Using and interpreting the representation. Using mathematical objects and manipulating them, interpreting mathematical concepts. Noticing regularities, similarities and analogies as well as formulating relevant conclusions and justifying their correctness.
The teacher introduces the definition of similar trianglessimilar trianglessimilar triangles and continues the discussion – Can criterion AAA by a criterion for similarity of triangles?
The students work individually or in pairs, using their computers. They observe how the size of the triangles changes depending on the value of the scale factor of similar trianglessimilar trianglessimilar triangles.
Task Open Geogebra applet – The scale of similarityscale of similarityscale of similarity. Mind that the triangles in the applet have various corresponding angles. Change the value of k – scale factor of similarity.
Answer the questions: 1. For what values of k the triangles are congruent? 2. What is the meaning of k > 1 and k < 1?
[Geogebra applet]
The teacher formulates the criteria for similarity of triangles
Discussion Why is checking the equality of two angles enough to decide if triangles are similar? Why is checking the equality of one of acute angles enough to decide if right triangles are similar?
The students do the tasks individually. Then, they present their solutions and explain the doubts.
Task Triangle ABC was cut with a line parallel to base AB. Show that the cut off triangle and triangle ABC are similar.
Task In acute triangle ABC altitude AD was dropped from vertex A and altitude BE was dropped from vertex B. Show that triangles ACD and BCE are similar.
Task Two equilateral triangles are similar in scale k = 2. How many times is the perimeter of the larger triangle greater than the perimeter of the smaller triangle?
An extra task: Calculate the area of right triangle ABC if its altitude CD divides the hypotenuse into two segments with the length of |AD| = 2 cm and |DB| = 8 cm.
Hint: Notice that triangles ADC and CDB are similar.
Then they cooperate to summarize the class and formulate the conclusions to memorize.
- Two triangles are similar, if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.
Criteria of similarity:
- SSS criterionSSS criterionSSS criterion: If each side of one triangle is in proportion to the corresponding side of the other triangle, these triangles are similar.
- SAS criterionSAS criterionSAS criterion: If two sides of one triangle are in proportion to the corresponding two sides of the other triangle and the angles between these sides in both triangles are equal, these triangles are similar.
- AAA criterionAAA criterionAAA criterion: If three angles of one triangle equal the three angles of the other triangle, these triangles are similar.
Selected words and expressions used in the lesson plan
- Dwa trójkąty są podobne, jeśli ich odpowiadające sobie kąty mają jednakowe miary, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Współczynnik proporcjonalności boków trójkątów podobnych nazywamy skalą podobieństwa.
- Cecha bbb: Jeżeli każdy bok jednego trójkąta jest proporcjonalny do odpowiedniego boku drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.
- Cecha bkb: Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich dwóch boków drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami w obu trójkątach są równe, to trójkąty te są podobne.
- Cecha kkk: Jeżeli trzy kąty jednego trójkąta są równe trzem kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.
m2109203a2b1eec0a_1528449552113_0
1. Rozpoznawanie trójkątów podobnych.
2. Stosowanie cech podobieństw trójkątów do rozwiązywania zadań.
3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
m2109203a2b1eec0a_1528450430307_0
Uczeń:
- rozpoznaje trójkąty podobne,
- stosuje cechy podobieństw trójkątów do rozwiązywania zadań.
m2109203a2b1eec0a_1528449534267_0
1. Dyskusja.
m2109203a2b1eec0a_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca zbiorowa.
m2109203a2b1eec0a_1528450127855_0
Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą rozważać cechy podobieństw trójkątów. Uczniowie przypominają definicję trójkątów przystających oraz cechy przystawania: bbb, bkb, kbk.
Dyskusja Dlaczego cechą przystawania trójkątów nie może być równość ich odpowiadających sobie kątów (kkk)?
m2109203a2b1eec0a_1528446435040_0
Nauczyciel wprowadza definicję trójkątów podobnych, po czym kontynuuje dyskusję - Czy cecha kkk może być cechą podobieństwa trójkątów?
Definicja
- Dwa trójkąty są podobne, jeśli ich odpowiadające sobie kąty mają jednakowe miary, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Współczynnik proporcjonalności boków trójkątów podobnych nazywamy skalą podobieństwa.
Uczniowie pracują indywidualnie lub w parach, korzystając z komputerów. Obserwują, jak zmienia się wielkość trójkątów w zależności od wartości współczynnika skali podobieństwa.
Polecenie Otwórz Aplet geogebry - Skala podobieństwa. Zwróć uwagę, że trójkąty przedstawione w aplecie mają równe odpowiadające sobie kąty. Zmieniaj wartość współczynnika k - skali podobieństwa.
Odpowiedz na pytania: 1. Dla jakich wartości k trójkąty są przystające? 2. Co oznacza k > 1, a co k < 1?
[Geogebra aplet]
Nauczyciel formułuje cechy podobieństwa trójkątów.
Twierdzenie – cechy podobieństwa trójkątów:
- Cecha bbb: Jeżeli każdy bok jednego trójkąta jest proporcjonalny do odpowiedniego boku drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.
- Cecha bkb: Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich dwóch boków drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami w obu trójkątach są równe, to trójkąty te są podobne.
- Cecha kkk: Jeżeli trzy kąty jednego trójkąta są równe trzem kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.
Dyskusja Dlaczego do stwierdzenia podobieństwa trójkątów wystarczy sprawdzić równość dwóch kątów? Dlaczego do stwierdzenia podobieństwa trójkątów prostokątnych wystarczy sprawdzić równość jednego z kątów ostrych?
Uczniowie indywidualnie wykonują ćwiczenia, następnie prezentują rozwiązania i wyjaśniają wątpliwości.
Polecenie Trójkąt ABC przecięto prostą równoległą do podstawy AB. Pokaż, że odcięty trójkąt oraz trójkąt ABC są podobne.
Polecenie W trójkącie ostrokątnym ABC opuszczono wysokość AD z wierzchołka A oraz wysokość BE z wierzchołka B. Pokaż, że trójkąty ACD oraz BCE są podobne.
Poleenie Dwa trójkąty równoboczne są podobne w skali k = 2. Ile razy obwód większego trójkąta jest większy od obwodu mniejszego trójkąta?
Polecenie dla chętnych: Oblicz pole trójkąta prostokątnego ABC, jeśli wysokość CD dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki długości |AD| = 2 cm oraz |DB| = 8 cm.
Wskazówka: Zauważ, że trójkąty ADC i CDB są podobne.
[Iluctracja 1]
m2109203a2b1eec0a_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.
Uczniowie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując najważniejsze definicje i zależności do zapamiętania.
Dwa trójkąty są podobne, jeśli odpowiadające sobie kąty mają jednakowe miary, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne.
Cechy podobieństwa trójkątów:
- Cecha bbb: Jeżeli każdy bok jednego trójkąta jest proporcjonalny do odpowiedniego boku drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.
- Cecha bkb: Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich dwóch boków drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami w obu trójkątach są równe, to trójkąty te są podobne.
- Cecha kkk: Jeżeli trzy kąty jednego trójkąta są równe trzem kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.