3. recognizes, in prisms and pyramids, angles between line segments (e.g. edges and edges or edges and diagonals); angles between faces; calculates the measures of these angles;
6. calculates the volume and surface area of prisms, pyramids, cylinder, cone, sphere, also using trigonometry and theorems learned;
7. uses dependencies between volumes of similar solids.
Interpreting and manipulating information presented in the text, both mathematical and popular science, as well as in the form of graphs, diagrams, tables.
Using the diamond ranking method students organize their knowledge about relative position of two planes, the relative position of two lines in space and the relative position of the straight line and the plane.
They present the effects of their work; the teacher verifies the information provided and clarifies students’ doubts.
Students, working independently, determine the relationship between the type of the n‑sides of the base and the number of faces, vertices and edges of the pyramidpyramidpyramid. They formulate appropriate conclusions.
Task The basebasebase of the pyramid is the n‑sided polygon. Identify the relationship between the number n and the number of vertices, edges and faces of the pyramid.
Conclusion:
A pyramidpyramidpyramid with an n‑sided basebasebase has:
- n + 1 vertices,
- n + 1 faces, and
- 2n edges.
Students, working independently, formulate definitions of pyramidpyramidpyramid types.
Definition The pyramid is called a right one if all its lateral edges have the same length.
Definition The pyramid is the regular pyramidregular pyramidregular pyramid if its basebasebase is a regular polygon.
Using the definitions students solve the problems.
Task In a pyramidpyramidpyramid, the number of faces is 7 less than the number of edges. Calculate how many vertices this pyramid has.
Task In the regular quadrangular pyramid the length of the base edge is equal to 4 dm, and the side edgeedgeedge length is 6 dm. Calculate the heightheightheight of this pyramidpyramidpyramid.
Task In the regular triangular pyramid the edgeedgeedge of the basebasebase is 10 dm long, the side edge is 8 dm. Calculate the height of this pyramid.
Task Calculate the measure of the dihedral angle at the base of the regular triangular pyramidpyramidpyramid if the height of the pyramid is 3 times shorter than the heightheightheight of the basebasebase.
Task The sum of the edgeedgeedge length of a regular tetrahedron is equal to 48 cm. Calculate the heightheightheight of this tetrahedron.
Task The basebasebase of the right pyramidright pyramidright pyramid is a rectangle with sides of 8 cm and 10 cm. The side edgeheightedge length is 15 cm. Calculate the heights hIndeks dolny 11 and hIndeks dolny 22 of the two different side faces of this pyramidpyramidpyramid.
Task for volunteers The base of the pyramid is the square, and the bottom of its heightheightheight is in one of the vertices of this square. Knowing that the height of the pyramidpyramidpyramid is equal to the diagonal of the base, calculate the cosine of the inclination angle of the longest side edge of the pyramid to the edgeedgeedge of the basebasebase.
- Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą, jest dowolnym wielokątem, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. Wierzchołek ten nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.
- Ostrosłup nazywamy prostym, jeżeli wszystkie jego krawędzie boczne mają taką samą długość.
- Ostrosłup nazywamy prawidłowym, jeżeli jest ostrosłupem prostym a jego podstawą jest wielokąt foremny.
Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą, jest dowolnym wielokątem, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. Wierzchołek ten nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi, nazywamy czworościanem foremnym.
mc1f5f8ed1291d575_1528449000663_0
Ostrosłup i jego własności
mc1f5f8ed1291d575_1528449084556_0
Trzeci
mc1f5f8ed1291d575_1528449076687_0
X. Stereometria. Uczeń:
3. rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
6. oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka, kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
7. wykorzystuje zależności między objętościami brył podobnych.
mc1f5f8ed1291d575_1528449068082_0
45 minut
mc1f5f8ed1291d575_1528449523725_0
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
mc1f5f8ed1291d575_1528449552113_0
1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
2. Określanie rodzajów ostrosłupów.
3. Wskazywanie elementów ostrosłupa, odcinków i kątów w ostrosłupie.
mc1f5f8ed1291d575_1528450430307_0
Uczeń:
- określa rodzaje ostrosłupów,
- wskazuje elementy ostrosłupa.
