Temat

Punkty, proste i płaszczyzny w przestrzeni

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

X. Stereometria. Zakres podstawowy. Uczeń:

1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;

2) posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Rozpoznawanie wzajemnego położenia prostych w przestrzeni, w szczególności prostych prostopadłych nieprzecinające się.

2. Posługiwanie  się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się,

- posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami.

Metody kształcenia

1. Stacje eksperckie.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca w parach.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Ośmiu uczniów tworzy cztery grupy eksperckie i przygotowuje przed lekcją informacje na jeden temat, wybrany z poniższych.

I. Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny.

II. Wzajemne położenie prostych w przestrzeni.

III. Kąty między prostą a płaszczyzną.

IV. Kąt dwuścienny między półpłaszczyznami.

Realizacja lekcji

Uczniowie – eksperci kolejno prezentują przygotowane przez siebie informacje. Po prezentacji odpowiadają na pytania pozostałych uczniów i wyjaśniają wątpliwości.

Informacje , które powinny znaleźć się w prezentacjach grup eksperckich.

I GRUPA EKSPERTÓW
Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny:

- prosta leży na płaszczyźnie (każdy punkt prostej jest również punktem płaszczyzny),

- prosta przebija płaszczyznę (prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny z płaszczyzną),

- prosta jest równoległa do płaszczyzny i nie ma z nią punktów wspólnych.

II GRUPA EKSPERTÓW
Wzajemne położenie dwóch prostych w przestrzeni:

- proste pokrywają się (są równoległe),

- proste leżą w jednej płaszczyźnie i przecinają się w jednym punkcie,

- proste leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych (są równoległe),

- proste nie leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych (są skośne).

III GRUPA EKSPERTÓW
Kąty między prostą a płaszczyzną:

- prosta k i płaszczyzna p są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy prosta k jest prostopadła do każdej prostej leżącej na płaszczyźnie p ,

- kątem nachylenia prostej k do płaszczyzny p nazywamy kąt ostry między tą prostą i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę p ,

- jeśli prosta l przebija płaszczyznę p i nie jest do niej prostopadła, prosta k jest rzutem prostokątnym prostej l na płaszczyznę p, prosta m leży na płaszczyźnie p i przecina prostą l, to prosta m jest prostopadła do prostej l wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej k (twierdzenie o trzech prostych prostopadłych).

IV GRUPA EKSPERTÓW
Kąt dwuścienny między półpłaszczyznami:

- kątem dwuściennym nazywamy sumę dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednego z dwóch obszarów, które te półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni,

- kątem liniowym kąta dwuściennego nazywamy część wspólną kąta dwuściennego i płaszczyzny prostopadłej do jego krawędzi.

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest obserwowanie kąta, jaki tworzy prosta z płaszczyzną. Porównują animacje z informacjami przedstawionymi przez ekspertów.

[Geogebra applet]

Nauczyciel dzieli uczniów na cztery grupy, które podchodzą do stacji informacyjnych. Każda z grup zadaniowych, rozwiązuje przygotowane przez nauczyciela zadania. Eksperci wspierają uczniów, wyjaśniają wątpliwości. Nauczyciel nadzoruje pracę grup.

Po wykonaniu zadań z danego zakresu, grupy zadaniowe przechodzą do kolejnej stacji.

I GRUPA - zadanie
Dane są proste a, b, i c. Jak mogą być położone względem siebie proste a i b, jeśli proste a, b, c nie leżą w jednej płaszczyźnie, a prosta b ma jeden punkt wspólny z prostą a i jeden punkt wspólny z prostą c? Wykonajcie odpowiedni rysunek.

II GRUPA – zadanie
Na płaszczyźnie p zaznaczono trzy niewspółliniowe punkty A, B, C. Odległość punktu A od prostej BC i odległość punktów A i B są równe i wynoszą 4 cm. Długość odcinka AC jest równa 5 cm. Odcinek AS jest prostopadły do płaszczyzny p, a jego długość wynosi 12 cm. Obliczcie pole trójkąta BCS.

Wykonajcie odpowiedni rysunek.

III GRUPA – zadanie
Narysujcie sześcian ABCDEFGH, a następnie zaznaczcie w nim kąty:

α – kąt nachylenia prostej BG do płaszczyzny ABCD,

β – kąt nachylenia prostej AG do płaszczyzny EFGH,

γ – kąt nachylenia prostej do AD płaszczyzny DBFH.

IV GRUPA – zadanie
Obliczcie miarę kąta dwuściennego, wiedząc, że odległość punktu P leżącego na ścianie tego kąta od jego krawędzi wynosi 15 cm. Zaś odległość punktu P od drugiej ściany tego kąta wynosi 7,5 cm. Wykonajcie odpowiedni rysunek.

Nauczyciel podsumowuje i ocenia pracę grup, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych
Dany jest kwadrat KLMN. Uzasadnij, że trójkąty KLS i LMS są prostokątne, jeśli wiadomo, że odcinek NS jest prostopadły do płaszczyzny KLMN.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując informacje do zapamiętania.

- Prosta może leżeć na płaszczyźnie, przebijać ją lub nie mieć z nią punktów wspólnych.

- Dwie proste w przestrzeni mogą się pokrywać, leżeć w jednej płaszczyźnie lub nie leżeć w jednej płaszczyźnie i nie mieć punktów wspólnych (są skośne).

- Prosta k i płaszczyzna p są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy prosta k jest prostopadła do każdej prostej leżącej na płaszczyźnie p.

- Kątem nachylenia prostej k do płaszczyzny p nazywamy kąt ostry między tą prostą i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę p.

- Jeśli prosta l przebija płaszczyznę p i nie jest do niej prostopadła, prosta k jest rzutem prostokątnym prostej l na płaszczyznę p, prosta m leży na płaszczyźnie p i przecina prostą l, to prosta m jest prostopadła do prostej l wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej k (twierdzenie o trzech prostych prostopadłych).

- Kątem dwuściennym nazywamy sumę dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednego z dwóch obszarów, które te półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni.

- Kątem liniowym kąta dwuściennego nazywamy część wspólną kąta dwuściennego i płaszczyzny prostopadłej do jego krawędzi.