13) finds the greatest common divisor (GCD) in situations not more difficult than GCD (600, 72), GCD (140, 567), GCD (10,000, 48), GCD (910, 2016) and determines the Least Common Multiple of two natural numbers with the prime factorization;
14) recognizes multiples of a given number, squares, cubes, prime numbers, composite numbers.
Students - experts present the information they have prepared. After the presentation, they answer the questions that other students may have posed and clarify their doubts.
Information that should be included in the expert group presentations.
I EXPERT GROUP
- We use Arabic numerals to create numbers nowadays: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 and 9.
- The number system we use at present is called the positional decimal system.
- The position of a digit in a number can be determined using the scheme below:
- A composite number is a natural number greater than 1 that has more than two divisors.
- Numbers 0 and 1 are neither prime numbers nor composite numbers.
- Features of divisibility of natural numbers. The natural number is divisible
a. by 2 if its unity digit is 0, 2, 4, 6 or 8;
b. by 3 if the sum of its digits is a number divisible by 3;
c. by 4 if its last two digits form a number divisible by 4;
d. by 5 if its unity digit is 0 or 5;
e. by 9, if the sum of its digits is a number divisible by 9;
f. by 25 if its last two digits form a number divisible by 25.
IV EXPERT GROUP
- Prime factorization is the representation of this number in the form of a product of prime numbers.
- GCD (a, b) - the greatest common divisor of natural numbers a and b, is the largest natural positive number, which is also the divisor of the number a and the divisor of the number b.
- LCM (a, b) - the least common multiple of the numbers a and b, the smallest positive natural number that is divisible by the number of a and the number of b. The teacher divides students into four groups who approach the expert stations (tables). Each of the groups solves the tasks prepared by the teacher. Experts support students, explain their doubts.
The teacher supervises the work of groups. After completing the tasks in a given scope, groups proceed to the next station.
GROUP I
Task 1 Write two numbers, in which:
a) the number of hundreds is 5,
b) the number of thousands is 3,
c) the number of tens of thousands is 7,
Task 2 Enter each number into the table and then provide their word names.
a) 5,254, 236
b) 124 509 843 548
c) 78 590 452 153 624 752
[table 2]
GROUP II
Task 1 Not doing any calculations, compare the values of the arithmetic expressions. Put in the blank space the appropriate symbols <,> or = .
Task 2 Calculate, remembering the order of operationsorder of operationsorder of operations:
a) 13Indeks górny 22 - 12Indeks górny 22
b) 5891 – 4716 : 9
c) (4125 + 275) : 25 - 12
GROUP III
Task 1 Write two prime numbers not greater than 60, which fulfill the condition:
a) the sum of the numbers is a prime numberprime numberprime number,
b) the difference between numbers is the prime numberprime numberprime number.
Task 2 Open the applet. Using the features of divisibility, put the numbers in the right places.
[Geogebra applet 1]
GROUP IV
Task 1 Distribute into the factors the following numbers 420 and 525, then calculate GCD (420, 525) and LCM (420, 525).
Task 2 Solve the word problem. Write down the solution. Zosia equally divided 48 chocolate candies, 30 jellies and 12 fruit candies between her friends. How many friends received sweets from Zosia? How many candies did everyone get?
The teacher summarizes and evaluates students’ work and explains all the doubts.
An extra task: In the blank space write the number so that the number obtained is divisible by 18. 25 ____458 ____ 42
- We use Arabic numerals to create numbers nowadays: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 and 9.
- The number system we use at present is called the positional decimal system.
- Natural numbers can be added, subtracted, divided and squared or cubed.
- The order of performing operations:
1. operations in brackets,
2. exponentiation,
3. multiplication or division - in the order of writing,
4. addition or subtraction - in the order of writing.
- Addition and Multiplication are Associative and Commutative.
- We do not divide by zero.
- The prime numberprime numberprime number is a natural number greater than 1, whose only divisors are 1 and itself.
- A composite number is a natural number greater than 1 that has more than two divisors.
- GCD (a, b) - the greatest common divisor of natural numbers a and b, is the largest natural positive number, which is also the divisor of the number a and the divisor of the number b.
- LCM (a, b) - the least common multiple of the numbers a and b, the smallest positive natural number that is divisible by the number of a and the number of b.
