Temat

Rozwinięcia dziesiętne ułamka zwykłego

Etap edukacyjny

Drugi

Podstawa programowa

IV. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń:

9) zamienia ułamki zwykłe o mianownikach będących dzielnikami liczb 10, 100, 1000 itd. na ułamki dziesiętne skończone dowolną metodą (przez rozszerzanie lub skracanie ułamków zwykłych, dzielenie licznika przez mianownik w pamięci, pisemnie lub za pomocą kalkulatora);

10) zapisuje ułamki zwykłe o mianownikach innych niż wymienione w pkt 9 w postaci rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego (z użyciem wielokropka po ostatniej cyfrze), uzyskane w wyniku dzielenia licznika przez mianownik w pamięci, pisemnie lub za pomocą kalkulatora.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Wykonywanie nieskomplikowanych obliczeń w pamięci lub w działaniach trudniejszych pisemnie oraz wykorzystanie tych umiejętności w sytuacjach praktycznych.

Cele szczegółowe

1. Zamienianie ułamków zwykłych o mianownikach będących dzielnikami liczb 10, 100, 1000 na ułamki dziesiętne przez rozszerzanie lub skracanie.

2. Zamienianie ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne przez dzielenie licznika przez mianownik.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- zamienia ułamki zwykłe o mianownikach będących dzielnikami liczb 10, 100, 1000 na ułamki dziesiętne przez rozszerzanie lub skracanie,

- zamienia ułamki zwykłe na ułamki dziesiętne przez dzielenie licznika przez mianownik.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Dyskusja – uczniowie zastanawiają się nad związkiem między ułamkami zwykłymi o mianownikach 10, 100, 1000… , a ułamkami dziesiętnymi. Interpretują ułamek zwykły jako iloraz.

Realizacja lekcji

Uczniowie zapisują ułamki zwykłe o mianownikach 10, 100, 1000… w postaci dziesiętnej. Zamieniają również ułamki zwykłe na dziesiętne, dzieląc licznik ułamka przez jego mianownik.

Polecenie 1

Zapisz ułamki $\frac{3}{10},\frac{8}{100},\frac{7}{1000},\frac{26}{10}$ w postaci dziesiętnej.

Polecenie 2

Podziel licznik przez mianownik w każdym z danych ułamków: $\frac{3}{10},\frac{26}{10},\frac{7}{3},\frac{8}{6}$. Czy w każdym przypadku dzielenie kończy się?

Wniosek:

- Dzieląc licznik ułamka przez jego mianownik, można otrzymać ułamek dziesiętny o skończonej liczbie cyfr po przecinku – ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone.

- Jeśli dzielenie nie kończy się – ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest przeanalizowanie zależności między mianownikiem danego ułamka zwykłego, a jego rozwinięciem dziesiętnym. Po wykonanym ćwiczeniu zapisują odpowiedni wniosek.

[Geogebra aplet]

Wnioski:

Ułamek zwykły nieskracalny ma rozwinięcie dziesiętne:

- skończone, jeśli jedynymi dzielnikami jego mianownika są liczby 2 lub 5,
- nieskończone, jeśli mianownik tego ułamka jest podzielny przez liczbę pierwszą różną od 2 i 5.

Nauczyciel informuje uczniów, że powtarzający się układ cyfr w rozwinięciu dziesiętnym nieskończonym ułamka nazywamy jego okresem. Aby uprościć zapis takiego rozwinięcia, okres zapisujemy w nawiasie.

Uczniowie pracują w parach, zamieniając ułamki zwykłe na dziesiętne. Sprawdzają wzajemnie swoje rozwiązania. Mogą przy tym korzystać z kalkulatora.

Polecenie 3

Znajdź rozwinięcia dziesiętne ułamków.

a) $\frac{9}{10}$

b) $\frac{13}{50}$

c) $\frac{126}{20}$

d) $\frac{7}{8}$

e) $\frac{138}{40}$

f) $\frac{31}{200}$

g) $\frac{11}{10000}$

h) $\frac{1200}{250}$

Polecenie 4

Określ okres danego ułamka i zapisz go w nawiasie.

Wzór:

6,987987987…. = 6,(987)

a) 0,55555…

b) 3,486486486…

c) 35,1565656…

d) 78,787878…

e) 16,021458745874587….

Polecenie 5

Nie wykonując obliczeń, umieść podane ułamki w odpowiednich komórkach poniższej tabeli.

[Tabela 1]

Nauczyciel podsumowuje i ocenia pracę uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:

Znajdź rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{8}{10}$. Oblicz sumę stu początkowych cyfr po przecinku rozwinięcia dziesiętnego tego ułamka.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując informacje do zapamiętania:

Ułamek zwykły nieskracalny ma rozwinięcie dziesiętne:

- skończone, jeśli jedynymi dzielnikami jego mianownika są liczby 2 lub 5,
- nieskończone, jeśli mianownik tego ułamka jest podzielny przez liczbę pierwszą różną od 2 i 5.

Powtarzający się układ cyfr w rozwinięciu dziesiętnym nieskończonym ułamka nazywamy jego okresem. Aby uprościć zapis takiego rozwinięcia, okres zapisujemy w nawiasie.