Temat

Własności liczb naturalnych

Etap edukacyjny

Drugi

Podstawa programowa

I. Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie pozycyjnym. Uczeń:

1) zapisuje i odczytuje liczby naturalne wielocyfrowe;

II. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:

7) rozpoznaje liczby podzielne przez 2, 3, 4, 5, 9, 10, 100;

9) rozkłada liczby dwucyfrowe na czynniki pierwsze;

13) znajduje największy wspólny dzielnik (NWD) w sytuacjach nie trudniejszych niż typu NWD(600, 72), NWD(140, 567), NWD(10000, 48), NWD(910, 2016) oraz wyznacza najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb naturalnych metodą rozkładu na czynniki;

14) rozpoznaje wielokrotności danej liczby, kwadraty, sześciany, liczby pierwsze, liczby złożone.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Używanie prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretowanie pojęć matematycznych i operowanie obiektami matematycznymi.

Cele szczegółowe

1. Utrwalenie wiadomości dotyczących liczb naturalnych.

2. Utrwalenie wiadomości i umiejętności dotyczących podzielności liczb naturalnych.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

uczeń:

- utrwala wiadomości dotyczące liczb naturalnych,
- utrwala wiadomości i umiejętności dotyczących podzielności liczb naturalnych.

Metody kształcenia

1. Stacje eksperckie.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca z całą klasą.

2. Praca w grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Ośmiu uczniów tworzy cztery grupy eksperckie i przygotowuje przed lekcją informacje na jeden temat, wybrany z poniższych.

I. Sposoby zapisywania i odczytywania liczb. Pozycyjny system dziesiątkowy. Duże liczby naturalne.

II. Własności działań w zbiorze liczb naturalnych.

III. Liczby pierwsze i liczby złożone. Cechy podzielności liczb.

IV. Rozkład liczby na czynniki pierwsze. Największy wspólny dziennik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Realizacja lekcji

Uczniowie – eksperci kolejno prezentują przygotowane przez siebie informacje. Po prezentacji odpowiadają na pytania pozostałych uczniów i wyjaśniają wątpliwości.
Informacje , które powinny znaleźć się w prezentacjach grup eksperckich.

I GRUPA EKSPERTÓW

- Do tworzenia liczb używamy obecnie cyfr arabskich: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.

- System liczbowy, którego używamy, nazywany jest układem dziesiątkowym pozycyjnym.

- Pozycję cyfry w liczbie określać można, korzystając ze schematu:

[Tabela 1]

- Duże liczby to:

1 000 000 - milion

1 000 000 000 - miliard

1 000 000 000 000 - bilion

000 000 000 000 000 - biliard

1 000 000 000 000 000 000 - trylion

1 000 000 000 000 000 000 000 - tryliard

II GRUPA EKSPERTÓW

- Liczby naturalne można dodawać, odejmować, dzielić i potęgować.

- Kolejność wykonywania działań:1. działania w nawiasach,

2. potęgowanie,

3. mnożenie lub dzielenie – w kolejności zapisu,

4. dodawanie lub odejmowanie – w kolejności zapisu.

- Własności działań:

1. Dodawanie jest działaniem przemiennym i łącznym.

2. Mnożenie jest działaniem przemiennym i łącznym. ,

3. Nie dzielimy przez zero.

III GRUPA EKSPERTÓW

- Liczba pierwsza, to liczba naturalna większa od 1, której jedynymi dzielnikami jest 1 i ona sama.

- Liczba złożona, to liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki.

- Liczby 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi, ani złożonymi.

- Cechy podzielności liczb naturalnych. Liczba naturalna jest podzielna

a. przez 2, jeśli jej cyfrą jedności jest 0, 2, 4, 6 lub 8;

b. przez 3, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3;

c. przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4;

d. przez 5, jeśli jej cyfrą jedności jest 0 lub 5;

e. przez 9, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9;

f. przez 25, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 25.

IV GRUPA EKSPERTÓW

- Rozkład liczby na czynniki pierwsze, to przedstawienie tej liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych.

