1) solves systems of linear equations with two unknowns, gives geometric interpretation of consistent dependent and independent systems as well as inconsistent systems.
Students work individually, using computers. Their task is to know the interactive illustration, that presents the way of solving equations using the substitution methodsubstitution methodsubstitution method.
[Interactive illustration]
Students use obtained information in exercises, using the JIGSAW method.
The teacher divides students into 3 persons groups. Each member of the group gets different task from the tasks below. After solving the tasks, students gather in groups that were doing the same task. They discuss the solutions and clarify any doubts. They identify the type of system of equation.
Then, they return to the initial groups and present the solutions to other members.
Task 1
- Solve the system using the substitution method:
- Identify the number of solutions of this system. How do we call such system of equations? - Write proper conclusions.
Task 2
- Solve the system using the substitution method:
- Identify the number of solutions of this system. How do we call such system of equations? - Write proper conclusions.
Task 3
- Solve the system using the substitution methodsubstitution methodsubstitution method:
- Identify the number of solutions of this system. How do we call such system of equations? - Write proper conclusions.
After having completed the exercise, they present results of their observations:
The teacher evaluates students’ work and clarifies doubts.
An extra task What equation needs to be added to the equation:
in order to obtain a consistent dependent system. Justify your choice by solving the system using the substitution methodsubstitution methodsubstitution method.
- Jeżeli rozwiązując układ równań metodą podstawiania, równanie, do którego podstawimy ma jedno rozwiązanie, to rozwiązaniem układu równań jest dokładnie jedna para liczb, czyli jest układem oznaczonym. - Jeżeli rozwiązując układ równań metodą podstawiania, równanie, do którego podstawimy okaże się równaniem tożsamościowym, to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, czyli jest układem nieoznaczonym. - Jeżeli rozwiązując układ równań metodą podstawiania, równanie, do którego podstawimy okaże się równaniem sprzecznym, to układ równań nie ma rozwiązania, czyli jest układem **sprzecznym.
- Każdą uporządkowaną parę liczb spełniających dany układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy rozwiązaniem danego układu równań. - Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, który ma dokładnie jedno rozwiązanie nazywamy układem oznaczonym. - Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, który ma nieskończenie wiele rozwiązań nazywamy układem nieoznaczonym. - Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, który nie ma rozwiązania nazywamy układem sprzecznym.
meb6794c32e4701b2_1528449000663_0
Metoda podstawiania rozwiązywania układów równań
meb6794c32e4701b2_1528449084556_0
Trzeci
meb6794c32e4701b2_1528449076687_0
IV. Układy równań. Zakres podstawowy. Uczeń:
1) rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych.
meb6794c32e4701b2_1528449068082_0
45 minut
meb6794c32e4701b2_1528449523725_0
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
meb6794c32e4701b2_1528449552113_0
1. Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania.
2. Rozpoznawanie i rozróżnianie układów oznaczonych, nieoznaczonych oraz sprzecznych.
3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
meb6794c32e4701b2_1528450430307_0
Uczeń:
- rozwiązuje układy równań metodą podstawiania,
- rozpoznaje i rozróżnia układy oznaczone, nieoznaczone oraz sprzeczne.
meb6794c32e4701b2_1528449534267_0
1. Analiza sytuacyjna.
2. JIGSAW.
meb6794c32e4701b2_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca grupowa.
meb6794c32e4701b2_1528450127855_0
Uczniowie przypominają informacje o układach równań, ich rozwiązaniu i rodzajach.
- Każdą uporządkowaną parę liczb spełniających dany układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy rozwiązaniem danego układu równań.
- Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, który ma dokładnie jedno rozwiązanie nazywamy układem oznaczonym.
- Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, który ma nieskończenie wiele rozwiązań nazywamy układem nieoznaczonym.
- Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, który nie ma rozwiązania nazywamy układem sprzecznym.
meb6794c32e4701b2_1528446435040_0
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest zapoznanie się z ilustracją interaktywną, przedstawiającą sposób rozwiązania układu równań metodą podstawiania.
[Ilustracja interaktywna]
Wykorzystując nabyte umiejętności uczniowie rozwiązują układy równań.
Nauczyciel dzieli uczniów na grupy 3 osobowe, które pracują metodą układanki JIGSAW. Każdy uczestnik grupy otrzymuje inne zadanie do rozwiązania z podanych poniżej. Po rozwiązaniu zadania uczniowie spotykają się w grupach, które rozwiązywały to samo zadanie. Omawiają rozwiązania, wyjaśniają wątpliwości. Określają rodzaj rozwiązywanego układu równań, zapisują wnioski.
Następnie wracają do początkowych grup i przedstawiają rozwiązania i wnioski innym członkom grupy.
Polecenie 1
- Rozwiąż układ równań metodą podstawiania:
- Określ liczbę rozwiązań tego układu. Jak nazywamy taki układ równań? - Zapisz odpowiedni wniosek.
Polecenie 2
- Rozwiąż układ równań metodą podstawiania:
- Określ liczbę rozwiązań tego układu. Jak nazywamy taki układ równań? - Zapisz odpowiedni wniosek.
Polecenie 3
- Rozwiąż układ równań metodą podstawiania:
- Określ liczbę rozwiązań tego układu. Jak nazywamy taki układ równań? - Zapisz odpowiedni wniosek.
Po skończonym ćwiczeniu przedstawiają wyniki swoich obserwacji:
- Jeżeli rozwiązując układ równań metodą podstawiania, równanie, do którego podstawimy ma jedno rozwiązanie, to rozwiązaniem układu równań jest dokładnie jedna para liczb, czyli jest układem oznaczonym. - Jeżeli rozwiązując układ równań metodą podstawiania, równanie, do którego podstawimy okaże się równaniem tożsamościowym, to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, czyli jest układem nieoznaczonym. - Jeżeli rozwiązując układ równań metodą podstawiania, równanie, do którego podstawimy okaże się równaniem sprzecznym, to układ równań nie ma rozwiązania, czyli jest układem sprzecznym.
Nauczyciel ocenia pracę uczniów, wyjaśnia wątpliwości.
Polecenie dla chętnych:
Jakie równanie należy dopisać do równania:
aby otrzymać układ nieoznaczony. Uzasadnij swój wybór, rozwiązując układ równań metodą podstawiania.
meb6794c32e4701b2_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.
Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wiadomości do zapamiętania.
- Jeżeli rozwiązując układ równań metodą podstawiania, równanie, do którego podstawimy ma jedno rozwiązanie, to rozwiązaniem układu równań jest dokładnie jedna para liczb, czyli jest układem oznaczonym. - Jeżeli rozwiązując układ równań metodą podstawiania, równanie, do którego podstawimy okaże się równaniem tożsamościowym, to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, czyli jest układem nieoznaczonym. - Jeżeli rozwiązując układ równań metodą podstawiania, równanie, do którego podstawimy okaże się równaniem sprzecznym, to układ równań nie ma rozwiązania, czyli jest układem **sprzecznym.