mc1f5f8ed1291d575_1528449534267_0
1. Diamentowe uszeregowanie.
2. Analiza sytuacyjna.
mc1f5f8ed1291d575_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca grupowa.
mc1f5f8ed1291d575_1528450127855_0
Uczniowie metodą diamentowego uszeregowania porządkują swoje wiadomości na temat wzajemnego położenia dwóch płaszczyzn, wzajemnego położenia dwóch prostych w przestrzeni oraz wzajemnego położenia prostej i płaszczyzny.
Efekty swojej pracy prezentują na planszach. Nauczyciel weryfikuje przedstawione informacje, wyjaśnia wątpliwości.
mc1f5f8ed1291d575_1528446435040_0
Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie własności ostrosłupa.
Uczniowie, pracując w grupach analizują materiał przedstawiony w aplecie. Stawiają hipotezy. Formułują wnioski.
Polecenie Przeanalizuj materiał zawarty w aplecie. Sformułuj definicję ostrosłupa.
[Geogebra aplet]
Definicja Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą, jest dowolnym wielokątem, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. Wierzchołek ten nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.
Uczniowie, pracując samodzielnie, określają zależności między rodzajem n‑kąta podstawy, a liczbą ścian, wierzchołków i krawędzi ostrosłupa. Formułują odpowiednie wnioski.
Polecenie Podstawą ostrosłupa jest n‑kąt. Podaj zależności między liczbą n, a liczbą wierzchołków, krawędzi i ścian ostrosłupa.
Wniosek:
Jeżeli podstąwą ostrosłupa jest n‑kąt, to ostrosłup ten posiada:
- n+1 wierzchołków,
- n+1 ścian,
- 2n krawędzi.
Uczniowie, pracując samodzielnie, formułują określenia rodzajów ostrosłupów.
Definicja Ostrosłup nazywamy prostym, jeżeli wszystkie jego krawędzie boczne mają taką samą długość.
Definicja Ostrosłup nazywamy prawidłowym, jeżeli jest ostrosłupem prostym a jego podstawą jest wielokąt foremny.
Definicja Ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi, nazywamy czworościanem foremnym.
Uczniowie korzystając z nowych wiadomości rozwiązują zadania.
Polecenie W pewnym ostrosłupie liczba ścian jest o 7 mniejsza od liczby krawędzi. Oblicz ile wierzchołków ma ten ostrosłup.
Polecenie W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa 4 dm, a długość krawędzi bocznej 6 dm. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.
Polecenie W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 10 dm, krawędź boczna 8 dm. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.
Polecenie Oblicz miarę kąta dwuściennego przy podstawie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, jeśli wysokość ostrosłupa jest 3 razy krótsza od wysokości podstawy.
Polecenie Suma długości krawędzi czworościanu foremnego jest równa 48 cm. Oblicz wysokość tego czworościanu.
Polecenie Podstawą ostrosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 8 cm i 10 cm. Długość krawędzi bocznej jest równa 15 cm. Oblicz wysokości hIndeks dolny 11 i hIndeks dolny 22 dwóch różnych ścian bocznych tego ostrosłupa.
Polecenie dla chętnych Podstawą ostrosłupa jest kwadrat, a spodek wysokości znajduje się w jednym z wierzchołków tego kwadratu. Wiedząc, że wysokość ostrosłupa jest równa przekątnej podstawy, oblicz cosinus kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej ostrosłupa do krawędzi podstawy.
mc1f5f8ed1291d575_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie formułują definicję do zapamiętania:
- Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą, jest dowolnym wielokątem, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. Wierzchołek ten nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.
- Ostrosłup nazywamy prostym, jeżeli wszystkie jego krawędzie boczne mają taką samą długość.
- Ostrosłup nazywamy prawidłowym, jeżeli jest ostrosłupem prostym a jego podstawą jest wielokąt foremny.