The teacher informs the students that during this class they will examine if regular polygons are axisymmetricaxisymmetricaxisymmetric and if they have the centre of symmetry.
The students give the definition of a regular polygonregular polygonregular polygon and give examples of such polygons.
Working in pairs the students revise their knowledge about axisymmetricaxisymmetricaxisymmetric and centrosymmetric figures and recognize such figures in diagrams prepared by the teacher.
The students notice that rotating the centrosymmetric figure by 180° around the centre of symmetry, we get identical figure.
The students use their computers, working individually or in pairs. They identify the number of axes of symmetry in selected regular polygons. They check which of the regular polygons have the centre of symmetry.
Task for working with Geogebra applet Open Geogebra applet „The symmetries in regular polygons”. Change the number of sides in a regular polygonregular polygonregular polygon.
Task 1 Choose option “Axes of symmetry” and observe:
1. Does a regular polygonregular polygonregular polygon have at least one axis of symmetrysymmetry line, axis of symmetryaxis of symmetry? If so, what is the maximum number of the axes of symmetry?
2. Are the axes of symmetry the perpendicular bisectors in each case? Are they angle bisectors?
3. Is every regular polygonregular polygonregular polygon a centrosymmetric figure?
Consider the cases for the even and odd number of polygon sides.
3. The axes of symmetry in a regular polygonregular polygonregular polygon with an even number of sides are the perpendicular bisectors of its sides or include themselves in the bisectors of its angles.
Task 2 Choose only option “Rotation”.
1. Consider if every regular polygonregular polygonregular polygon is a centrosymmetric figure. Set the applet slider on α = 180° and check your assumption.
2. Changing rotation angle of n‑angle on the slider, check what is the smallest rotation angle which you need to make the polygon cover the n‑angle before the rotation.
Write down your observations depending on n and try to generalize them.
The conclusions the students should draw:
1. Polygons with the even number of sides are centr9osymmetric.
2. n = 3, the smallest rotation angle α = 120° n = 4, α = 90° n = 5, α = 72° etc. for any n, α = 360°/n
Task 3 Now, chose both option: “Axes of symmetry” and “Rotation” and check:
1. Where is the centre of symmetry in polygons located?
2. Can you find two perpendicular axes of symmetry in centrosymmetric polygons?
The conclusions the students should draw:
1. The centre of symmetry in a regular polygonregular polygonregular polygon is located on the intersection of its angle bisectors (the perpendicular bisectors of its sides).
2. Yes. It is also worth noticing that the following statement is true:
A regular polygonregular polygonregular polygon has the centre of symmetry when there are two such axes of symmetry that intersect producing a right angle.
An extra task: When a regular n‑gon is rotated around the intersection point of its angle bisectors, the rotation of 360°/n makes the polygon cover the original one. Concluding from this observation prove that for even n regular n‑gon has the centre of symmetry.
The students do the consolidation tasks. Then, they summarize the class and formulate important information to memorize:
All regular polygons are centrosymmetric. A regular polygonregular polygonregular polygon has as many axes of symmetry as sides.
Regular polygons with an even number of sides have the centre of symmetry. The centre of symmetry is the intersection point of its angle bisectors (the perpendicular bisectors of its sides).
Selected words and expressions used in the lesson plan
3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
mc0966632141b23bc_1528450430307_0
uczeń:
- wskazuje osie symetrii wielokątów foremnych,
- określa, w jakim przypadku wielokąt foremny posiada środek symetrii.
mc0966632141b23bc_1528449534267_0
1. Dyskusja
2. Analiza sytuacyjna
mc0966632141b23bc_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca grupowa.
mc0966632141b23bc_1528450127855_0
Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą badać, czy wielokąty foremne są osiowosymetryczne i czy posiadają środek symetrii.
Uczniowie podają definicję wielokąta foremnego i przykłady takich wielokątów.
Praca w parach. Uczniowie przypominają wiadomości związane z figurami osiowosymetrycznymi oraz środkowosymetrycznymi, rozpoznają takie figury na podstawie rysunków przygotowanych wcześniej przez nauczyciela.
