9) converts common fractions whose denominators are divisors of numbers 10, 100, 1000 etc. into finite decimals using any method (extension or simplification of decimal fractions, dividing the numerator by the denominator mentally, using the long method or using the calculator);
10) writes common fractions of denominators different than those listed in point 9 in the form of infinite decimals (using the ellipsis after the last digit), obtained as a result of dividing the numerator by the denominator mentally, using the long method or using the calculator.
Discussion – students think about the relations between common fractions with denominators 10, 100, 1000… and decimal fractions. They interpret the common fraction as a quotient.
Students write common fractions with denominators 10, 100, 1000… in the form of decimal fractions. They also convert common fractions into decimals by dividing the numerator by the denominator.
Task 1
Write fractions in the decimal form.
Task 2
Divide the numerator by the denominatordenominatordenominator in each fraction: . Is the division finite in each case?
Students work individually, using computers. Their task is to analyse the relation between the numerators of the given common fraction and its decimal expansion. After having completed the exercise, they draw proper conclusions.
- finite, if the only divisors of its denominatordenominatordenominator are numbers 2 or 5,
- infinite if the denominator can be divided by a prime number different than 2 or 5.
The teacher informs students that a recurring set of digits in the infinite decimal expansioninfinite decimal expansioninfinite decimal expansion is called its period. To simplify such expansion, we write it in parentheses.
Students work in pairs and convert common fractions into decimals. They check each other’s solutions. They can use calculators.
Task 3
Find decimal expansions of fractions.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Task 4
Identify the period of the given fraction and write it in parentheses.
Example:
6,987987987…. = 6,(987)
a) 0,55555…
b) 3,486486486…
c) 35,1565656…
d) 78,787878…
e) 16,021458745874587….
Task 5
Without doing calculations, place fractions in proper parts of the table.
[Table 1]
The teacher sums up and evaluates students’ work and clarifies doubts.
An extra task:
Find the decimal expansion of the fraction . Calculate the sum of the hundred first digits of the decimal expansion of this fraction.
Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując informacje do zapamiętania:
Ułamek zwykły nieskracalny ma rozwinięcie dziesiętne: - skończone, jeśli jedynymi dzielnikami jego mianownika są liczby 2 lub 5, - nieskończone, jeśli mianownik tego ułamka jest podzielny przez liczbę pierwszą różną od 2 i 5.
Powtarzający się układ cyfr w rozwinięciu dziesiętnym nieskończonym ułamka nazywamy jego okresem. Aby uprościć zapis takiego rozwinięcia, okres zapisujemy w nawiasie.
- Dzieląc licznik ułamka przez jego mianownik, można otrzymać ułamek dziesiętny o skończonej liczbie cyfr po przecinku – ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone. - Jeśli dzielenie nie kończy się – ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.
m5b7cdbf03982e6ca_1528449000663_0
Rozwinięcia dziesiętne ułamka zwykłego
m5b7cdbf03982e6ca_1528449084556_0
Drugi
m5b7cdbf03982e6ca_1528449076687_0
IV. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń:
9) zamienia ułamki zwykłe o mianownikach będących dzielnikami liczb 10, 100, 1000 itd. na ułamki dziesiętne skończone dowolną metodą (przez rozszerzanie lub skracanie ułamków zwykłych, dzielenie licznika przez mianownik w pamięci, pisemnie lub za pomocą kalkulatora);
10) zapisuje ułamki zwykłe o mianownikach innych niż wymienione w pkt 9 w postaci rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego (z użyciem wielokropka po ostatniej cyfrze), uzyskane w wyniku dzielenia licznika przez mianownik w pamięci, pisemnie lub za pomocą kalkulatora.
m5b7cdbf03982e6ca_1528449068082_0
45 minut
m5b7cdbf03982e6ca_1528449523725_0
Wykonywanie nieskomplikowanych obliczeń w pamięci lub w działaniach trudniejszych pisemnie oraz wykorzystanie tych umiejętności w sytuacjach praktycznych.
m5b7cdbf03982e6ca_1528449552113_0
1. Zamienianie ułamków zwykłych o mianownikach będących dzielnikami liczb 10, 100, 1000 na ułamki dziesiętne przez rozszerzanie lub skracanie.
