7) sketches the graph of the quadratic function given by a formula;
8) interprets the coefficients found in the quadratic functionquadratic functionquadratic function formula in the standard, vertex and factored form (if any);
9) determines the quadratic function formulaformulaformula based on the information about this functionfunctionfunction or its graph.
Reasoning and argumentation. Recognizing regularities, similarities and analogies, formulating conclusions based on them and justifying their correctness.
The students' task is to find a function formulaformulaformula of the graph that is obtained as a result of shifting the function graph f(x) = axIndeks górny 22 first along the OX axis, and then along the OY axis.
Task – group 1 - Find a formula of the functionfunctionfunction g which graph was obtained as a result of shifting the graph of the functionshifting the graph of the functionshifting the graph of the function f(x) = 2xIndeks górny 22 by 3 units to the right along the OX axis.
- Find a formulaformulaformula of the function h which graph was obtained as a result of shifting the graph of the function g by 4 units down along the OY axis.
Task – group 2 - Find a formula of the functionfunctionfunction g which graph was obtained as a result of shifting the graph of the functionshifting the graph of the functionshifting the graph of the function f(x) = -2xIndeks górny 22 by 3 units to the left along the OX axis.
- Find a formula of the function h which graph was obtained as a result of shifting the graph of the functiongraph of the functiongraph of the function g by 4 units up along the OY axis.
The groups present the results. Students formulate together a conclusion.
The students apply the acquired knowledge in exercises.
Task Determine the formulaformulaformula of the function which graph was obtained as a result of shifting the graph of the functionfunctionfunction y = 4xIndeks górny 22 by 3 units to the left along the OX axis and then by 5 units down along the OY axis.
Task The graph of the function was obtained as a result of shifting the graph of the functionshifting the graph of the functionshifting the graph of the function y = axIndeks górny 22 by p units along the OX axis and q units along the OY axis.
Find the numbers a, p, q.
The students work individually using computers.
Task Open the applet and observe how the p and q numbers in the quadratic functionquadratic functionquadratic functionformulaformulaformula vary depending on the change of the coordinates of the parabola’s vertex, which is the graph of this functionfunctionfunction.
The teacher writes the formulas of three quadratic functions in the vertex formvertex formvertex form.
Volunteers sketch graphs of these functions and discuss their most important properties. They use their knowledge of the properties of the corresponding quadratic functions like y = axIndeks górny 22.
Task Sketch the graph of a given functionfunctionfunction and discuss its properties.
a) y = (x - 4)Indeks górny 22 - 1,
b) y = - (x + 1)Indeks górny 22,
c) y = 4 - 3(2 + x)Indeks górny 22.
An extra task Determine the formulaformulaformula of the quadratic functionquadratic functionquadratic function f in the vertex formvertex formvertex form assuming that for the argument (- 5) the function has the maximum valuevaluevalue (- 8) and the point A (-3, -9) lies on the graph.
Students perform consolidating exercises. Then they summarize together the activities, formulating conclusions to be remembered:
- Shifting the graph of the functionshifting the graph of the functionShifting the graph of the function y = axIndeks górny 22, where a≠0, by p units along the OX and q units along the OY axis results in a graph of the functiongraph of the functiongraph of the function y = a(x – p)Indeks górny 22 + q.
- The formulaformulaformula y = a(x – p)Indeks górny 22 + q, where a≠0 is known as the vertex formvertex formvertex form of a quadratic functionquadratic functionquadratic function.
- The ordered pair (p, q) is the vertex of the parabolavertex of the parabolavertex of the parabola y = a(x – p)Indeks górny 22 + q, where a≠0.
Selected words and expressions used in the lesson plan
W wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = axIndeks górny 22, gdzie a≠0, o p jednostek wzdłuż osi OX oraz o q jednostek wzdłuż osi OY otrzymujemy wykres funkcji y = a(x – p)Indeks górny 22 + q. Tak uzyskany wzór nazywamy wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.
Wykresem funkcji y = a(x – p)Indeks górny 22 + q, gdzie a≠0 jest parabola, przystająca do wykresu funkcji y = axIndeks górny 22. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W(p, q).
mb6961081e3291f51_1528449000663_0
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej
mb6961081e3291f51_1528449084556_0
Trzeci
mb6961081e3291f51_1528449076687_0
I. Funkcje. Uczeń:
7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.
mb6961081e3291f51_1528449068082_0
45 minut
mb6961081e3291f51_1528449523725_0
Rozumowanie i argumentowanie. Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.
mb6961081e3291f51_1528449552113_0
1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
3. Określanie własności funkcji f(x) = a(x – p)Indeks górny 22 + q na podstawie jej wykresu.
mb6961081e3291f51_1528450430307_0
Uczeń:
- sporządza wykres funkcji f(x) = a(x – p)Indeks górny 22 + q,
- na podstawie wykresu funkcji f(x) = a(x – p)Indeks górny 22 + q określa jej własności.
mb6961081e3291f51_1528449534267_0
1. Dyskusja problemowa.
mb6961081e3291f51_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca w małych grupach.
mb6961081e3291f51_1528450135461_0
mb6961081e3291f51_1528450127855_0
Dyskusja – jak zmienia się wzór funkcji, gdy jej wykres przesuniemy wzdłuż osi OX, a jak wzdłuż osi OY.