Uczniowie zauważają, że obracając figurę środkowosymetryczną o 180° wokół środka symetrii, otrzymuje się tę samą figurę.
mc0966632141b23bc_1528446435040_0
Praca indywidulna lub w parach, z wykorzystaniem komputerów. Uczniowie określają liczbę osi symetrii wybranych wielokątów foremnych. Sprawdzają, które z wielokątów foremnych posiadają środek symetrii.
Polecenia do pracy z apletem Geogebry Otwórz aplet Geogebry Symetrie w wielokątach foremnych. Zmieniaj liczbę boków wielokąta foremnego.
Polecenie 1. Wybierz opcję „Osie symetrii” i zaobserwuj:
1. Czy wielokąt foremny ma co najmniej jedną oś symetrii? Jeśli tak, to ile najwięcej może mieć osi symetrii?
2. Czy osie symetrii w każdym przypadku są symetralnymi boków wielokąta foremnego? A dwusiecznymi kątów?
3. Czy każdy wielokąt foremny jest figurą środkowosymetryczną?
Osobno rozważ przypadki dla parzystej i nieparzystej liczby boków wielokąta.
Wnioski, jakie powinni wyciągnąć uczniowie:
1. Wielokąt foremny ma tyle osi symetrii ile ma boków.
2. Osie symetrii wielokąta foremnego o nieparzystej liczbie boków zawierają się w dwusiecznych jego kątów i jednocześnie są symetralnymi jego boków.
3. Osie symetrii wielokąta foremnego o parzystej liczbie boków są symetralnymi jego boków lub zawierają się w dwusiecznych jego kątów.
Polecenie 2. Wybierz tylko opcję „Obrót”.
1. Zastanów się, czy każdy wielokąt foremny jest figurą środkowosymetryczną. Ustaw w aplecie suwak na α=180Indeks górny oo i sprawdź swoje przypuszczenia.
2. Zmieniając na suwaku kąt obrotu n‑kąta sprawdź, jaki jest najmniejszy kąt, o który należy obrócić wielokąt, by pokrył się z n‑kątem przed obrotem.
Zapisz swoje obserwacje w zależności od n i spróbuj je uogólnić.
nioski, jakie powinni wyciągnąć uczniowie:
1. Wielokąty o parzystej liczbie boków są środkowosymetryczne.
2. n = 3, najmniejszy kąt obrotu α = 120Indeks górny oo n = 4, α = 90Indeks górny oo n = 5, α = 72Indeks górny oo itd.
dla dowolnego n, α = 360Indeks górny oo/n
Polecenie 3. Teraz wybierz obie opcje: „Osie symetrii” oraz „Obrót” i sprawdź:
1. Gdzie leży środek symetrii wielokąta?
2. Czy w wielokątach środkowosymetrycznych można wskazać dwie prostopadłe osie symetrii?
Wnioski, jakie powinni wyciągnąć uczniowie:
1. Środek symetrii wielokąta foremnego leży na przecięciu dwusiecznych jego kątów (symetralnych jego boków).
2. Tak. Warto zauważyć, że prawdziwe jest też następujące stwierdzenie: wielokąt foremny ma środek symetrii wtedy, gdy istnieją takie dwie jego osie symetrii, które przecinają się pod kątem prostym.
Polecenie dla chętnych Gdy n‑kąt foremny obracamy wokół punktu przecięcia dwusiecznych jego kątów, to obrót o kąt 360Indeks górny oo/n powoduje, że wielokąt pokrywa się z wyjściowym. Wychodząc z tej obserwacji wykaż, że dla parzystych n, n‑kąt foremny posiada środek symetrii.
mc0966632141b23bc_1528450119332_0
Uczniowie wykonują zadania utrwalające.
Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułują ważne do zapamiętania informacje:
Wszystkie wielokąty foremne są osiowosymetryczne. Wielokąt foremny ma tyle osi symetrii ile ma boków.
Wielokąty foremne o parzystej liczbie boków mają środek symetrii. Środek symetrii jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów wielokąta (symetralnych boków wielokąta).