The teacher divides the class into two groups. The task of each of the groups is to prepare an associogram.
The operations on algebraic expressions is the topic for Group 1. Group 2gathers information about exponentiation. The groups place their observations on posters specially prepared by the teacher. After finishing their work, the teams exchange their posters and add their suggestions. The groups present their posters and cooperate to choose the best expressions connected with the given concepts.
Having finished, the groups present their results. The teacher verifies the students’ answers and explains the doubts. They cooperate to formulate the conclusion.
Conclusion:
- For any expressions a, b the formulas are true:
- the formula for the cube of the sum of a and b,
- the formula for the cube of the difference of a and b.
The teacher informs the students that the relationships that they have got are the short multiplication formulas of the third degreeshort multiplication formulas of the third degreeshort multiplication formulas of the third degree.
Task The students work individually analyzing the material presented in the applet. It is a geometric illustration of the formula for the cube of the sum . Having analysed the applet they formulate the conclusion.
[Geogebra applet]
Conclusion:
- You can illustrate graphically the cube of the sum of two expressionscube of the sum of two expressionscube of the sum of two expressions as the volume of a cube with the edge length a + b, where a > 0 and b > 0.
Task Discussion – are the worked out relationships the only short multiplication formulas of the third degree? The students formulate hypotheses, verify them by analysing the material presented in the interactive illustration. They formulate an appropriate conclusion.
[Interactive illustration]
Conclusion:
- There are two more short multiplication formulas of the third degreeshort multiplication formulas of the third degreeshort multiplication formulas of the third degree. These are the formulas for the sum and the difference of cubes.
- formula for the sum of cubes of a and b,
- formula for the difference of cubes of a and b.
The students use the formulas to solve the tasks individually.
Rozłóż wyrażenia na czynniki co najwyżej drugiego stopnia.
md97662399b58c2ab_1527752256679_0
R8Oiu7opMb0tI1
Zapisz za pomocą sum algebraicznych wyrażenia.
md97662399b58c2ab_1528449000663_0
Wzory skróconego mnożenia stopnia trzeciego
md97662399b58c2ab_1528449084556_0
Trzeci
md97662399b58c2ab_1528449076687_0
II. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:
1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: .
md97662399b58c2ab_1528449068082_0
45 minut
md97662399b58c2ab_1528449523725_0
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
md97662399b58c2ab_1528449552113_0
1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
2. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych.
3. Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia stopnia trzeciego.
md97662399b58c2ab_1528450430307_0
Uczeń:
- przekształca wyrażenia algebraiczne,
- wykorzystuje wzory skróconego mnożenia stopnia trzeciego.
md97662399b58c2ab_1528449534267_0
1. Asocjogram.
2. Analiza sytuacyjna.
md97662399b58c2ab_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca w małych grupach.
md97662399b58c2ab_1528450127855_0
Nauczyciel dzieli klasę na dwie grupy. Każda z grup ma za zadanie przygotować asocjogram.
Tematem grupy pierwszej są działania na wyrażeniach algebraicznych, a grupa druga zbiera informacje na temat potęgowania. Swoje spostrzeżenia i uwagi umieszczają na specjalnych, przygotowanych przez nauczyciela plakatach. Po wykonanej pracy zespoły wymieniają się arkuszami i dopisują swoje propozycje. Grupy prezentują swoje prace i wspólnie wybierają najwłaściwsze określenia związane z podanymi zagadnieniami.
md97662399b58c2ab_1528446435040_0
Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie i stosowanie w obliczeniach wzorów skróconego mnożenia stopnia trzeciego.
Nauczyciel dzieli uczniów na dwie grupy. Każda z grup ma za zadanie wyprowadzenie wzoru na:
- Grupa pierwsza – sześcian sumy dwóch wyrażeń,
- Grupa druga - sześcian różnicy dwóch wyrażeń.
Po zakończonej pracy uczniowie prezentują uzyskane wyniki. Nauczyciel weryfikuje wypowiedzi uczniów, wyjaśnia wątpliwości. Wspólnie formułują treść wniosku.
Wniosek:
- Dla dowolnych wyrażeń a, b prawdziwe są wzory:
- wzór na sześcian sumy a i b,
- wzór na sześcian różnicy a i b.
Nauczyciel informuje uczniów, że otrzymane przez nich zależności nazywane są wzorami skróconego mnożenia stopnia trzeciego.
Polecenie Uczniowie pracując samodzielnie, analizują materiał przedstawiony w aplecie. Jest to ilustracja geometryczna wzoru na sześcian sumy. Po analizie apletu formułują wniosek.
[Geogebra aplet]
Wniosek:
- Graficznie można zilustrować sześcian sumy dwóch wyrażeń, jako objętość sześcianu o krawędzi długości a + b, gdzie a > 0 oraz b < 0.
Polecenie Dyskusja – czy wyprowadzone zależności są jedynymi wzorami skróconego mnożenia stopnia trzeciego? Uczniowie stawiają hipotezy, weryfikują je analizując materiał przedstawiony na ilustracji interaktywnej. Formułują odpowiedni wniosek.
[Ilustracja interaktywna]
Wniosek:
- Istnieją jeszcze dwa wzory skróconego mnożenia stopnia trzeciego. Są to wzory na sumę i różnicę sześcianów.
- wzór na sumę sześcianów a i b,
- wzór na różnicę sześcianów a i b.
Uczniowie, pracując samodzielnie, wykorzystują poznane wzory w rozwiązywaniu zadań.
Polecenie Zapisz za pomocą sum algebraicznych wyrażenia.
a)
b)
c)
Polecenie Wykonaj wskazane działania.
a)
b)
c)
Polecenie Wykonaj działania i przeprowadź redukcję wyrazów podobnych.
a)
b)
Polecenie Rozłóż wyrażenia na czynniki co najwyżej drugiego stopnia.
a)
b)
c)
Po rozwiązaniu wszystkich zadań uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki. Samodzielnie oceniają swoją pracę. Nauczyciel wyjaśnia wątpliwości.
Polecenie dla chętnych: Wykaż, nie korzystając z kalkulatora, że liczba:
a) jest podzielna przez 17,
b) jest podzielna przez 11.
md97662399b58c2ab_1528450119332_0
Uczniowie rozwiązują ćwiczenia utrwalające.
Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.
- Dla dowolnych wyrażeń a, b prawdziwe są wzory:
- wzór na sześcian sumy a i b,
- wzór na sześcian różnicy a i b.
- wzór na sumę sześcianów a i b,
- wzór na różnicę sześcianów a i b.
short multiplication formulas of the third degree1