Uczniowie ilustrują swoje wypowiedzi przykładami, korzystając ze zdobytych wcześniej wiadomości.
Powinni przypomnieć, że jeżeli wykres funkcji y = f(x) przesuniemy:
- o p (p > 0) jednostek w prawo wzdłuż osi OX, to otrzymamy wykres funkcji y = f(x - p),
- o p (p > 0) jednostek w lewo wzdłuż osi OX, to otrzymamy wykres funkcji y = f(x + p),
- o q (q > 0) jednostek w górę wzdłuż osi OY, to otrzymamy wykres funkcji y = f(x) + q,
- o q (q > 0) jednostek w dół wzdłuż osi OY, to otrzymamy wykres funkcji y = f(x) - q.
mb6961081e3291f51_1528446435040_0
Praca w grupach.
Zadaniem uczniów jest znalezienie wzoru funkcji, której wykres otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu funkcji f(x) = axIndeks górny 22 najpierw wzdłuż osi OX, a następnie wzdłuż osi OY.
Polecenie – grupa 1 - Znajdź wzór funkcji g której wykres otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu funkcji f(x) = 2xIndeks górny 22 wzdłuż osi OX o 3 jednostki w prawo.
- Znajdź wzór funkcji h, której wykres otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu funkcji g wzdłuż osi OY o 4 jednostki w dół.
Polecenie – grupa 2 - Znajdź wzór funkcji g której wykres otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu funkcji f(x) = -2xIndeks górny 22 wzdłuż osi OX o 3 jednostki w lewo.
- Znajdź wzór funkcji h, której wykres otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu funkcji g wzdłuż osi OY o 4 jednostki do góry.
Grupy prezentują uzyskane wyniki. Uczniowie wspólnie formułują wniosek.
Wniosek:
W wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = axIndeks górny 22, gdzie , o p jednostek wzdłuż osi OX oraz o q jednostek wzdłuż osi OY otrzymujemy wykres funkcji y = a(x – p)Indeks górny 22 + q.
Nauczyciel informuje, że tak uzyskany wzór nazywamy wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.
Uczniowie wykorzystują poznane wiadomości w zadaniach.
Polecenie Wyznacz wzór funkcji, której wykres otrzymano przesuwając wykres funkcji y = 4xIndeks górny 22 najpierw wzdłuż osi OX o 3 jednostki w lewo, a następnie wzdłuż osi OY o 5 jednostek w dół.
Polecenie Wykres funkcji powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = axIndeks górny 22 o p jednostek wzdłuż osi OX oraz o q jednostek wzdłuż osi OY.
Znajdź liczby a, p, q.
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów.
Polecenie Otwórz aplet i zaobserwuj, jak zmieniają się liczby p i q, występujące we wzorze funkcji kwadratowej, w zależności od zmiany współrzędnych wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji.
[Geogebra aplet]
Wniosek jaki powinni wyciągnąć uczniowie:
Wykresem funkcji y = a(x – p)Indeks górny 22 + q, gdzie jest parabola, przystająca do wykresu funkcji y = axIndeks górny 22. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W(p, q).
Nauczyciel zapisuje w postaci kanonicznej wzory trzech funkcji kwadratowych.
Ochotnicy szkicują wykresy tych funkcji i omawiają ich najważniejsze własności. Opierają się na znajomości własności odpowiednich funkcji typu y = axIndeks górny 22.
Polecenie Naszkicuj wykres podanej funkcji i omów jej własności.
a) y = (x - 4)Indeks górny 22 - 1,
b) y = - (x + 1)Indeks górny 22,
c) y = 4 - 3(2 + x)Indeks górny 22.
Polecenie dla chętnych Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, wiedząc, że dla argumentu (- 5) przyjmuje wartość największą równą (- 8), a do jej wykresu należy punkt A (-3, -9).
mb6961081e3291f51_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.
Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania:
- W wyniku przesunięcia wykresu funkcji kwadratowej y = axIndeks górny 22, gdzie , o p jednostek wzdłuż osi OX oraz o q jednostek wzdłuż osi OY otrzymujemy wykres funkcji y = a(x – p)Indeks górny 22 + q.
- Wzór y = a(x – p)Indeks górny 22 + q, gdzie , nazywamy wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.
- Wierzchołkiem paraboli opisanej wzorem y = a(x – p)Indeks górny 22 + q, gdzie , jest punkt o współrzędnych (p, q).