Temat

Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

I. Funkcje. Uczeń:

7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;

8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);

9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Rozumowanie i argumentowanie. Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Sporządzanie wykresu funkcji $f\left(x\right)=a(x-p{)}^2+q$.

3. Określanie własności funkcji $f\left(x\right)=a(x-p{)}^2+q$ na podstawie jej wykresu.

Efekty uczenia

Uczeń:

- sporządza wykres funkcji f(x) = a(x – p)Indeks górny 2² + q,

- na podstawie wykresu funkcji f(x) = a(x – p)Indeks górny 2² + q określa jej własności.

Metody kształcenia

1. Dyskusja problemowa.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Dyskusja – jak zmienia się wzór funkcji, gdy jej wykres przesuniemy wzdłuż osi OX, a jak wzdłuż osi OY.

Uczniowie ilustrują swoje wypowiedzi przykładami, korzystając ze zdobytych wcześniej wiadomości.

Powinni przypomnieć, że jeżeli wykres funkcji y = f(x) przesuniemy:

- o p (p > 0) jednostek w prawo wzdłuż osi OX,
to otrzymamy wykres funkcji y = f(x - p),

- o p (p > 0) jednostek w lewo wzdłuż osi OX,
to otrzymamy wykres funkcji y = f(x + p),

- o q (q > 0) jednostek w górę wzdłuż osi OY,
to otrzymamy wykres funkcji y = f(x) + q,

- o q (q > 0) jednostek w dół wzdłuż osi OY,
to otrzymamy wykres funkcji y = f(x) - q.

Realizacja lekcji

Praca w grupach.

Zadaniem uczniów jest znalezienie wzoru funkcji, której wykres otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu funkcji f(x) = axIndeks górny 2² najpierw wzdłuż osi OX, a następnie wzdłuż osi OY.

Polecenie – grupa 1
- Znajdź wzór funkcji g której wykres otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu funkcji f(x) = 2xIndeks górny 2² wzdłuż osi OX o 3 jednostki w prawo.

- Znajdź wzór funkcji h, której wykres otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu funkcji g wzdłuż osi OY o 4 jednostki w dół.

Polecenie – grupa 2
- Znajdź wzór funkcji g której wykres otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu funkcji f(x) = -2xIndeks górny 2² wzdłuż osi OX o 3 jednostki w lewo.

- Znajdź wzór funkcji h, której wykres otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu funkcji g wzdłuż osi OY o 4 jednostki do góry.

Grupy prezentują uzyskane wyniki. Uczniowie wspólnie formułują wniosek.

Wniosek:

W wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = axIndeks górny 2², gdzie $a\ne 0$, o p jednostek wzdłuż osi OX oraz o q jednostek wzdłuż osi OY otrzymujemy wykres funkcji y = a(x – p)Indeks górny 2² + q.

Nauczyciel informuje, że tak uzyskany wzór nazywamy wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.

Uczniowie wykorzystują poznane wiadomości w zadaniach.

Polecenie
Wyznacz wzór funkcji, której wykres otrzymano przesuwając wykres funkcji y = 4xIndeks górny 2² najpierw wzdłuż osi OX o 3 jednostki w lewo, a następnie wzdłuż osi OY o 5 jednostek w dół.

Polecenie
Wykres funkcji $y=-\frac{3}{8}{\left(x-3\right)}^2+6$ powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = axIndeks górny 2² o p jednostek wzdłuż osi OX oraz o q jednostek wzdłuż osi OY.

Znajdź liczby a, p, q.

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów.  

Polecenie
Otwórz aplet i zaobserwuj, jak zmieniają się liczby p i q, występujące we wzorze funkcji kwadratowej, w zależności od zmiany współrzędnych wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji.

[Geogebra aplet]

Wniosek jaki powinni wyciągnąć uczniowie:

Wykresem funkcji y = a(x – p)Indeks górny 2² + q, gdzie $a\ne 0$ jest parabola, przystająca do wykresu funkcji y = axIndeks górny 2². Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W(p, q).

Nauczyciel zapisuje w postaci kanonicznej wzory trzech funkcji kwadratowych.

Ochotnicy szkicują wykresy tych funkcji i omawiają ich najważniejsze własności. Opierają się na znajomości własności odpowiednich funkcji typu y = axIndeks górny 2².

Polecenie
Naszkicuj wykres podanej funkcji i omów jej własności.

a) y = (x - 4)Indeks górny 2² - 1,

b) y = - (x + 1)Indeks górny 2²,

c) y = 4 - 3(2 + x)Indeks górny 2².

Polecenie dla chętnych
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, wiedząc, że dla argumentu (- 5) przyjmuje wartość największą równą (- 8), a do jej wykresu należy punkt A (-3, -9).

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania:

- W wyniku przesunięcia wykresu funkcji kwadratowej y = axIndeks górny 2², gdzie $a\ne 0$, o p jednostek wzdłuż osi OX oraz o q jednostek wzdłuż osi OY otrzymujemy wykres funkcji y = a(x – p)Indeks górny 2² + q.

- Wzór y = a(x – p)Indeks górny 2² + q, gdzie $a\ne 0$, nazywamy wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.

- Wierzchołkiem paraboli opisanej wzorem y = a(x – p)Indeks górny 2² + q, gdzie $a\ne 0$, jest punkt o współrzędnych (p, q).