Temat

Podzielność liczb naturalnych

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

I. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;

2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:

a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych;

b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Rozwijanie sprawności rachunkowej w zakresie wykonywania działań na liczbach naturalnych.

3. Utrwalenie i usystematyzowanie wiadomości na temat podzielności w zbiorze liczb naturalnych.

Efekty uczenia

Uczeń:

- wykonuje działania w zbiorze liczb naturalnych,

- wykorzystuje teorię podzielności do rozwiązywania problemów arytmetycznych.

Metody kształcenia

1. Mapa myśli.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie pracując w grupach tworzą mapy myśli zawierające najważniejsze informacje na temat liczb naturalnych.

Po zakończonej pracy, grupy prezentują swoje plansze i umieszczają je na tablicy.

Realizacja lekcji

Polecenie
Uczniowie pracują w grupach. Przypominają sobie najważniejsze cechy podzielności liczb.
Podział:
Przez 2 – Liczba jest podzielna przez 2, jeśli cyfrą jedności jest 0, 2, 4, 6, 8.
Przez 3 – Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3.
Przez 4 – Liczba jest podzielna przez 4, jeśli liczba złożona z dwóch ostatnich cyfr tej liczby jest podzielna przez 4 lub dwie ostatnie cyfry są zerami.
Przez 5 – Liczba jest podzielna przez 5, jeśli ostatnią cyfrą tej liczby jest 0 lub 5.  
Przez 6 – Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jest podzielna jednocześnie przez 2 i przez 3.
Przez 9 – Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Przez 10 – Liczba jest podzielna przez 10, jeśli ostatnią cyfrą tej liczby jest 0.  
Przez 25 – Liczba jest podzielna przez 25, jeśli liczba złożona z dwóch ostatnich cyfr tej liczby jest podzielna przez 25 lub dwie ostatnie cyfry są zerami.   
Przez 100 – Liczba jest podzielna przez 100, jeśli jej dwie ostatnie cyfry są zerami.

Zastanawiają się przy tym, w jaki sposób, nie wykonując dzielenia, można sprawdzić, czy dana liczba jest podzielna przez 12, przez 15 lub przez 18.

Postawione hipotezy, sprawdzają rozwiązując zadania.

Polecenie
Przez X oznaczono w liczbie 57992X48 cyfrę setek. Wpisz w miejsce X taką cyfrę, aby otrzymana liczba była podzielna przez 12. Podaj wszystkie rozwiązania.

Polecenie
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów.

[Slideshow]

Ich zadaniem jest zaobserwowanie sposobu obliczania NWW i NWD dwóch liczb. I analogiczne obliczenie NWW i NWD liczb 324, 243, 289.

Nauczyciel inicjuje dyskusję na temat zależności między iloczynem dwóch liczb, ich najmniejszą wspólną wielokrotnością i największym wspólnym dzielnikiem.

Podsumowaniem rozważań powinno być zapisanie wzoru:

gdzie:
a i b - są liczbami naturalnymi dodatnimi.

Polecenie 
Uczniowie wykorzystują poznany wzór do znalezienia dwóch liczb naturalnych, których iloczyn wynosi 9666, a ich największy wspólny dzielnik jest równy 27.

Polecenie dla chętnych:
a) Liczba 408 jest podzielna przez 17. Oceń, która z liczb: K, L, M, N jest również podzielna przez 17:
K = 408 + 17 · 24,
L = 12 · 408 – 17 · 15,
M = 3 · 408 + 289 · 7,
N = 4080 + 17 · 135.
b) Znajdź najmniejszą liczbę naturalną, która jest podzielna przez 2, 3 i 7, a reszta z dzielenia tej liczby przez 5 wynosi 4.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.

- Do sprawdzenia, czy dana liczba jest podzielna przez inną, służą metody zwane cechami podzielności.

- Rozkład liczb naturalnych na czynniki pierwsze można wykorzystać do obliczenia ich najmniejszej wspólnej wielokrotności i ich największego wspólnego dzielnika.

- Zależność między iloczynem dwóch liczb, ich najmniejszą wspólną wielokrotnością największym wspólnym dzielnikiem wyraża się wzorem:

gdzie:
a i b - są liczbami naturalnymi dodatnimi.