Temat

Cechy podobieństwa trójkątów

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.

Cele szczegółowe

1. Rozpoznawanie trójkątów podobnych.

2. Stosowanie cech podobieństw trójkątów do rozwiązywania zadań.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- rozpoznaje trójkąty podobne,

- stosuje cechy podobieństw trójkątów do rozwiązywania zadań.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą rozważać cechy podobieństw trójkątów.
Uczniowie przypominają definicję trójkątów przystających oraz cechy przystawania: bbb, bkb, kbk.

Dyskusja
Dlaczego cechą przystawania trójkątów nie może być równość ich odpowiadających sobie kątów (kkk)?

Realizacja lekcji

Nauczyciel wprowadza definicję trójkątów podobnych, po czym kontynuuje dyskusję. 
- Czy cecha kkk może być cechą podobieństwa trójkątów?

Definicja

- Dwa trójkąty są podobne, jeśli ich odpowiadające sobie kąty mają jednakowe miary, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Współczynnik proporcjonalności boków trójkątów podobnych nazywamy skalą podobieństwa.

Uczniowie pracują indywidualnie lub w parach, korzystając z komputerów.
Obserwują, jak zmienia się wielkość trójkątów w zależności od wartości współczynnika skali podobieństwa.

Polecenie
Otwórz Aplet geogebry - Skala podobieństwa. Zwróć uwagę, że trójkąty przedstawione w aplecie mają równe odpowiadające sobie kąty. Zmieniaj wartość współczynnika k - skali podobieństwa.

Odpowiedz na pytania:
1. Dla jakich wartości k trójkąty są przystające?
2. Co oznacza k > 1, a co k < 1?

[Geogebra aplet]

Nauczyciel formułuje cechy podobieństwa trójkątów.

Twierdzenie – cechy podobieństwa trójkątów:

- Cecha bbb:
Jeżeli każdy bok jednego trójkąta jest proporcjonalny do odpowiedniego boku drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

- Cecha bkb:
Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich dwóch boków drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami w obu trójkątach są równe, to trójkąty te są podobne.

- Cecha kkk:
Jeżeli trzy kąty jednego trójkąta są równe trzem kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

Dyskusja
Dlaczego do stwierdzenia podobieństwa trójkątów wystarczy sprawdzić równość dwóch kątów?
Dlaczego do stwierdzenia podobieństwa trójkątów prostokątnych wystarczy sprawdzić równość jednego z kątów ostrych?

Uczniowie indywidualnie wykonują ćwiczenia, następnie prezentują rozwiązania i wyjaśniają wątpliwości.

Polecenie
Trójkąt ABC przecięto prostą równoległą do podstawy AB. Pokaż, że odcięty trójkąt oraz trójkąt ABC są podobne.

Polecenie
W trójkącie ostrokątnym ABC opuszczono wysokość AD z wierzchołka A oraz wysokość BE z wierzchołka B. Pokaż, że trójkąty ACD oraz BCE są podobne.

Polecenie
Dwa trójkąty równoboczne są podobne w skali k = 2. Ile razy obwód większego trójkąta jest większy od obwodu mniejszego trójkąta?

Polecenie dla chętnych:
Oblicz pole trójkąta prostokątnego ABC, jeśli wysokość CD dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki długości |AD| = 2 cm oraz |DB| = 8 cm.

Wskazówka: 
Zauważ, że trójkąty ADC i CDB są podobne.

[Iluctracja 1]

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Uczniowie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując najważniejsze definicje i zależności do zapamiętania.

- Dwa trójkąty są podobne, jeśli odpowiadające sobie kąty mają jednakowe miary, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne.

Cechy podobieństwa trójkątów:

- Cecha bbb:  
Jeżeli każdy bok jednego trójkąta jest proporcjonalny do odpowiedniego boku drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

- Cecha bkb:  
Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich dwóch boków drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami w obu trójkątach są równe, to trójkąty te są podobne.

- Cecha kkk:  
Jeżeli trzy kąty jednego trójkąta są równe trzem kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.