- NWD (a, b) - największy wspólny dzielnik liczb naturalnych a i b, to największa liczba naturalna dodatnia, która jest jednocześnie dzielnikiem liczby a i dzielnikiem liczby b.

- NNW (a, b) - najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a i b, to najmniejsza liczba naturalna dodatnia, która jest podzielna przez liczbę a i liczbę b.

Nauczyciel dzieli uczniów na cztery grupy, które podchodzą do stacji informacyjnych. Każda z grup zadaniowych, rozwiązuje przygotowane przez nauczyciela zadania. Eksperci wspierają uczniów, wyjaśniają wątpliwości. Nauczyciel nadzoruje pracę grup.

Po wykonaniu zadań z danego zakresu, grupy zadaniowe przechodzą do kolejnej stacji.

I GRUPA - zadania

Polecenie 1

Napiszcie po dwie liczby, w których:

a) cyfra setek wynosi 5,

b) cyfra tysięcy wynosi 3,

c) cyfra dziesiątek tysięcy wynosi 7,

Polecenie 2
Wpiszcie każdą liczbę do tabeli, a następnie zapiszcie ją słowami.

a) 5 254 236

b) 124 509 843 548

c) 78 590 452 153 624 752

[Tabela 2]

II GRUPA - zadania

Polecenie 1
Nie wykonując obliczeń, porównajcie wartości wyrażeń arytmetycznych. Wstawcie w miejsce ... znak <, > lub =.

a) 354 + 2541 ... 2541 + 354

b) 368 + ( 3659 + 1452) ... (368 + 1452) + 3659

c) 325 ·  254 – 254 ... 254 · 325 - 325

Polecenie 2
Obliczcie, pamiętając o kolejności wykonywania działań.

a) 132 - 122

b) 5891 – 4716 : 9

c) (4125 + 275) : 25 - 12

III GRUPA - zadania

Polecenie 1
Zapiszcie dwie liczby pierwsze nie większe od 60, które spełniają warunek:

a) suma liczb jest liczbą pierwszą,

b) różnica liczb jest liczba pierwszą.

Polecenie 2

Otwórzcie aplet. Korzystając z cech podzielności umieśćcie liczby we właściwych miejscach.

[Geogebra applet]

IV GRUPA – zadania

Polecenie 1
Rozłóżcie na czynniki pierwsze liczby 420 i 525, a następnie obliczcie NWD(420, 525) i NWW(420, 525) .

Polecenie 2
Rozwiążcie zadanie. Zapiszcie odpowiedź.

Zosia podzieliła po równo miedzy swoje koleżanki 48 cukierków czekoladowych, 30 galaretek i 12 cukierków owocowych. Ile koleżanek Zosi otrzymało słodycze? Po ile cukierków każdego rodzaju dostały?

Nauczyciel podsumowuje i ocenia pracę grup, wyjaśnia wątpliwości.

Zadanie dla chętnych
Wpisz w miejsce .... cyfrę tak, aby otrzymana liczba była podzielna przez 18.
25 .... 458 .... 42

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując informacje do zapamiętania :

- Do tworzenia liczb używamy obecnie cyfr arabskich: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.

- System liczbowy, którego używamy, nazywany jest układem dziesiątkowym pozycyjnym.

- Działania należy wykonywać w następującej kolejności: działania w nawiasach, potęgowanie, mnożenie lub dzielenie (w kolejności zapisu) i dodawanie lub odejmowani (w kolejności zapisu).

- Dodawanie i mnożenie, to działania przemienne i łączne.

- Nie wykonujemy dzielenia przez liczbę zero.

- Liczba pierwsza, to liczba naturalna większa od 1, której jedynymi dzielnikami jest 1 i ona sama.

- Liczba złożona, to liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki.

- Największy wspólny dzielnik liczb naturalnych a i b, to największa liczba naturalna dodatnia, która jest jednocześnie dzielnikiem liczby a i dzielnikiem liczby b.

- Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a i b, to najmniejsza liczba naturalna dodatnia, która jest podzielna przez liczbę a i liczbę b.