Selected words and expressions used in the lesson plan
Liczby naturalne można dodawać, odejmować, dzielić i potęgować.
m3294bdade198496c_1528449000663_0
Własności liczb naturalnych
m3294bdade198496c_1528449084556_0
drugi
m3294bdade198496c_1528449076687_0
I. Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie pozycyjnym. Uczeń:
1) zapisuje i odczytuje liczby naturalne wielocyfrowe;
II. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:
7) rozpoznaje liczby podzielne przez 2, 3, 4, 5, 9, 10, 100;
9) rozkłada liczby dwucyfrowe na czynniki pierwsze;
13) znajduje największy wspólny dzielnik (NWD) w sytuacjach nie trudniejszych niż typu NWD(600, 72), NWD(140, 567), NWD(10000, 48), NWD(910, 2016) oraz wyznacza najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb naturalnych metodą rozkładu na czynniki;
14) rozpoznaje wielokrotności danej liczby, kwadraty, sześciany, liczby pierwsze, liczby złożone.
m3294bdade198496c_1528449068082_0
45 minut
m3294bdade198496c_1528449523725_0
Używanie prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretowanie pojęć matematycznych i operowanie obiektami matematycznymi.
m3294bdade198496c_1528449552113_0
1. Utrwalenie wiadomości dotyczących liczb naturalnych.
2. Utrwalenie wiadomości i umiejętności dotyczących podzielności liczb naturalnych.
3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
m3294bdade198496c_1528450430307_0
uczeń:
- utrwala wiadomości dotyczące liczb naturalnych,
- utrwala wiadomości i umiejętności dotyczących podzielności liczb naturalnych.
m3294bdade198496c_1528449534267_0
1. Stacje eksperckie.
2. Analiza sytuacyjna.
m3294bdade198496c_1528449514617_0
1. Praca z całą klasą.
2. Praca w grupach.
m3294bdade198496c_1528450135461_0
m3294bdade198496c_1528450127855_0
Ośmiu uczniów tworzy cztery grupy eksperckie i przygotowuje przed lekcją informacje na jeden temat, wybrany z poniższych.
I. Sposoby zapisywania i odczytywania liczb. Pozycyjny system dziesiątkowy. Duże liczby naturalne.
II. Własności działań w zbiorze liczb naturalnych.
III. Liczby pierwsze i liczby złożone. Cechy podzielności liczb.
IV. Rozkład liczby na czynniki pierwsze. Największy wspólny dziennik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
m3294bdade198496c_1528446435040_0
Uczniowie – eksperci kolejno prezentują przygotowane przez siebie informacje. Po prezentacji odpowiadają na pytania pozostałych uczniów i wyjaśniają wątpliwości.
Informacje , które powinny znaleźć się w prezentacjach grup eksperckich.
I GRUPA EKSPERTÓW
- Do tworzenia liczb używamy obecnie cyfr arabskich: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.
- System liczbowy, którego używamy, nazywany jest układem dziesiątkowym pozycyjnym.
- Pozycję cyfry w liczbie określać można, korzystając ze schematu:
[Tabela 1]
- Duże liczby to:
1 000 000 - milion
1 000 000 000 - miliard
1 000 000 000 000 - bilion
1 000 000 000 000 000 - biliard
1 000 000 000 000 000 000 - trylion
1 000 000 000 000 000 000 000 - tryliard
II GRUPA EKSPERTÓW
- Liczby naturalne można dodawać, odejmować, dzielić i potęgować.
- Kolejność wykonywania działań:
1. działania w nawiasach,
2. potęgowanie,
3. mnożenie lub dzielenie – w kolejności zapisu,
4. dodawanie lub odejmowanie – w kolejności zapisu.
- Własności działań:
1. Dodawanie jest działaniem przemiennym i łącznym.
2. Mnożenie jest działaniem przemiennym i łącznym. ,
3. Nie dzielimy przez zero.
III GRUPA EKSPERTÓW
- Liczba pierwsza, to liczba naturalna większa od 1, której jedynymi dzielnikami jest 1 i ona sama.
- Liczba złożona, to liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki.
- Liczby 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi, ani złożonymi.
- Cechy podzielności liczb naturalnych. Liczba naturalna jest podzielna
a. przez 2, jeśli jej cyfrą jedności jest 0, 2, 4, 6 lub 8;
b. przez 3, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3;
c. przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4;
d. przez 5, jeśli jej cyfrą jedności jest 0 lub 5;
e. przez 9, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9;
f. przez 25, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 25.
