1) identifies mutual position of lines in space, especially perpendicular linesperpendicular linesperpendicular lines that do not cross,
2) applies the concept of an angle between the line and the planeplaneplane as well as the dihedral angledihedral angledihedral angle between half‑planes.
1. Identifying mutual position of lines in space, especially perpendicular linesperpendicular linesperpendicular lines that do not cross.
2. Applying the concept of an angle between the line and the planeplaneplane as well as the dihedral angledihedral angledihedral angle between half‑planes.
3. Communicating in English, developing basic mathematical, computer and scientific competences, developing learning skills.
- identifies mutual position of lines in space, especially perpendicular linesperpendicular linesperpendicular lines that do not cross,
- applies the concept of an angle between the line and the planeplaneplane as well as the dihedral angledihedral angledihedral angle between half‑planes.
- If the line l breaks the planeplaneplane p and is not perpendicular to it, the line k is an orthographic projection of the line l on the planeplaneplane p, the line m is located on the planeplaneplane p and crosses the line l, then the line m is perpendicular to the line l only and only if it is perpendicular to the line k (theorem about three perpendicular linesperpendicular linesperpendicular lines).
IV EXPERT GROUP The dihedral angledihedral angledihedral angle between half‑planes:
- the dihedral angledihedral angledihedral angle is the sum of two half‑planes with common edge and one of two areas that this half‑planes cut from the space,
- the linear anglelinear anglelinear angle of the dihedral angledihedral angledihedral angle is the common part of the dihedral angledihedral angledihedral angle and the planeplaneplane perpendicular to its edge.
Students work individually, using computers. Their task is to observe the angle that a line creates with a planeplaneplane. They compare animations with information presented by experts.
[Geogebra applet]
The teacher divides students into four groups that approach information stations. Each task group does exercises prepared by the teacher. Experts help students, clarify doubts. The teacher supervises groups’ work. After doing exercises from one part, students go on to the next station.
I GROUP - task There are lines a, b and c. How can lines a and b be located in relation to each other if lines a, b and c are not located on the same planeplaneplane and the line b has one common points with the line a and one common point with the line c. Make a proper drawing.
II GROUP - task There are three noncollinear points A, B, C on the planeplaneplane p. The distance from the point A and the line BC and the distance between points A and B are the same and are equal to 4 cm. The length of the distance AC is equal to 5 cm. The line segment AS is perpendicular to the planeplaneplane p and its distance is 12 cm. Calculate the area of the triangle BCS. Make a proper drawing.
III GROUP - task Draw a cube ABCDEFGH and then park angles in it:
α – the angle between the line BG and the planeplaneplane ABCD,
β – angle between the line AG and the planeplaneplane EFGH,
γ – the angle between the line AD and the planeplaneplane DBFH,
IV GROUP - task Calculate the dihedral angledihedral angledihedral angle knowing that the distance between the point P located on the wall of this angle and its edge is equal to 15 cm. The distance from the point P and the other wall of this angle is equal to 7,5 cm. Make a proper drawing.
The teacher evaluates students’ work and clarifies doubts.
An extra task There is a square KLMN. Prove that triangles KLS and LMS are right‑angled if we know that the line segments NS is perpendicular to the planeplaneplane KLMN.
- If the line l breaks the planeplaneplane p and is not perpendicular to it, the line k is an orthographic projection of the line l on the planeplaneplane p, the line m is located on the planeplaneplane p and crosses the line l, then the line m is perpendicular to the line l only and only if it is perpendicular to the line k (theorem about three perpendicular linesperpendicular linesperpendicular lines).
- The dihedral angledihedral angledihedral angle is the sum of two half‑planes with common edge and one of two areas that this half‑planes cut from the space.
- The linear anglelinear anglelinear angle of the dihedral angledihedral angledihedral angle is the common part of the dihedral angle and the planeplaneplane perpendicular to its edge.
Selected words and expressions used in the lesson plan
1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
2) posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami.
mbc4398f7492608a5_1528449068082_0
45 minut
mbc4398f7492608a5_1528449523725_0
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
mbc4398f7492608a5_1528449552113_0
1. Rozpoznawanie wzajemnego położenia prostych w przestrzeni, w szczególności prostych prostopadłych nieprzecinające się.
2. Posługiwanie się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami.
3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
mbc4398f7492608a5_1528450430307_0
Uczeń:
- rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się,
- posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami.
mbc4398f7492608a5_1528449534267_0
1. Stacje eksperckie.
2. Analiza sytuacyjna.
mbc4398f7492608a5_1528449514617_0
1. Praca w parach.
2. Praca grupowa.
mbc4398f7492608a5_1528450127855_0
Ośmiu uczniów tworzy cztery grupy eksperckie i przygotowuje przed lekcją informacje na jeden temat, wybrany z poniższych.
I. Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny.
II. Wzajemne położenie prostych w przestrzeni.
III. Kąty między prostą a płaszczyzną.
IV. Kąt dwuścienny między półpłaszczyznami.
mbc4398f7492608a5_1528446435040_0
Uczniowie – eksperci kolejno prezentują przygotowane przez siebie informacje. Po prezentacji odpowiadają na pytania pozostałych uczniów i wyjaśniają wątpliwości.
Informacje , które powinny znaleźć się w prezentacjach grup eksperckich.
