczb naturalnych, których iloczyn wynosi 9666, a ich największy wspólny dzielnik jest równy 27.
Polecenie dla chętnych: a) Liczba 408 jest podzielna przez 17. Oceń, która z liczb: K, L, M, N jest również podzielna przez 17: K = 408 + 17 · 24, L = 12 · 408 – 17 · 15, M = 3 · 408 + 289 · 7, N = 4080 + 17 · 135. b) Znajdź najmniejszą liczbę naturalną, która jest podzielna przez 2, 3 i 7, a reszta z dzielenia tej liczby przez 5 wynosi 4.
m2c688c363b40d794_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.
Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.
- Do sprawdzenia, czy dana liczba jest podzielna przez inną, służą metody zwane cechami podzielności.
- Rozkład liczb naturalnych na czynniki pierwsze można wykorzystać do obliczenia ich najmniejszej wspólnej wielokrotności i ich największego wspólnego dzielnika.
- Zależność między iloczynem dwóch liczb, ich najmniejszą wspólną wielokrotnością największym wspólnym dzielnikiem wyraża się wzorem: