Temat

Symetrie w wielokątach foremnych

Etap edukacyjny

Drugi

Podstawa programowa

IX. Wielokąty. Uczeń:

1) zna pojęcie wielokąta foremnego.

XV. Symetrie. Uczeń:

3) rozpoznaje figury osiowosymetryczne i wskazuje ich osie symetrii (…);

4) rozpoznaje figury środkowosymetryczne i wskazuje ich środki symetrii.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Używanie prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretowanie pojęć matematycznych i operowanie obiektami matematycznymi.

Cele szczegółowe

1. Wskazywanie osi symetrii wielokątów foremnych.

2. Wskazywanie środka symetrii wielokątów foremnych.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- wskazuje osie symetrii wielokątów foremnych,

- określa, w jakim przypadku wielokąt foremny posiada środek symetrii.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą badać, czy wielokąty foremne są osiowosymetryczne i czy posiadają środek symetrii.

Uczniowie podają definicję wielokąta foremnego i przykłady takich wielokątów.

Praca w parach. Uczniowie  przypominają  wiadomości związane z figurami osiowosymetrycznymi oraz środkowosymetrycznymi, rozpoznają takie figury na podstawie rysunków przygotowanych wcześniej przez nauczyciela.

Uczniowie zauważają, że obracając figurę środkowosymetryczną o 180° wokół środka symetrii, otrzymuje się tę samą figurę.

Realizacja lekcji

Praca indywidulna lub w parach, z wykorzystaniem komputerów. Uczniowie określają liczbę osi symetrii wybranych wielokątów foremnych. Sprawdzają, które z wielokątów foremnych posiadają środek symetrii.

Polecenia do pracy z apletem Geogebry
Otwórz aplet Geogebry „Symetrie w wielokątach foremnych”. Zmieniaj liczbę boków wielokąta foremnego.

Polecenie 1.
Wybierz opcję „Osie symetrii” i zaobserwuj:

1. Czy wielokąt foremny ma co najmniej jedną oś symetrii? Jeśli tak, to ile najwięcej może mieć osi symetrii?

2. Czy osie symetrii w każdym przypadku są symetralnymi boków wielokąta foremnego? A dwusiecznymi kątów?

3. Czy każdy wielokąt foremny jest figurą środkowosymetryczną?

Osobno rozważ przypadki dla parzystej i nieparzystej liczby boków wielokąta.

Wnioski, jakie powinni wyciągnąć uczniowie:

1. Wielokąt foremny ma tyle osi symetrii ile ma boków.

2. Osie symetrii wielokąta foremnego o nieparzystej liczbie boków zawierają się w dwusiecznych jego kątów i jednocześnie są symetralnymi jego boków.

3. Osie symetrii wielokąta foremnego o parzystej liczbie boków są symetralnymi jego boków lub zawierają się w dwusiecznych jego kątów.

Polecenie 2.
Wybierz tylko opcję „Obrót”.

1. Zastanów się, czy każdy wielokąt foremny jest figurą środkowosymetryczną. Ustaw w aplecie suwak na α = 180Indeks górny o^o i sprawdź swoje przypuszczenia.

2. Zmieniając na suwaku kąt obrotu n‑kąta sprawdź, jaki jest najmniejszy kąt, o który należy obrócić wielokąt, by pokrył się z n‑kątem przed obrotem.

Zapisz swoje obserwacje w zależności od n i spróbuj je uogólnić.

Wnioski, jakie powinni wyciągnąć uczniowie:

1. Wielokąty o parzystej liczbie boków są środkowosymetryczne.

2. n = 3, najmniejszy kąt obrotu α = 120Indeks górny o^o
n = 4, α = 90Indeks górny o^o
n = 5, α = 72Indeks górny o^o itd.
dla dowolnego n, α = 360Indeks górny o^o/n

Polecenie 3.
Teraz wybierz obie opcje: „Osie symetrii” oraz „Obrót” i sprawdź:

1. Gdzie leży środek symetrii wielokąta?

2. Czy w wielokątach środkowosymetrycznych można wskazać dwie prostopadłe osie symetrii?

Wnioski, jakie powinni wyciągnąć uczniowie:

1. Środek symetrii wielokąta foremnego leży na przecięciu dwusiecznych jego kątów (symetralnych jego boków).

2. Tak. Warto zauważyć, że prawdziwe jest też następujące stwierdzenie: wielokąt foremny ma środek symetrii wtedy, gdy istnieją takie dwie jego osie symetrii, które przecinają się pod kątem prostym.

Polecenie dla chętnych
Gdy n‑kąt foremny obracamy wokół punktu przecięcia dwusiecznych jego kątów, to obrót o kąt 360Indeks górny o^o/n powoduje, że wielokąt pokrywa się z wyjściowym. Wychodząc z tej obserwacji wykaż, że dla parzystych n, n‑kąt foremny posiada środek symetrii.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują zadania utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułują ważne do zapamiętania informacje:

Wszystkie wielokąty foremne są osiowosymetryczne. Wielokąt foremny ma tyle osi symetrii ile ma boków.

Wielokąty foremne o parzystej liczbie boków mają środek symetrii. Środek symetrii jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów wielokąta (symetralnych boków wielokąta).