IV GRUPA EKSPERTÓW
- Rozkład liczby na czynniki pierwsze, to przedstawienie tej liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych.
- NWD (a, b) - największy wspólny dzielnik liczb naturalnych a i b, to największa liczba naturalna dodatnia, która jest jednocześnie dzielnikiem liczby a i dzielnikiem liczby b.
- NNW (a, b) - najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a i b, to najmniejsza liczba naturalna dodatnia, która jest podzielna przez liczbę a i liczbę b.
Nauczyciel dzieli uczniów na cztery grupy, które podchodzą do stacji informacyjnych. Każda z grup zadaniowych, rozwiązuje przygotowane przez nauczyciela zadania. Eksperci wspierają uczniów, wyjaśniają wątpliwości. Nauczyciel nadzoruje pracę grup.
Po wykonaniu zadań z danego zakresu, grupy zadaniowe przechodzą do kolejnej stacji.
I GRUPA - zadania
Polecenie 1 Napiszcie po dwie liczby, w których:
a) cyfra setek wynosi 5,
b) cyfra tysięcy wynosi 3,
c) cyfra dziesiątek tysięcy wynosi 7,
Polecenie 2 Wpiszcie każdą liczbę do tabeli, a następnie zapiszcie ją słowami.
a) 5 254 236
b) 124 509 843 548
c) 78 590 452 153 624 752
[Tabela 2]
II GRUPA - zadania
Polecenie 1 Nie wykonując obliczeń, porównajcie wartości wyrażeń arytmetycznych.
Wstawcie w miejsce ... znak <, > lub =.
a) 354 + 2541...2541 +354
b) 368 + ( 3659 + 1452)...(368 + 1452) + 3659
c) 325· 254 – 254...254·325 - 325
Polecenie 2 Obliczcie, pamiętając o kolejności wykonywania działań.
a) 132 - 122
b) 5891 – 4716 : 9
c) (4125 + 275) : 25 - 12
III GRUPA - zadania
Polecenie 1 Zapiszcie dwie liczby pierwsze nie większe od 60, które spełniają warunek:
a) suma liczb jest liczbą pierwszą,
b) różnica liczb jest liczba pierwszą.
Polecenie 2 Otwórzcie aplet. Korzystając z cech podzielności umieśćcie liczby we właściwych miejscach.
[Geogebra applet]
IV GRUPA – zadania
Polecenie 1 Rozłóżcie na czynniki pierwsze liczby 420 i 525, a następnie obliczcie NWD(420,525) i NWW(420,525) .
Zosia podzieliła po równo miedzy swoje koleżanki 48 cukierków czekoladowych, 30 galaretek i 12 cukierków owocowych. Ile koleżanek Zosi otrzymało słodycze? Po ile cukierków każdego rodzaju dostały?
Nauczyciel podsumowuje i ocenia pracę grup, wyjaśnia wątpliwości.
Zadanie dla chętnych Wpisz w miejsce .... cyfrę tak, aby otrzymana liczba była podzielna przez 18. 25....458....42
m3294bdade198496c_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.
Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując informacje do zapamiętania :
- Do tworzenia liczb używamy obecnie cyfr arabskich: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.
- System liczbowy, którego używamy, nazywany jest układem dziesiątkowym pozycyjnym.
- Działania należy wykonywać w następującej kolejności: działania w nawiasach, potęgowanie, mnożenie lub dzielenie (w kolejności zapisu) i dodawanie lub odejmowani (w kolejności zapisu).
- Dodawanie i mnożenie, to działania przemienne i łączne.
- Nie wykonujemy dzielenia przez liczbę zero.
- Liczba pierwsza, to liczba naturalna większa od 1, której jedynymi dzielnikami jest 1 i ona sama.
- Liczba złożona, to liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki.
- Największy wspólny dzielnik liczb naturalnych a i b, to największa liczba naturalna dodatnia, która jest jednocześnie dzielnikiem liczby a i dzielnikiem liczby b.
- Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a i b, to najmniejsza liczba naturalna dodatnia, która jest podzielna przez liczbę a i liczbę b.
order of operations1
order of operations
kolejność wykonywania działań
R1JMTBxr4dxko1
wymowa w języku angielskim: the order of operations
wymowa w języku angielskim: the order of operations