I GRUPA EKSPERTÓW Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny:
- prosta leży na płaszczyźnie (każdy punkt prostej jest również punktem płaszczyzny),
- prosta przebija płaszczyznę (prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny z płaszczyzną),
- prosta jest równoległa do płaszczyzny i nie ma z nią punktów wspólnych.
II GRUPA EKSPERTÓW Wzajemne położenie dwóch prostych w przestrzeni:
- proste pokrywają się (są równoległe),
- proste leżą w jednej płaszczyźnie i przecinają się w jednym punkcie,
- proste leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych (są równoległe),
- proste nie leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych (są skośne).
III GRUPA EKSPERTÓW Kąty między prostą a płaszczyzną:
- prosta k i płaszczyzna p są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy prosta k jest prostopadła do każdej prostej leżącej na płaszczyźnie p,
- kątem nachylenia prostej k do płaszczyzny p nazywamy kąt ostry między tą prostą i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę p,
- jeśli prosta l przebija płaszczyznę p i nie jest do niej prostopadła, prosta k jest rzutem prostokątnym prostej l na płaszczyznę p, prosta m leży na płaszczyźnie p i przecina prostą l, to prosta m jest prostopadła do prostej l wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej k (twierdzenie o trzech prostych prostopadłych).
IV GRUPA EKSPERTÓW Kąt dwuścienny między półpłaszczyznami:
- kątem dwuściennym nazywamy sumę dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednego z dwóch obszarów, które te półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni,
- kątem liniowym kąta dwuściennego nazywamy część wspólną kąta dwuściennego i płaszczyzny prostopadłej do jego krawędzi.
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest obserwowanie kąta, jaki tworzy prosta z płaszczyzną. Porównują animacje z informacjami przedstawionymi przez ekspertów.
[Geogebra applet]
Nauczyciel dzieli uczniów na cztery grupy, które podchodzą do stacji informacyjnych. Każda z grup zadaniowych, rozwiązuje przygotowane przez nauczyciela zadania. Eksperci wspierają uczniów, wyjaśniają wątpliwości. Nauczyciel nadzoruje pracę grup.
Po wykonaniu zadań z danego zakresu, grupy zadaniowe przechodzą do kolejnej stacji.
I GRUPA - zadanie Dane są proste a, b, i c. Jak mogą być położone względem siebie proste a i b, jeśli proste a, b, c nie leżą w jednej płaszczyźnie, a prosta b ma jeden punkt wspólny z prostą a i jeden punkt wspólny z prostą c? Wykonajcie odpowiedni rysunek.
II GRUPA – zadanie Na płaszczyźnie p zaznaczono trzy niewspółliniowe punkty A, B, C. Odległość punktu A od prostej BC i odległość punktów A i B są równe i wynoszą 4 cm. Długość odcinka AC jest równa 5 cm. Odcinek AS jest prostopadły do płaszczyzny p, a jego długość wynosi 12 cm. Obliczcie pole trójkąta BCS.
Wykonajcie odpowiedni rysunek.
III GRUPA – zadanie Narysujcie sześcian ABCDEFGH, a następnie zaznaczcie w nim kąty:
α – kąt nachylenia prostej BG do płaszczyzny ABCD,
β – kąt nachylenia prostej AG do płaszczyzny EFGH,
γ – kąt nachylenia prostej do AD płaszczyzny DBFH.
IV GRUPA – zadanie Obliczcie miarę kąta dwuściennego, wiedząc, że odległość punktu P leżącego na ścianie tego kąta od jego krawędzi wynosi 15 cm. Zaś odległość punktu P od drugiej ściany tego kąta wynosi 7,5 cm. Wykonajcie odpowiedni rysunek.
Nauczyciel podsumowuje i ocenia pracę grup, wyjaśnia wątpliwości.
Polecenie dla chętnych Dany jest kwadrat KLMN. Uzasadnij, że trójkąty KLS i LMS są prostokątne, jeśli wiadomo, że odcinek NS jest prostopadły do płaszczyzny KLMN.
mbc4398f7492608a5_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.
Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując informacje do zapamiętania.
- Prosta może leżeć na płaszczyźnie, przebijać ją lub nie mieć z nią punktów wspólnych.
- Dwie proste w przestrzeni mogą się pokrywać, leżeć w jednej płaszczyźnie lub nie leżeć w jednej płaszczyźnie i nie mieć punktów wspólnych (są skośne).
- Prosta k i płaszczyzna p są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy prosta k jest prostopadła do każdej prostej leżącej na płaszczyźnie p.
- Kątem nachylenia prostej k do płaszczyzny p nazywamy kąt ostry między tą prostą i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę p.
- Jeśli prosta l przebija płaszczyznę p i nie jest do niej prostopadła, prosta k jest rzutem prostokątnym prostej l na płaszczyznę p, prosta m leży na płaszczyźnie p i przecina prostą l, to prosta m jest prostopadła do prostej l wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej k (twierdzenie o trzech prostych prostopadłych).
- Kątem dwuściennym nazywamy sumę dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednego z dwóch obszarów, które te półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni.
- Kątem liniowym kąta dwuściennego nazywamy część wspólną kąta dwuściennego i płaszczyzny prostopadłej do jego krawędzi.