The teacher informs students that in the lesson they will learn the relations between the perimeters and areas of similar figuressimilar figuressimilar figures and they will use them to solve geometric problems.
Discussion Students work in groups and collect arguments to show that in k‑like triangles:
- the height of one triangle is proportional to the corresponding heights of the second triangle in the ratio k (group 1), - the medians of one triangle are proportional to the corresponding medians of the second triangle on the same ratio k (group 2), - sections of bisectors of one triangle are proportional to the bisector sections of the second triangle in the same ratio k (group 3).
The conclusion of the discussion may be the following:
Task The triangle ABC with sides a, b, c is given and the triangle A'B'C' is similar to it on the ratio k. Designate:
1. The ratio of the perimeterperimeterperimeter of triangle A'B'C' to the perimeterperimeterperimeter of the triangle ABC. 2. The ratio of the areaareaarea of triangle A'B'C' to the areaareaarea of triangle ABC.
Students work in pairs, proving:
1. The relation between the perimeters of two similar triangles. 2. The relation between the areas of similar triangles.
Selected pairs present the results that are discussed.
Discussion Can the proved relations for perimeters and areas of similar triangles be applicable to any similar figure? How?
Students work in pairs, using computers, analyze the relations between the areas of similar figuressimilar figuressimilar figures.
Task Open the Geogebry applet: „The scale of similarity and the areas of figures”. Analyze the relations between squares, similar triangles, similar polygons, and circles. Formulate the conclusion in the form of a theorem.
Students individually perform the task, then present solutions and explain doubts.
Task In the triangle ABC, a straight line parallel to the base has been led so that the areaareaarea of the cut triangle is 8 times larger than the rest of the triangle ABC. The perimeters of ABC triangle is 27. Calculate the perimeterperimeterperimeter of the cut triangle.
Task In the ABCD trapezium, the AC and BD diagonals intersect at the point S. The areaareaarea of ASB triangleis 9, and the area of CSD triangle is equal to 4. Calculate the areaareaarea of the trapezium.
Task In rhombusrhombusrhombus ABCD diagonals have lengths of 12 cm and 6 cm, respectively. The area of ABCD rhombusrhombusrhombus similar to A'B'C'D' is equal to 72 cmIndeks górny 22. Find diagonal lengths in A'B'C'D' rhombus.
An extra task: The diagonals of the trapezium divide it into four triangles. Prove that the areaareaarea of the trapezium is equal where and are the triangles containing the trapezium bases.
Then together summarize the class, by formulating the conclusions to memorize.
- If figure F' is similar to figure F on the ratio k, then the ratio of the perimeterperimeterperimeter of figure F' to the perimeterperimeterperimeter of figure F is k, and the ratio of their areas is equal to kIndeks górny 22.
Selected words and expressions used in the lesson plan
- Szczególne odcinki jednego trójkąta (wysokości, środkowe, odcinki dwusiecznych itp.) są proporcjonalne do odpowiednich odcinków drugiego trójkąta w tej samej skali k.
9) wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych.
mb4608f669774696d_1528449068082_0
45 minut
mb4608f669774696d_1528449523725_0
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
mb4608f669774696d_1528449552113_0
1. Stosowanie zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych do rozwiązywania zadań.
2. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
mb4608f669774696d_1528450430307_0
Uczeń:
- stosuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych do rozwiązywania zadań,
- przeprowadza dowody geometryczne z zastosowaniemzależności między obwodami oraz między polami figur podobnych.
mb4608f669774696d_1528449534267_0
1. Dyskusja.
2. Analiza sytuacyjna.
mb4608f669774696d_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca grupowa.
mb4608f669774696d_1528450127855_0
Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji poznają zależności między obwodami i polami figur podobnych i będą je stosować do rozwiązywania zadań geometrycznych.
Dyskusja Uczniowie pracują w grupach i zbierają argumenty, by pokazać, że w trójkątach podobnych w skali k:
- wysokości jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich wysokości drugiego trójkąta w tej samej skali k (grupa 1), - środkowe jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich środkowych drugiego trójkąta w tej samej skali k (grupa 2), - odcinki dwusiecznych jednego trójkąta są proporcjonalne do odcinków dwusiecznych drugiego trójkąta w tej samej skali k (grupa 3).
Podsumowaniem dyskusji może być wniosek:
- Szczególne odcinki jednego trójkąta (wysokości, środkowe, odcinki dwusiecznych itp.) są proporcjonalne do odpowiednich odcinków drugiego trójkąta w tej samej skali k.
mb4608f669774696d_1528446435040_0
Polecenie Dany jest trójkąt ABC o bokach a, b, c oraz trójkąt A’B’C’ do niego podobny w skali k.
Wyznacz:
1. Stosunek obwodu trójkąt A’B’C’ do obwodu trójkąta ABC. 2. Stosunek pola trójkąta A’B’C’ do pola trójkąta ABC.
Uczniowie pracują w parach, wyprowadzając:
1. Zależność między obwodami dwóch trójkątów podobnych. 2. Zależność między polami trójkątów podobnych.
Wybrane pary prezentują wyniki, które są omawiane.
Dyskusja Czy wyprowadzone zależności dla obwodów i pól trójkątów podobnych można uogólnić na dowolne figury podobne? W jaki sposób?
Uczniowie pracują w parach, korzystając z komputerów, analizują zależności między polami figur podobnych.
Polecenie Otwórz Aplet geogebry: „Skala podobieństwa a pola figur”.
Przeanalizuj zależności między polami kwadratów, trójkątów podobnych, wielokątów podobnych i kół.
[Geogebra aplet]
Sformułuj wniosek w formie twierdzenia.
Twierdzenie – Obwody i pola figur podobnych.
- Jeśli figura F’ jest podobna do figury F w skali k, to stosunek ich obwodów jest równy k, a stosunek pól jest równy kIndeks górny 22.
Uczniowie indywidualnie wykonują ćwiczenie, następnie prezentują rozwiązania i wyjaśniają wątpliwości.
Polecenie W trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do podstawy tak, że pole odciętego trójkąta jest 8 razy większe od pozostałej części trójkąt ABC. Obwód trójkąta ABC wynosi 27. Oblicz obwód odciętego trójkąta.
Polecenie W trapezie ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie S. Pole trójkąta ASB wynosi 9, a pole trójkąta CSD jest równe 4. Oblicz pole trapezu.
Polecenie W rombie ABCD przekątne mają długości odpowiednio 12 cm i 6 cm. Pole rombu A’B’C’D’ podobnego do rombu ABCD jest równe 72 cmIndeks górny 22. Wyznacz długości przekątnych w rombie A’B’C’D’.
Zadanie dla chętnych: Przekątne trapezu dzielą go na cztery trójkąty. Udowodnij, że pole trapezu jest równe gdzie i to pola trójkątów zawierających podstawy trapezu.
mb4608f669774696d_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.
Uczniowie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując najważniejsze ustalenia do zapamiętania.
- Jeśli figura F’ jest podobna do figury F w skali k, to stosunek obwodu figury F’ do obwodu figury F równy k, a stosunek ich pól jest równy kIndeks górny 22.