Temat

Własności podobieństwa

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

9) wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.

Cele szczegółowe

1. Stosowanie zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych do rozwiązywania zadań.

2. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- stosuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych do rozwiązywania zadań,

- przeprowadza dowody geometryczne z zastosowaniemzależności między obwodami oraz między polami figur podobnych.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji poznają zależności między obwodami i polami figur podobnych i będą je stosować do rozwiązywania zadań geometrycznych.

Dyskusja
Uczniowie pracują w grupach i zbierają argumenty, by pokazać, że w trójkątach podobnych w skali k:

- wysokości jednego trójkąta są proporcjonalne do  odpowiednich wysokości drugiego trójkąta w tej samej skali k (grupa 1),
- środkowe jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich  środkowych drugiego trójkąta w tej samej skali k (grupa 2),
- odcinki dwusiecznych jednego trójkąta są proporcjonalne do odcinków dwusiecznych drugiego trójkąta w tej samej skali k (grupa 3).

Podsumowaniem dyskusji może być wniosek:

- Szczególne odcinki jednego trójkąta (wysokości, środkowe, odcinki dwusiecznych itp.) są proporcjonalne do odpowiednich odcinków drugiego trójkąta w tej samej skali k.

Realizacja lekcji

Polecenie
Dany jest trójkąt ABC o bokach a, b, c oraz trójkąt A’B’C’ do niego podobny w skali k.

Wyznacz:

1. Stosunek obwodu trójkąt A’B’C’ do obwodu trójkąta ABC.
2. Stosunek pola trójkąta A’B’C’ do pola trójkąta ABC.

Uczniowie pracują w parach, wyprowadzając:

1. Zależność między obwodami dwóch trójkątów podobnych.
2. Zależność między polami trójkątów podobnych.

Wybrane pary prezentują wyniki, które są omawiane.

Dyskusja
Czy wyprowadzone zależności dla obwodów i pól trójkątów podobnych można uogólnić na dowolne figury podobne? W jaki sposób?

Uczniowie pracują w parach, korzystając z komputerów, analizują zależności między polami figur podobnych.

Polecenie
Otwórz Aplet geogebry: „Skala podobieństwa a pola figur”. Przeanalizuj zależności między polami kwadratów, trójkątów podobnych, wielokątów podobnych i kół.

[Geogebra aplet]

Sformułuj wniosek w formie twierdzenia.

Twierdzenie – Obwody i pola figur podobnych.

- Jeśli figura F’ jest podobna do figury F w skali k, to stosunek ich obwodów jest równy k, a stosunek pól jest równy kIndeks górny 2².

Uczniowie indywidualnie wykonują ćwiczenie, następnie prezentują rozwiązania i wyjaśniają wątpliwości.

Polecenie
W trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do podstawy tak, że pole odciętego trójkąta jest 8 razy większe od pozostałej części trójkąt ABC. Obwód trójkąta ABC wynosi 27. Oblicz obwód odciętego trójkąta.

Polecenie
W trapezie ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie S. Pole trójkąta ASB wynosi 9, a pole trójkąta CSD jest równe 4. Oblicz pole trapezu.

Polecenie
W rombie ABCD przekątne mają długości odpowiednio 12 cm  i 6 cm. Pole rombu A’B’C’D’ podobnego do rombu ABCD jest równe 72 cmIndeks górny 2². Wyznacz długości przekątnych w rombie A’B’C’D’.

Polecenie dla chętnych:
Przekątne trapezu dzielą go na cztery trójkąty. Udowodnij, że pole trapezu jest równe ${(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})}^2$ gdzie $S_1$ i $S_2$ to pola trójkątów zawierających podstawy trapezu.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Uczniowie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując najważniejsze ustalenia do zapamiętania.

- Jeśli figura F’ jest podobna do figury F w skali k, to stosunek obwodu figury F’ do obwodu figury F równy k, a stosunek ich pól jest równy kIndeks górny 2².