2. Zamienianie ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne przez dzielenie licznika przez mianownik.
3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
m5b7cdbf03982e6ca_1528450430307_0
Uczeń:
- zamienia ułamki zwykłe o mianownikach będących dzielnikami liczb 10, 100, 1000 na ułamki dziesiętne przez rozszerzanie lub skracanie,
- zamienia ułamki zwykłe na ułamki dziesiętne przez dzielenie licznika przez mianownik.
m5b7cdbf03982e6ca_1528449534267_0
1. Dyskusja.
2. Analiza sytuacyjna.
m5b7cdbf03982e6ca_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca grupowa.
m5b7cdbf03982e6ca_1528450127855_0
Dyskusja – uczniowie zastanawiają się nad związkiem między ułamkami zwykłymi o mianownikach 10, 100, 1000… , a ułamkami dziesiętnymi. Interpretują ułamek zwykły jako iloraz.
m5b7cdbf03982e6ca_1528446435040_0
Uczniowie zapisują ułamki zwykłe o mianownikach 10, 100, 1000… w postaci dziesiętnej. Zamieniają również ułamki zwykłe na dziesiętne, dzieląc licznik ułamka przez jego mianownik.
Polecenie 1
Zapisz ułamki w postaci dziesiętnej.
Polecenie 2
Podziel licznik przez mianownik w każdym z danych ułamków: . Czy w każdym przypadku dzielenie kończy się?
Wniosek:
- Dzieląc licznik ułamka przez jego mianownik, można otrzymać ułamek dziesiętny o skończonej liczbie cyfr po przecinku – ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone. - Jeśli dzielenie nie kończy się – ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest przeanalizowanie zależności między mianownikiem danego ułamka zwykłego, a jego rozwinięciem dziesiętnym. Po wykonanym ćwiczeniu zapisują odpowiedni wniosek.
[Geogebra aplet]
Wnioski:
Ułamek zwykły nieskracalny ma rozwinięcie dziesiętne:
- skończone, jeśli jedynymi dzielnikami jego mianownika są liczby 2 lub 5, - nieskończone, jeśli mianownik tego ułamka jest podzielny przez liczbę pierwszą różną od 2 i 5.
Nauczyciel informuje uczniów, że powtarzający się układ cyfr w rozwinięciu dziesiętnym nieskończonym ułamka nazywamy jego okresem. Aby uprościć zapis takiego rozwinięcia, okres zapisujemy w nawiasie.
Uczniowie pracują w parach, zamieniając ułamki zwykłe na dziesiętne. Sprawdzają wzajemnie swoje rozwiązania. Mogą przy tym korzystać z kalkulatora.
Polecenie 3
Znajdź rozwinięcia dziesiętne ułamków.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Polecenie 4
Określ okres danego ułamka i zapisz go w nawiasie.
Wzór:
6,987987987…. = 6,(987)
a) 0,55555…
b) 3,486486486…
c) 35,1565656…
d) 78,787878…
e) 16,021458745874587….
Polecenie 5
Nie wykonując obliczeń, umieść podane ułamki w odpowiednich komórkach poniższej tabeli.
[Tabela 1]
Nauczyciel podsumowuje i ocenia pracę uczniów, wyjaśnia wątpliwości.
Polecenie dla chętnych:
Znajdź rozwinięcie dziesiętne ułamka . Oblicz sumę stu początkowych cyfr po przecinku rozwinięcia dziesiętnego tego ułamka.
m5b7cdbf03982e6ca_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.
Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując informacje do zapamiętania:
Ułamek zwykły nieskracalny ma rozwinięcie dziesiętne: - skończone, jeśli jedynymi dzielnikami jego mianownika są liczby 2 lub 5, - nieskończone, jeśli mianownik tego ułamka jest podzielny przez liczbę pierwszą różną od 2 i 5.
Powtarzający się układ cyfr w rozwinięciu dziesiętnym nieskończonym ułamka nazywamy jego okresem. Aby uprościć zapis takiego rozwinięcia, okres zapisujemy w nawiasie.